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16.7 : Théorème de Stokes

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Objectifs d'apprentissage
  • Expliquez la signification du théorème de Stokes.
  • Utilisez le théorème de Stokes pour évaluer une intégrale linéaire.
  • Utilisez le théorème de Stokes pour calculer une intégrale de surface.
  • Utilisez le théorème de Stokes pour calculer une boucle.

Dans cette section, nous étudions le théorème de Stokes, une généralisation dimensionnelle supérieure du théorème de Green. Ce théorème, comme le théorème fondamental des intégrales linéaires et le théorème de Green, est une généralisation du théorème fondamental du calcul à des dimensions supérieures. Le théorème de Stokes relie une intégrale de surface vectorielle au-dessus de la surface de l'espaceS à une droite intégrale autour de la limite deS. Par conséquent, tout comme les théorèmes précédents, le théorème de Stokes peut être utilisé pour réduire une intégrale sur un objet géométriqueS à une intégrale au-dessus de la limite deS. En plus de nous permettre de traduire entre les intégrales linéaires et les intégrales de surface, le théorème de Stokes relie les concepts de courbure et de circulation. De plus, le théorème a des applications en mécanique des fluides et en électromagnétisme. Nous utilisons le théorème de Stokes pour dériver la loi de Faraday, un résultat important impliquant des champs électriques.

Théorème de Stokes

Le théorème de Stokes indique que nous pouvons calculer le flux decurlF surfaceS en ne connaissant que des informations sur les valeurs duF long de la limite deS. Inversement, nous pouvons calculer l'intégrale linéaire du champ vectorielF le long de la limite de la surfaceS en effectuant une translation vers une double intégrale de la courbure deF dessusS.

SSoit une surface lisse orientée avec un vecteur normal unitaireN. De plus, supposons que la limite deS est une simple courbe ferméeC. L'orientation deS induit l'orientation positiveC si, lorsque vous marchez dans la direction positive, la têteC pointée dans la direction deN, la surface est toujours sur votre gauche. Une fois cette définition en place, nous pouvons énoncer le théorème de Stokes.

Théorème16.7.1: Stokes’ Theorem

SSoit une surface orientée lisse par morceaux avec une limite qui est une simple courbe ferméeC avec une orientation positive (Figure16.7.1). S'il s'Fagit d'un champ vectoriel avec des fonctions constitutives qui ont des dérivées partielles continues sur une région ouverte contenantS, alors

CFdr=ScurlFdS.

Schéma d'une surface S en trois dimensions. L'orientation de la courbe C autour de sa limite est positive. Diverses normales sont extraites de la surface.
Figure16.7.1 : Le théorème de Stokes relie l'intégrale du flux au-dessus de la surface à une droite intégrale autour de la limite de la surface. Notez que l'orientation de la courbe est positive.

Supposons que la surfaceS soit une région plane duxy plan orientée vers le haut. Alors le vecteur normal unitaire est une intégralek de surface

ScurlFdS

est en fait la double intégrale

ScurlFkdA.

Dans ce cas particulier, le théorème de Stokes donne

CFdr=ScurlFkdA.

Cependant, il s'agit de la forme de flux du théorème de Green, qui nous montre que le théorème de Green est un cas particulier du théorème de Stokes. Le théorème de Green ne peut traiter que des surfaces dans un plan, tandis que le théorème de Stokes peut traiter des surfaces dans un plan ou dans l'espace.

La preuve complète du théorème de Stokes dépasse le cadre de ce texte. Nous examinons une explication intuitive de la véracité du théorème, puis nous voyons la preuve du théorème dans le cas particulier où la surfaceS est une partie du graphe d'une fonction, etS que la limite deS, etF sont toutes assez apprivoisées.

Une preuve

Tout d'abord, nous examinons une preuve informelle du théorème. Cette preuve n'est pas rigoureuse, mais elle vise à donner une idée générale de la raison pour laquelle le théorème est vrai. SoitS une surface etD soit un petit morceau de surface afin qu'ilD ne partage aucun point avec la limite deS. Nous avons choisiD d'être suffisamment petit pour pouvoir être approximé par un carré orientéE. LaissonsD hériter deS son orientation et donnerE la même orientation. Ce carré a quatre côtés ; indiquez-lesEl,Er,Eu, etEd pour les côtés gauche, droit, haut et bas, respectivement. Sur le carré, nous pouvons utiliser la forme de flux du théorème de Green :

El+Ed+Er+EuFdr=EcurlFNdS=EcurlFdS.

Pour approximer le flux sur toute la surface, nous ajoutons les valeurs du flux sur les petits carrés approximatifs de petites parties de la surface (Figure16.7.2).

Schéma d'une surface S coupée en petits morceaux dans une grille — ils sont suffisamment petits pour être approximés par un carré E. L'orientation de chaque carré est la même que celle de S, indiquée par des flèches dans le sens antihoraire dans chaque carré. Les vecteurs N et F sont tirés à partir d'un carré.
Figure16.7.2 : Coupez la surface en petits morceaux. Les pièces doivent être suffisamment petites pour pouvoir être approximées par un carré.

Selon le théorème de Green, le flux à travers chaque carré approximatif est une droite intégrale au-dessus de sa limite. FSoit un carré approximatif avec une orientation héritée deS et avec un côté droitEl (Fdonc à gauche deE). FrSoit le côté droit deF ; puis,El=Fr. En d'autres termes, le côté droit deF est la même courbe que le côté gauche deE, juste orienté dans la direction opposée. Par conséquent,

ElFdr=FrFdr.

Lorsque nous additionnons tous les flux sur tous les carrés, en approximant les intégrales de surfaceS, de ligne

ElFdr

et

FrFdr

annulez-vous mutuellement. Il en va de même pour les intégrales de ligne sur les trois autres côtés deE. Ces trois intégrales linéaires s'annulent avec l'intégrale de droite du côté inférieur du carré au-dessusE, l'intégrale de droite au-dessus du côté gauche du carré à droite duE carré et l'intégrale de droite au-dessus du côté supérieur du carré inférieurE (Figure16.7.3). Une fois que toute cette annulation se produit sur tous les carrés approximatifs, les seules intégrales de ligne qui subsistent sont les intégrales de ligne sur les côtés approchant la limite deS. Par conséquent, la somme de tous les flux (qui, selon le théorème de Green, est la somme de toutes les intégrales linéaires autour des limites des carrés approximatifs) peut être approximée par une intégrale droite au-dessus de la limite deS. Dans la limite, lorsque les aires des carrés approximatifs atteignent zéro, cette approximation se rapproche arbitrairement du flux.

Deux diagrammes étiquetés A et B. A contiennent deux carrés, F et E. Les deux ont des flèches sur les côtés dans le sens antihoraire. Le côté droit de F est étiqueté F_r. Les côtés gauche, droit, supérieur et inférieur de E sont étiquetés E_l, E_r, E_U et E_d, respectivement. B contient cinq carrés. F et E sont dessinés tels qu'ils sont dans le diagramme A. Au-dessus, à droite et en dessous de E, se trouvent trois autres carrés : G, H et I, respectivement. Tous ont des flèches sur les côtés dans le sens antihoraire. Le côté inférieur de G est étiqueté G_d, le côté gauche de H est étiqueté H_l et le côté supérieur de I est étiqueté I_u.
Figure16.7.3 : (a) L'intégrale de la ligne le longEl annule l'intégrale de la ligne le longFr parce queEl=Fr. (b) La ligne intégrale le long de l'un quelconque des côtés de s'Eannule avec la ligne intégrale le long d'un côté d'un carré approximatif adjacent.

Examinons maintenant une preuve rigoureuse du théorème dans le cas particulier qu'Sest le graphe de la fonctionz=f(x,y), oùx ety varient sur une région bornée et simplement connectéeD d'une aire finie (Figure16.7.4). Supposons en outre qu'ilf possède des dérivées partielles continues du second ordre. CDénotons la limite deS etC notons la limite deD. Ensuite,D est « l'ombre » deS dans l'avion etC est « l'ombre » deC. Supposons que celaS soit orienté vers le haut. L'orientation dans le sens antihoraire deC est positive, tout comme l'orientation antihoraire deC. F(x,y,z)=P,Q,RSoit un champ vectoriel dont les fonctions constitutives ont des dérivées partielles continues.

Schéma d'une surface S en trois dimensions, où z est une fonction de x et y notée comme z=f (x, y). Le N normal est tracé en pointant vers le haut et en s'éloignant de la surface. D est l'ombre ou la projection de S dans le plan (x, y). La courbe autour de S est étiquetée C, et C'est la projection de C dans le plan (x, y). Les flèches sont dessinées sur C, la limite de S, dans le sens antihoraire.
Figure16.7.4 :D est « l'ombre », ou projection, deS dans le plan etC est la projection deC.

Nous prenons le paramétrage standard deS:x=x,y=y,z=g(x,y). Les vecteurs tangents sonttx=1,0,gxty=0,1,gy et donctx×ty=gx,gy,1.

ScurlFdS=D[(RyQz)zx(PzRx)zy+(QxPy)]dA,

où les dérivées partielles sont toutes évaluées à(x,y,g(x,y)), ce qui rend l'integrand dépendant dex ety uniquement. Supposonsx(t),y(t),atb qu'il s'agisse d'un paramétrage deC. Ensuite, un paramétrage deC isx(t),y(t),g(x(t),y(t)),atb. Armés de ces paramétrisations, de la règle de la chaîne et du théorème de Green, et en gardant à l'esprit queP,Q etR sont toutes des fonctions dex ety, nous pouvons évaluer l'intégrale de la ligne

CFdr=ba(Px(t)+Qy(t)+Rz(t))dt=ba[Px(t)+Qy(t)+R(zxdxdt+zydydt)]dt=ba[(P+Rzx)x(t)+(Q+Rzy)y(t)]dt=C(P+Rzx)dx+(Q+Rzy)dy=D[x(Q+Rzy)y(P+Rzx)]dA=D(Qx+Qzzx+Rxzy+Rzzxzy+R2zxy)(Py+Pzzy+Rzzyzx+R2zyx)

Selon le théorème de Clairaut,

2zxy=2zyx

Par conséquent, quatre des termes disparaissent de cette double intégrale, et il nous reste

D[(RyQz)Zx(PzRx)zy+(QxPy)]dA,

ce qui équivaut à

ScurlFdS.

Nous avons montré que le théorème de Stokes est vrai dans le cas d'une fonction dont le domaine est une région simplement connectée d'une surface finie. Nous pouvons rapidement confirmer ce théorème pour un autre cas important : lorsque le champ vectorielF est un champ conservateur. SiF c'est conservateur, la courbure deF est nulle, donc

ScurlFdS=0.

Puisque la limite deS est une courbe fermée, l'intégrale

CFdr.

est également égal à zéro.

Exemple16.7.1: Verifying Stokes’ Theorem for a Specific Case

Vérifiez que le théorème de Stokes est vrai pour le champ vectorielF(x,y)=z,x,0 et la surfaceS, où seS trouve l'hémisphère, orienté vers l'extérieur, avec un paramétrager(ϕ,θ)=sinϕcosθ,sinϕsinθ,cosϕ,0θπ,0ϕπ comme indiqué sur la figure16.7.5.

Schéma en trois dimensions d'un hémisphère dans un champ vectoriel. Les flèches du champ vectoriel suivent la forme de l'hémisphère, qui est situé dans les quadrants 2 et 3 du plan (x, y) et s'étend de haut en bas jusqu'au plan z. Le centre de l'hémisphère est à l'origine. Le N normal s'étire vers le haut et s'éloigne de l'hémisphère.
Figure16.7.5 : Vérification du théorème de Stokes pour un hémisphère dans un champ vectoriel.

Solution

CSoyons la limite deS. Notez qu'ilC s'agit d'un cercle de rayon 1, centré à l'origine, situé dans le plany=0. Ce cercle est paramétrécost,0,sint,0t2π. L'équation des intégrales de surface scalaires

CFdr=2π0sint,cost,0sint,0,costdt=2π0sin2tdt=π.

Par l'équation des intégrales de lignes vectorielles,

ScurlFdS=DcurlF(r(ϕ,θ))(tϕ×tθ)dA=D0,1,1cosθsin2ϕ,sinθsin2ϕ,sinϕcosϕdA=π0π0(sinϕcosϕsinθsin2ϕ)dϕdθ=π2π0sinθdθ=π.

Nous avons donc vérifié le théorème de Stokes pour cet exemple.

Exercice16.7.1

Vérifiez que le théorème de Stokes est vrai pour le champ vectorielF(x,y,z)=y,x,z et la surfaceS, où seS trouve la partie orientée vers le haut du graphef(x,y)=x2y au-dessus d'un triangle dans lexy plan avec des sommets(0,0),(2,0), et(0,2).

Allusion

Calculez l'intégrale double et l'intégrale linéaire séparément.

Réponse

Les deux intégrales donnent13645 :

Appliquer le théorème de Stokes

Le théorème de Stokes traduit entre l'intégrale de flux de la surfaceS en une intégrale de droite autour de la limite deS. Par conséquent, le théorème nous permet de calculer des intégrales de surface ou des intégrales de lignes qui seraient normalement assez difficiles en traduisant l'intégrale de la droite en une intégrale de surface ou vice versa. Nous étudions maintenant quelques exemples de chaque type de traduction.

Exemple16.7.2: Calculating a Surface Integral

Calculer l'intégrale de

ScurlFdS,

S est la surface, orientée vers l'extérieur, sur les figures16.7.6 etF=z,2xy,x+y.

Schéma d'une surface complexe S dans un champ vectoriel tridimensionnel. La surface est un tube cylindrique qui se tord arbitrairement dans l'espace tridimensionnel. L'extrémité supérieure du tube est un cercle ouvert menant à l'intérieur du tube. Il est centré sur l'axe z à une hauteur de z=1 et possède un rayon de 1. L'extrémité inférieure du tube est fermée par un capuchon hémisphérique à l'extrémité. Les flèches vectorielles sont mieux décrites par leurs composants. La composante x est positive partout et augmente à mesure que z augmente. La composante y est positive dans les premier et troisième octants et négative dans les deux autres. La composante z est nulle lorsque y=x et devient plus positive avec des valeurs x et y plus positives et plus négative dans l'autre sens.
Figure16.7.6 : Une surface complexe dans un champ vectoriel.

Solution

Notez que pour calculer

ScurlFdS

sans utiliser le théorème de Stokes, nous aurions besoin de l'équation pour les intégrales de surface scalaires. L'utilisation de cette équation nécessite un paramétrage deS. SLa surface est suffisamment compliquée pour qu'il soit extrêmement difficile de trouver un paramétrage. Par conséquent, les méthodes que nous avons apprises dans les sections précédentes ne sont pas utiles pour ce problème. Nous utilisons plutôt le théorème de Stokes, en notant que la limiteC de la surface est simplement un cercle unique de rayon 1.

La boucle deF nous1,1,2y. Selon le théorème de Stokes,

ScurlFdS=CFdr,

C a un paramétragecost,sint,1,0t2π. Par l'équation des intégrales de lignes vectorielles,

ScurlFdS=CFdr=201,sintcost,cost+sintsint,cost,0dt=2π0(sint+2sintcos2t)dt=[cost2cos3t3]2π0=cos(2π)2cos3(2π)3(cos(0)2cos3(0)3)=0.

Une conséquence étonnante du théorème de Stokes est qu'il s'Sagit d'une autre surface lisse ayant une limiteC et la même orientation queS, alorsScurlFdS=CFdr=0 parce que le théorème de Stokes dit que l'intégrale de surface dépend de l'intégrale de la ligne autour de la limite uniquement.

Dans Exemple16.7.2, nous avons calculé une intégrale de surface simplement en utilisant des informations sur la limite de la surface. En général, laissezS1 etS2 soyez des surfaces lisses avec la même limiteC et la même orientation. Selon le théorème de Stokes,

S1curlFdS=CFdr=S2curlFdS.

Par conséquent, si

S1curlFdS

est difficile à calculer mais

S2curlFdS

est facile à calculer, le théorème de Stokes nous permet de calculer l'intégrale de surface la plus facile. Dans l'exemple16.7.2, nous aurions pu calculer

ScurlFdS

en calculant

ScurlFdS,

où seS trouve le disque entouré d'une courbe limiteC (une surface beaucoup plus simple avec laquelle travailler).

L'équation \ ref {20} montre que les intégrales de flux des champs vectoriels de courbure sont indépendantes de la surface, de la même manière que les intégrales linéaires des champs de gradient sont indépendantes de la trajectoire. Rappelez-vous que s'il s'Fagit d'un champ vectoriel conservateur bidimensionnel défini sur un domaine simplement connecté,f s'il s'agit d'une fonction potentielle pourF etC d'une courbe dans le domaine deF, alors

CFdr

dépend uniquement des points de terminaison deC. Par conséquent, s'il s'Cagit d'une autre courbe ayant le même point de départ et la même extrémité queC (c'est-à-dire qu'Celle a la même orientation queC), alors

CFdr=CFdr

En d'autres termes, la valeur de l'intégrale dépend uniquement de la limite du chemin ; elle ne dépend pas vraiment du chemin lui-même.

De même, supposons queS etS soient des surfaces ayant la même limite et la même orientation, et supposons qu'ilG s'agit d'un champ vectoriel tridimensionnel qui peut être écrit comme la courbure d'un autre champ vectorielF (Fc'est-à-dire comme un « champ potentiel » deG). Par équation \ ref {20},

SGdS=ScurlFdS=CFdr=ScurlFdS=SGdS.

Par conséquent, l'intégrale de flux deG ne dépend pas de la surface, mais uniquement de la limite de la surface. Les intégrales de flux des champs vectoriels qui peuvent être écrites sous la forme de la courbure d'un champ vectoriel sont indépendantes de la surface, de la même manière que les intégrales linéaires des champs vectoriels qui peuvent être écrites sous la forme du gradient d'une fonction scalaire sont indépendantes du chemin.

Exercice16.7.1

Utilisez le théorème de Stokes pour calculer l'intégrale de surfaceScurlFdS,F=x,y,z etS est la surface, comme indiqué dans la figure suivante.

Schéma tridimensionnel d'une surface. L'une des extrémités est un cercle ouvert de rayon 1 et centré à l'origine. Il se trouve sur le plan (y, z). Le reste de la surface s'étend symétriquement sur l'axe x. La surface se rétrécit légèrement, s'ouvre en sphère, se rétrécit à nouveau, puis se termine dans une autre sphère. Il ressemble à un vase couché sur le côté avec une extrémité circulaire ouverte, un grand corps sphérique et une base sphérique de taille moyenne.

Allusion

Paramétrer la limite deS and translate to a line integral.

Answer

π

Example 16.7.3: Calculating a Line Integral

Calculate the line integral

CFdr,

where F=xy,x2+y2+z2,yz and C is the boundary of the parallelogram with vertices (0,0,1),(0,1,0),(2,0,1), and (2,1,2).

Solution

To calculate the line integral directly, we need to parameterize each side of the parallelogram separately, calculate four separate line integrals, and add the result. This is not overly complicated, but it is time-consuming.

By contrast, let’s calculate the line integral using Stokes’ theorem. Let S denote the surface of the parallelogram. Note that S is the portion of the graph of z=1xy for (x,y) varying over the rectangular region with vertices (0,0),(0,1),(2,0), and (2,1) in the xy-plane. Therefore, a parameterization of S is x,y,1xy,0x2,0y1. The curl of F is z,0,x,and Stokes’ theorem and the equation for scalar surface integrals

CFdr=ScurlFdS=2010curlF(x,y)(tx×ty)dydx=2010(1xy),0,x(1,0,1×0,1,1)dydx=2010x+y1,0,x1,1,1dydx=20102x+y1dydx=3.

Exercise 16.7.3

Use Stokes’ theorem to calculate line integral

CFdr,

where F=z,x,y and C is the boundary of a triangle with vertices (0,0,1),(3,0,2), and (0,1,2).

Hint

This triangle lies in plane z=1x+y.

Answer

32

Interpretation of Curl

In addition to translating between line integrals and flux integrals, Stokes’ theorem can be used to justify the physical interpretation of curl that we have learned. Here we investigate the relationship between curl and circulation, and we use Stokes’ theorem to state Faraday’s law—an important law in electricity and magnetism that relates the curl of an electric field to the rate of change of a magnetic field.

Recall that if C is a closed curve and F is a vector field defined on C, then the circulation of F around C is line integral

CFdr.

If F represents the velocity field of a fluid in space, then the circulation measures the tendency of the fluid to move in the direction of C.

Let F be a continuous vector field and let Dτ be a small disk of radius r with center P0 (Figure 16.7.7). If Dτ is small enough, then (curlF)(P)(curlF)(P0) for all points P in Dτ because the curl is continuous. Let Cτ be the boundary circle of Dτ: By Stokes’ theorem,

CτFdr=DτcurlFNdSDτ(curlF)(P0)N(P0)dS.

A Disk D_r is a small disk in a continuous vector field in three dimensions. The radius of the disk is labeled r, and the center is labeled P_0. The arrows appear to have negative x components, slightly positive y components, and positive z components that become larger as z becomes larger.
Figure 16.7.7: Disk Dτ is a small disk in a continuous vector field.

The quantity (curlF)(P0)N(P0) is constant, and therefore

Dτ(curlF)(P0)N(P0)dS=πr2[(curlF)(P0)N(P0)].

Thus

CτFdrπr2[(curlF)(P0)N(P0)],

and the approximation gets arbitrarily close as the radius shrinks to zero. Therefore Stokes’ theorem implies that

(curlF)(P0)N(P0)=limr0+1πr2CτFdr.

This equation relates the curl of a vector field to the circulation. Since the area of the disk is πr2, this equation says we can view the curl (in the limit) as the circulation per unit area. Recall that if F is the velocity field of a fluid, then circulation CτFdr=CτFTds is a measure of the tendency of the fluid to move around Cτ: The reason for this is that FT is a component of F in the direction of T, and the closer the direction of F is to T, the larger the value of FT (remember that if a and b are vectors and b is fixed, then the dot product ab is maximal when a points in the same direction as b). Therefore, if F is the velocity field of a fluid, then curlFN is a measure of how the fluid rotates about axis N. The effect of the curl is largest about the axis that points in the direction of N, because in this case curlFN is as large as possible.

To see this effect in a more concrete fashion, imagine placing a tiny paddlewheel at point P0 (Figure 16.7.8). The paddlewheel achieves its maximum speed when the axis of the wheel points in the direction of curl F. This justifies the interpretation of the curl we have learned: curl is a measure of the rotation in the vector field about the axis that points in the direction of the normal vector N, and Stokes’ theorem justifies this interpretation.

A diagram of a tiny paddlewheel in water. A segment is stretching up out of its center, and that has an arrow labeled curl v. Red arrows are drawn to show the rotation of the wheel in a counterclockwise direction.
Figure 16.7.8: To visualize curl at a point, imagine placing a tiny paddlewheel at that point in the vector field.

Now that we have learned about Stokes’ theorem, we can discuss applications in the area of electromagnetism. In particular, we examine how we can use Stokes’ theorem to translate between two equivalent forms of Faraday’s law. Before stating the two forms of Faraday’s law, we need some background terminology.

Let C be a closed curve that models a thin wire. In the context of electric fields, the wire may be moving over time, so we write C(t) to represent the wire. At a given time t, curve C(t) may be different from original curve C because of the movement of the wire, but we assume that C(t) is a closed curve for all times t. Let D(t) be a surface with C(t) as its boundary, and orient C(t) so that D(t) has positive orientation. Suppose that C(t)is in a magnetic field B(t) that can also change over time. In other words, B has the form

B(x,y,z)=P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),

where P, Q, and R can all vary continuously over time. We can produce current along the wire by changing field B(t) (this is a consequence of Ampere’s law). Flux ϕ(t)=D(t)B(t)dS creates electric field E(t) that does work. The integral form of Faraday’s law states that

Work=C(t)E(t)dr=ϕt.

In other words, the work done by E is the line integral around the boundary, which is also equal to the rate of change of the flux with respect to time. The differential form of Faraday’s law states that

curlE=Bt.

Using Stokes’ theorem, we can show that the differential form of Faraday’s law is a consequence of the integral form. By Stokes’ theorem, we can convert the line integral in the integral form into surface integral

ϕt=C(t)E(t)dr=D(t)curlE(t)dS.

Since ϕ(t)=D(t)B(t)dS, then as long as the integration of the surface does not vary with time we also have

ϕt=D(t)BtdS.

Therefore,

D(t)BtdS=D(t)curlEdS.

To derive the differential form of Faraday’s law, we would like to conclude that curlE=Bt: In general, the equation

D(t)BtdS=D(t)curlEdS

is not enough to conclude that curlE=Bt: The integral symbols do not simply “cancel out,” leaving equality of the integrands. To see why the integral symbol does not just cancel out in general, consider the two single-variable integrals 10xdx and 10f(x)dx, where

f(x)={1,if 0x1/20,if 1/2x1.

Both of these integrals equal 12, so 10xdx=10f(x)dx.

However, xf(x). Analogously, with our equation D(t)BtdS=D(t)curlEdS, we cannot simply conclude that curlE=Bt just because their integrals are equal. However, in our context, equation

D(t)BtdS=D(t)curlEdS

is true for any region, however small (this is in contrast to the single-variable integrals just discussed). If F and G are three-dimensional vector fields such that

SFdS=SGdS

for any surface S, then it is possible to show that F=G by shrinking the area of S to zero by taking a limit (the smaller the area of S, the closer the value of SFdS to the value of F at a point inside S). Therefore, we can let area D(t) shrink to zero by taking a limit and obtain the differential form of Faraday’s law:

curlE=Bt.

In the context of electric fields, the curl of the electric field can be interpreted as the negative of the rate of change of the corresponding magnetic field with respect to time.

Example 16.7.4: Using Faraday’s Law

Calculate the curl of electric field E if the corresponding magnetic field is constant field B(t)=1,4,2.

Solution

Since the magnetic field does not change with respect to time, Bt=0. By Faraday’s law, the curl of the electric field is therefore also zero.

Analysis

A consequence of Faraday’s law is that the curl of the electric field corresponding to a constant magnetic field is always zero.

Exercise 16.7.4

Calculate the curl of electric field E if the corresponding magnetic field is B(t)=tx,ty,2tz,0t<.

Hint
  • Use the differential form of Faraday’s law.
  • Notice that the curl of the electric field does not change over time, although the magnetic field does change over time.
Answer

curlE=x,y,2z

Key Concepts

  • Stokes’ theorem relates a flux integral over a surface to a line integral around the boundary of the surface. Stokes’ theorem is a higher dimensional version of Green’s theorem, and therefore is another version of the Fundamental Theorem of Calculus in higher dimensions.
  • Stokes’ theorem can be used to transform a difficult surface integral into an easier line integral, or a difficult line integral into an easier surface integral.
  • Through Stokes’ theorem, line integrals can be evaluated using the simplest surface with boundary C.
  • Faraday’s law relates the curl of an electric field to the rate of change of the corresponding magnetic field. Stokes’ theorem can be used to derive Faraday’s law.

Key Equations

  • Stokes’ theorem

CFdr=ScurlFdS

Glossary

Stokes’ theorem
relates the flux integral over a surface S to a line integral around the boundary C of the surface S
surface independent
flux integrals of curl vector fields are surface independent if their evaluation does not depend on the surface but only on the boundary of the surface