9: Sequências e séries
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O tópico de séries infinitas pode parecer não relacionado ao cálculo diferencial e integral. Na verdade, uma série infinita cujos termos envolvem potências de uma variável é uma ferramenta poderosa que podemos usar para expressar funções como “polinômios infinitos”. Podemos usar séries infinitas para avaliar funções complicadas, aproximar integrais definidas e criar novas funções. Além disso, séries infinitas são usadas para resolver equações diferenciais que modelam o comportamento físico, de pequenos circuitos eletrônicos a satélites em órbita terrestre.
- 9.0: Prelúdio para sequências e séries
- O floco de neve de Koch é construído a partir de um número infinito de triângulos equiláteros não sobrepostos. Consequentemente, podemos expressar sua área como uma soma de infinitos termos. Como adicionamos um número infinito de termos? A soma de um número infinito de termos pode ser finita? Para responder a essas perguntas, precisamos introduzir o conceito de uma série infinita, uma soma com infinitos termos. Depois de definir as ferramentas necessárias, poderemos calcular a área do floco de neve de Koch.
- 9.1: Sequências
- Nesta seção, introduzimos sequências e definimos o que significa para uma sequência convergir ou divergir. Mostramos como encontrar limites de sequências que convergem, geralmente usando as propriedades de limites para funções discutidas anteriormente. Fechamos esta seção com o Teorema da Convergência Monótona, uma ferramenta que podemos usar para provar que certos tipos de sequências convergem.
- 9.2: Série Infinite
- Nesta seção, definimos uma série infinita e mostramos como as séries estão relacionadas às sequências. Também definimos o que significa para uma série convergir ou divergir. Apresentamos um dos tipos mais importantes de séries: a série geométrica. Usaremos séries geométricas no próximo capítulo para escrever certas funções como polinômios com um número infinito de termos. Esse processo é importante porque nos permite avaliar, diferenciar e integrar funções complicadas usando polinômios.
- 9.3: A divergência e os testes integrais
- A convergência ou divergência de várias séries é determinada pelo cálculo explícito do limite da sequência de somas parciais. Na prática, calcular explicitamente esse limite pode ser difícil ou impossível. Existem vários testes que nos permitem determinar a convergência ou divergência para muitos tipos de séries. Aqui, discutimos dois desses testes: o teste de divergência e o teste integral. Examinaremos vários outros testes no restante deste capítulo e, em seguida, resumiremos como e quando usá-los.
- 9.4: Testes de comparação
- Vimos que o teste integral nos permite determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com uma integral imprópria relacionada. Nesta seção, mostramos como usar testes de comparação para determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com uma série cuja convergência ou divergência é conhecida. Normalmente, esses testes são usados para determinar a convergência de séries que são semelhantes às séries geométricas ou séries p.
- 9.5: Séries alternadas
- Nesta seção, apresentamos séries alternadas — aquelas séries cujos termos se alternam em signo. Mostraremos em um capítulo posterior que essas séries geralmente surgem quando se estuda séries de potência. Depois de definir séries alternadas, introduzimos o teste de séries alternadas para determinar se essa série converge.
- 9.6: Testes de proporção e raiz
- Nesta seção, provamos os dois últimos testes de convergência da série: o teste de proporção e o teste raiz. Esses testes são bons porque não exigem que encontremos uma série comparável. O teste de proporção será especialmente útil na discussão das séries de potências no próximo capítulo. Ao longo deste capítulo, vimos que nenhum teste de convergência único funciona para todas as séries. Portanto, no final desta seção, discutimos uma estratégia para escolher qual teste de convergência usar para uma determinada série.
Miniatura: Para a série harmônica alternada, os termos ímpares\(S_{2k+1}\) na sequência de somas parciais estão diminuindo e limitados abaixo. Os termos pares\(S_{2k}\) estão aumentando e limitados acima.