9.1: Sequências
- Encontre a fórmula para o termo geral de uma sequência.
- Calcule o limite de uma sequência, se ela existir.
- Determine a convergência ou divergência de uma determinada sequência.
Nesta seção, introduzimos sequências e definimos o que significa para uma sequência convergir ou divergir. Mostramos como encontrar limites de sequências que convergem, geralmente usando as propriedades de limites para funções discutidas anteriormente. Fechamos esta seção com o Teorema da Convergência Monótona, uma ferramenta que podemos usar para provar que certos tipos de sequências convergem.
Terminologia de sequências
Para trabalhar com esse novo tópico, precisamos de alguns novos termos e definições. Primeiro, uma sequência infinita é uma lista ordenada de números do formulário
a1,a2,a3,…,an,….
Cada um dos números na sequência é chamado de termo. O símbolon é chamado de variável de índice da sequência. Usamos a notação
{an}∞n=1,
ou simplesmente{an}, para denotar essa sequência. Uma notação similar é usada para conjuntos, mas uma sequência é uma lista ordenada, enquanto um conjunto não é ordenado. Comoan existe um número específico para cada número inteiro positivon, também podemos definir uma sequência como uma função cujo domínio é o conjunto de números inteiros positivos.
Vamos considerar a lista infinita e ordenada
2,4,8,16,32,….
Essa é uma sequência na qual o primeiro, o segundo e o terceiro termos são dados pora1=2,a2=4, ea3=8. Você provavelmente pode ver que os termos nessa sequência têm o seguinte padrão:
a1=21,a2=22,a3=23,a4=24 and a5=25.
Supondo que esse padrão continue, podemos escrever onth termo na sequência pela fórmula explícita.an=2n. Usando essa notação, podemos escrever essa sequência como
{2n}∞n=1
ou
{2n}.
Como alternativa, podemos descrever essa sequência de uma maneira diferente. Como cada termo é o dobro do termo anterior, essa sequência pode ser definida recursivamente expressando onth termoan em termos do termo anterioran−1. Em particular, podemos definir essa sequência como a sequência{an} onde,a1=2 e para todosn≥2, cada termo an é definido pela relação de recorrência
an=2an−1.
Uma sequência infinita{an} é uma lista ordenada de números do formulário
a1,a2,…,an,….
O subscriton é chamado de variável de índice da sequência. Cada númeroan é um termo da sequência. Às vezes, as sequências são definidas por fórmulas explícitas, nesse caso,an=f(n) para alguma funçãof(n) definida sobre os números inteiros positivos. Em outros casos, as sequências são definidas usando uma relação de recorrência. Em uma relação de recorrência, um termo (ou mais) da sequência é dado explicitamente e os termos subsequentes são definidos em termos de termos anteriores na sequência.
Observe que o índice não precisa começar emn=1, mas pode começar com outros números inteiros. Por exemplo, uma sequência dada pela fórmula explícitaan=f(n) poderia começar em; nesse cason=0, a sequência seria
a0,a1,a2,….
Da mesma forma, para uma sequência definida por uma relação de recorrência, o termoa0 pode ser dado explicitamente e os termosan paran≥1 podem ser definidos em termos dean−1. Como uma sequência{an} tem exatamente um valor para cada inteiro positivon, ela pode ser descrita como uma função cujo domínio é o conjunto de números inteiros positivos. Como resultado, faz sentido discutir o gráfico de uma sequência. O gráfico de uma sequência{an} consiste em todos os pontos(n,an) para todos os números inteiros positivos n. A Figura mostra o gráfico de2n.

Dois tipos de sequências ocorrem com frequência e recebem nomes especiais: sequências aritméticas e sequências geométricas. Em uma sequência aritmética, a diferença entre cada par de termos consecutivos é a mesma. Por exemplo, considere a sequência
3,7,11,15,19,…
Você pode ver que a diferença entre cada par consecutivo de termos é4. Supondo que esse padrão continue, essa sequência é uma sequência aritmética. Ela pode ser descrita usando a relação de recorrência
{a1=3an=an−1+4, for n≥2.
Note que
a2=3+4
a3=3+4+4=3+2⋅4
a4=3+4+4+4=3+3⋅4.
Assim, a sequência também pode ser descrita usando a fórmula explícita.
an=3+4(n−1)=4n−1.
Em geral, uma sequência aritmética é qualquer sequência da formaan=cn+b.
Em uma sequência geométrica, a proporção de cada par de termos consecutivos é a mesma. Por exemplo, considere a sequência
2,−23,29,−227,281,….
Vemos que a proporção de qualquer termo em relação ao termo anterior é−13. Supondo que esse padrão continue, essa sequência é uma sequência geométrica. Pode ser definido recursivamente como
a1=2
an=−13⋅an−1, for n≥2.
Alternativamente, já que
a2=−13⋅2a3=(−13)(−13)(2)=(−13)2⋅2a4=(−13)(−13)(−13)(2)=(−13)3⋅2,
vemos que a sequência pode ser descrita usando a fórmula explícita
an=2(−13)n−1.
A sequência{2n} que discutimos anteriormente é uma sequência geométrica, na qual a proporção de qualquer termo em relação ao termo anterior é2. Em geral, uma sequência geométrica é qualquer sequência do formulárioan=crn.
Para cada uma das sequências a seguir, encontre uma fórmula explícita para onth termo da sequência.
- −12,23,−34,45,−56,…
- 34,97,2710,8113,24316,….
Solução
a. Primeiro, observe que a sequência está alternando de negativo para positivo. Os termos ímpares na sequência são negativos e os termos pares são positivos. Portanto, onth termo inclui um fator de(−1)n. Em seguida, considere a sequência de numeradores1,2,3,… e a sequência de denominadores2,3,4,…. Podemos ver que essas duas sequências são sequências aritméticas. Onth termo na sequência de numeradores én, e onth termo na sequência de denominadores én+1. Portanto, a sequência pode ser descrita pela fórmula explícita
an=(−1)nnn+1.
b. A sequência de numeradores3,9,27,81,243,… é uma sequência geométrica. O numerador donth termo é3n A sequência de denominadores4,7,10,13,16,… é uma sequência aritmética. O denominador donth termo é4+3(n−1)=3n+1. Portanto, podemos descrever a sequência pela fórmula explícitaan=3n3n+1.
Encontre uma fórmula explícita para onth termo da sequência{15,−17,19,−111,…}.
- Dica
-
Os denominadores formam uma sequência aritmética.
- Resposta
-
an=(−1)n+13+2n
Para cada uma das seguintes sequências definidas recursivamente, encontre uma fórmula explícita para a sequência.
- a1=2,an=−3an−1paran≥2
- a1=(12),an=an−1+(12)nparan≥2
Solução
a. Escrevendo os primeiros termos, temos
a1=2a2=−3a1=−3(2)a3=−3a2=(−3)22a4=−3a3=(−3)32.
Em geral,
an=2(−3)n−1.
b. Escreva os primeiros termos:
a1=12
a2=a1+(12)2=12+14=34
a3=a2+(12)3=34+18=78
a4=a3+(12)4=78+116=1516.
A partir desse padrão, derivamos a fórmula explícita
an=2n−12n=1−12n.
Encontre uma fórmula explícita para a sequência definida recursivamente de forma quea1=−4an=an−1+6 e.
- Dica
-
Essa é uma sequência aritmética.
- Resposta
-
an=6n−10
Limite de uma sequência
Uma questão fundamental que surge em relação às sequências infinitas é o comportamento dos termos àn medida que aumenta. Como uma sequência é uma função definida em números inteiros positivos, faz sentido discutir o limite dos termos comon→∞. Por exemplo, considere as quatro sequências a seguir e seus diferentes comportamentos comon→∞ (Figura9.1.2):
- {1+3n}={4,7,10,13,…}.Os termos1+3n se tornam arbitrariamente grandes à medida quen→∞. Nesse caso, dizemos que1+3n→∞ comon→∞.
- {1−(12)n}={12,34,78,1516…}.Os termos1−(12)n→1 comon→∞.
- {(−1)n}={−1,1,−1,1,…}.Os termos se alternam, mas não se aproximam de um único valor comon→∞.
- {(−1)nn}={−1,12,−13,14,…}.Os termos também se alternam para essa sequência, mas(−1)nn→0 comon→∞.

A partir desses exemplos, vemos várias possibilidades para o comportamento dos termos de uma sequência comon→∞. Em duas das sequências, os termos se aproximam de um número finito comon→∞. Nas outras duas sequências, os termos não. Se os termos de uma sequência se aproximam de um número finitoL comon→∞, dizemos que a sequência é uma sequência convergente e o número real L é o limite da sequência. Podemos dar uma definição informal aqui.
Dada uma sequência,an, se os termos an se tornarem arbitrariamente próximos de um número finito àL medida que n se torna suficientemente grande, dizemos que{an} é uma sequência convergente eL é o limite da sequência. Nesse caso, escrevemos
limn→∞an=L.
Se uma sequência não{an} é convergente, dizemos que é uma sequência divergente.
Na Figura, vemos que os termos na sequência{1−(12)n} estão se tornando arbitrariamente próximos à1 medida quen se torna muito grande. Concluímos que{1−(12)n} é uma sequência convergente e seu limite é1. Em contraste, na Figura, vemos que os termos na sequência não1+3n estão se aproximando de um número finito à medida quen se torna maior. Dizemos que{1+3n} é uma sequência divergente.
Na definição informal do limite de uma sequência, usamos os termos “arbitrariamente próximo” e “suficientemente grande”. Embora essas frases ajudem a ilustrar o significado de uma sequência convergente, elas são um tanto vagas. Para ser mais preciso, agora apresentamos a definição mais formal de limite para uma sequência e mostramos essas ideias graficamente na Figura.
Uma sequência{an} converge para um número realL seε>0, para todos, existir um inteiroN igual ao de todosn ≥ N|a_n−L| < ε. O númeroL é o limite da sequência e escrevemos
\lim_{n→∞}a_n = L \text{ or } a_n→L. \nonumber
Nesse caso, dizemos que a sequência\{a_n\} é uma sequência convergente. Se uma sequência não converge, é uma sequência divergente e dizemos que o limite não existe.
Observamos que a convergência ou divergência de uma sequência\{a_n\} depende apenas do que acontece com os termosa_n comon→∞. Portanto, se um número finito de termosb_1,b_2,…,b_N for colocado antes dea_1 criar uma nova sequência
b_1,\,b_2,\,…,\,b_N,\,a_1,\,a_2,\,…,\nonumber
essa nova sequência convergirá se\{a_n\} convergir e divergirá se\{a_n\} divergir. Além disso, se a sequência\{a_n\} convergir paraL, essa nova sequência também convergirá paraL.

Conforme definido acima, se uma sequência não convergir, é considerada uma sequência divergente. Por exemplo, as sequências\{1+3n\} e\left\{(−1)^n\right\} mostradas na Figura divergem. No entanto, sequências diferentes podem divergir de maneiras diferentes. A sequência\left\{(−1)^n\right\} diverge porque os termos alternam entre1 e−1, mas não se aproximam de um valor comon→∞. Por outro lado, a sequência\{1+3n\} diverge porque os termos1+3n→∞ comon→∞. Dizemos que a sequência\{1+3n\} diverge até o infinito e escrevemos\displaystyle \lim_{n→∞}(1+3n)=∞. É importante reconhecer que essa notação não implica que o limite da sequência\{1+3n\} exista. A sequência é, de fato, divergente. Escrever que o limite é infinito serve apenas para fornecer mais informações sobre por que a sequência é divergente. Uma sequência também pode divergir para o infinito negativo. Por exemplo, a sequência\{−5n+2\} diverge para o infinito negativo porque−5n+2→−∞ comon→−∞. Nós escrevemos isso como\displaystyle \lim_{n→∞}(−5n+2)=→−∞.
Como uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto de números inteiros positivos, podemos usar propriedades de limites de funções para determinar se uma sequência converge. Por exemplo, considere uma sequência\{a_n\} e uma função relacionadaf definidas em todos os números reais positivos, de forma quef(n)=a_n para todos os números inteirosn≥1. Como o domínio da sequência é um subconjunto do domínio def, se\displaystyle \lim_{x→∞}f(x) existir, a sequência converge e tem o mesmo limite. Por exemplo, considere a sequência\left\{\dfrac{1}{n}\right\} e a função relacionadaf(x)=\dfrac{1}{x}. Como a funçãof definida em todos os números reaisx>0 satisfazf(x)=\dfrac{1}{x}→0 comox→∞, a sequência\left\{\dfrac{1}{n}\right\} deve satisfazer\dfrac{1}{n}→0 comon→∞.
Considere uma sequência\{a_n\} como essaa_n=f(n) para todosn≥1. Se existe um número realL tal que
\lim_{x→∞}f(x)=L, \nonumber
então\{a_n\} converge e
\lim_{n→∞}a_n=L. \nonumber
Podemos usar esse teorema\displaystyle \lim_{n→∞}r^n para avaliar0≤r≤1. Por exemplo, considere a sequência\left\{(1/2)^n\right\} e a função exponencial relacionadaf(x)=(1/2)^x. Desde então\displaystyle \lim_{x→∞}(1/2)^x=0, concluímos que a sequência\left\{(1/2)^n\right\} converge e seu limite é0. Da mesma forma, para qualquer número realr como esse0≤r<1\displaystyle \lim_{x→∞}r^x=0, e, portanto, a sequência\left\{r^n\right\} converge. Por outro lado, ser=1, então e\displaystyle \lim_{x→∞}r^x=1, portanto, o limite da sequência\left\{1^n\right\} é1. Ser>1\displaystyle \lim_{x→∞}r^x=∞, e portanto, não podemos aplicar esse teorema. No entanto, nesse caso, assim como a funçãor^x cresce sem limite comon→∞, os termosr^n na sequência se tornam arbitrariamente grandes comon→∞, e concluímos que a sequência\left\{r^n\right\} diverge para o infinito ifr>1.
Resumimos esses resultados em relação à sequência geométrica{r^n}:
r^n→0E se0<r<1
r^n→1E ser=1
r^n→∞E ser>1.
Posteriormente, nesta seção, consideraremos o caso de quandor<0.
Agora, consideramos sequências um pouco mais complicadas. Por exemplo, considere a sequência\left\{(2/3)^n+(1/4)^n\right\}. Os termos nesta sequência são mais complicados do que outras sequências que discutimos, mas felizmente o limite dessa sequência é determinado pelos limites das duas sequências\left\{(2/3)^n\right\}\left\{(1/4)^n\right\} e. Como descrevemos nas seguintes leis de limite algébricos, uma vez que\left\{(2/3)^n\right\} e\left\{1/4)^n\right\} ambas convergem para0, a sequência\left\{(2/3)^n+(1/4)^n\right\} converge para0+0=0. Assim como pudemos calcular um limite envolvendo uma combinação algébrica de funçõesf eg observando os limites def eg (veja Introdução aos Limites), somos capazes de avaliar o limite de uma sequência cujos termos são combinações algébricas dea_n e b_navaliando os limites de\{a_n\}\{b_n\} e.
Dadas sequências\{a_n\}\{b_n\} e qualquer número realc, se existirem constantesA eB tal que\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=A e\displaystyle \lim_{n→∞}b_n=B, então
- \displaystyle \lim_{n→∞}c=c
- \displaystyle \lim_{n→∞}ca_n=c\lim_{n→∞}a_n=cA
- \displaystyle \lim_{n→∞}(a_n±b_n)=\lim_{n→∞}a_n±\lim_{n→∞}b_n=A±B
- \displaystyle \lim_{n→∞}(a_n⋅b_n)=\big(\lim_{n→∞}a_n\big)⋅\big(\lim_{n→∞}b_n\big)=A⋅B
- \displaystyle \lim_{n→∞}\left(\dfrac{a_n}{b_n}\right)=\dfrac{\lim_{n→∞}a_n}{\lim_{n→∞}b_n}=\dfrac{A}{B}, fornecidoB≠0 e cadab_n≠0.
Nós provamos a parte iii.
Deixeϵ>0. Desde então\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=A, existe um número inteiro positivo constanteN_1, tal como para todosn≥N_1. Desde então\displaystyle \lim_{n→∞}b_n=B, existe uma constanteN_2 tal que|b_n−B|<ε/2 para todosn≥N_2. NSeja o maior deN_1N_2 e. Portanto, para todosn≥N,|(a_n+b_n)−(A+B)|≤|a_n−A|+|b_n−B|<\dfrac{ε}{2}+\dfrac{ε}{2}=ε.
□
As leis de limite algébricos nos permitem avaliar limites para muitas sequências. Por exemplo, considere a sequênciaa_n={\dfrac{1}{n^2}}. Conforme mostrado anteriormente,\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{1}{n}=0. Da mesma forma, para qualquer número inteiro positivok, podemos concluir que
\lim_{n→∞}\dfrac{1}{n^k}=0. \nonumber
No próximo exemplo, usamos esse fato junto com as leis de limite para avaliar limites para outras sequências.
Para cada uma das sequências a seguir, determine se a sequência converge ou não. Se ele convergir, encontre seu limite.
- \left\{5−\dfrac{3}{n^2}\right\}
- \left\{\dfrac{3n^4−7n^2+5}{6−4n^4}\right\}
- \left\{\dfrac{2^n}{n^2}\right\}
- \left\{\left(1+\dfrac{4}{n}\right)^n\right\}
Solução
a. Nós sabemos disso\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{1}{n}=0. Usando esse fato, concluímos que
\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{1}{n^2}=\lim_{n→∞}\dfrac{1}{n}.\lim_{n→∞}\dfrac{1}{n}=0.
Portanto,
\displaystyle \lim_{n→∞}\left(5−\dfrac{3}{n^2}\right)=\lim_{n→∞}5−3\lim_{n→∞}\dfrac{1}{n^2}=5−3.0=5.
A sequência converge e seu limite é 5.
b. Ao fatorarn^4 o numerador e o denominador e usar as leis de limite acima, temos
\ [\ begin {align*}\ lim_ {n→∞}\ dfrac {3n^4−7n^2+5} {6−4n^4} &=\ lim_ {n→∞}\ dfrac {3−\ dfrac {7} {n^2} +\ dfrac {5} {n^4}} {\ dfrac {6} {n^4}} {\ dfrac {6} {n^2} 4} −4}\\ [5pt]
&=\ dfrac {\ lim_ {n→∞} (3−\ dfrac {7} {n^2} +\ dfrac {5} {n^4})} {\ lim_ {n→∞} (\ dfrac {6} {n^4} −4)}\\ [5pt]
&=\ dfrac {\ lim_ {n→∞} (3) −\ lim_ {n→∞}\ dfrac {7} {n^2} +\ lim_ {n→∞}\ dfrac {5} {n^4}} {\ lim_ {n→∞}\ dfrac {6} {n^4} −\ lim_ {n→∞} (4)}\\ [5 pontos]
&=\ dfrac {\ lim_ {n→∞} (3) −7\ lim_ {n→∞}\ dfrac {1} {n^2} +5‣\ lim_ {n→∞}\ dfrac {1} {n^4}} {6\ lim_ {n→∞}\ dfrac {1} {n^4} −\ lim_ {n→∞} (4)}\\ [5pt]
&=\ dfrac {3−7⋅0+5⋅0} {6⋅0−4} =−\ dfrac {3} {4}. \ end {align*}\]
A sequência converge e seu limite é−3/4.
c. Considere a função relacionadaf(x)=2^x/x^2 definida em todos os números reaisx>0. Desde2^x→∞ ex^2→∞ comox→∞, aplique a regra de L'Hôpital e escreva
\ [\ begin {align*}\ lim_ {x→∞}\ dfrac {2^x} {x^2} &=\ lim_ {x→∞}\ dfrac {2^x\ ln2} {2x} & &\ text {Pegue as derivadas do numerador e do denominador.}\\ [5pt]
&=\ lim_ {x→∞}\ dfrac {2^x (\ ln2) ^2} {2} & &\ text {Pegue as derivadas novamente.}\\ [5pt]
&=∞. \ end {align*}\]
Concluímos que a sequência diverge.
d. Considere a funçãof(x)=\left(1+\dfrac{4}{x}\right)^x definida em todos os números reaisx>0. Esta função tem a forma indeterminada1^∞ comox→∞. Let
\displaystyle y=\lim_{x→∞}\left(1+\dfrac{4}{x}\right)^x.
Agora, tomando o logaritmo natural de ambos os lados da equação, obtemos
\displaystyle \ln(y)=\ln\left[\lim_{x→∞}\left(1+\dfrac{4}{x}\right)^x\right].
Como a funçãof(x)=\ln(x) é contínua em seu domínio, podemos trocar o limite e o logaritmo natural. Portanto,
\displaystyle \ln(y)=\lim_{x→∞}\left[\ln\left(1+\dfrac{4}{x}\right)^x\right].
Usando propriedades de logaritmos, escrevemos
\displaystyle \lim_{x→∞}\left[\ln\left(1+\dfrac{4}{x}\right)^x\right]=\lim_{x→∞}x\ln\left(1+\dfrac{4}{x}\right).
Como o lado direito dessa equação tem a forma indeterminada∞⋅0, reescreva-a como uma fração para aplicar a regra de L'Hôpital. Escreva
\displaystyle \lim_{x→∞}x\ln\left(1+\dfrac{4}{x}\right)=\lim_{x→∞}\dfrac{\ln\left(1+4/x\right)}{1/x}.
Como o lado direito está agora na forma indeterminada 0/0, podemos aplicar a regra de L'Hôpital. Concluímos que
\displaystyle \lim_{x→∞}\dfrac{\ln(1+4/x)}{1/x}=\lim_{x→∞}\dfrac{4}{1+4/x}=4.
Portanto,\ln(y)=4y=e^4 e. Portanto, desde então\displaystyle \lim_{x→∞}\left(1+\dfrac{4}{x}\right)^x=e^4, podemos concluir que a sequência\left\{\left(1+\dfrac{4}{n}\right)^n\right\} converge parae^4.
Considere a sequência\left\{(5n^2+1)/e^n\right\}. Determine se a sequência converge ou não. Se ele convergir, encontre seu limite.
- Dica
-
Use a regra de L'Hôpital.
- Resposta
-
A sequência converge e seu limite é0
Lembre-se de que sef é uma função contínua em um valorL, entãof(x)→f(L) comox→L. Essa ideia também se aplica às sequências. Suponha que uma sequênciaa_n→L e uma funçãof seja contínua emL. Entãof(a_n)→f(L). Essa propriedade geralmente nos permite encontrar limites para sequências complicadas. Por exemplo, considere a sequência\sqrt{5−\dfrac{3}{n^2}}. Do exemplo a. conhecemos a sequência5−\dfrac{3}{n^2}→5. Uma vez que\sqrt{x} é uma função contínua emx=5,
\lim_{n→∞}\sqrt{5−\dfrac{3}{n^2}}=\sqrt{\lim_{n→∞}(5−\dfrac{3}{n^2})}=\sqrt{5}.\nonumber
Considere uma sequência\{a_n\} e suponha queL exista um número real para o qual a sequência\{a_n\} converjaL. Suponha quef seja uma função contínua emL. Então, existe um número inteiroN quef é definido em todos os valores e forn≥N, e a sequência\{f(a_n)\} converge paraf(L) (Figura\PageIndex{4}).

Letϵ>0. Sincef é contínuo emL, existeδ>0 tal que|f(x)−f(L)|<ε se|x−L|<δ. Como a sequência\{a_n\} converge paraL,N existe isso|a_n−L|<δ para todosn≥N. Portanto, para todosn≥N|a_n−L|<δ, o que implica|f(a_n)−f(L)|<ε. Concluímos que a sequência\{f(a_n)\} converge paraf(L).
□
Determine se a sequência\left\{\cos(3/n^2)\right\} converge. Se ele convergir, encontre seu limite.
Solução:
Como a sequência\left\{3/n^2\right\} converge para0 e\cos x é contínua emx=0, podemos concluir que a sequência\left\{\cos(3/n^2)\right\} converge e
\displaystyle \lim_{n→∞}\cos\left(\dfrac{3}{n^2}\right)=\cos 0=1.
Determine se a sequência\left\{\sqrt{\dfrac{2n+1}{3n+5}}\right\} converge. Se ele convergir, encontre seu limite.
- Dica
-
Considere a sequência\left\{\dfrac{2n+1}{3n+5}\right\}.
- Resposta
-
A sequência converge e seu limite é\sqrt{2/3}.
Outro teorema envolvendo limites de sequências é uma extensão do Teorema de Squeeze para limites discutidos em Introdução aos Limites.
Considere as sequências\{a_n\}, \, \{b_n\},\{c_n\} e. Suponha que exista um número inteiroN tal que
a_n≤b_n≤c_npara todosn≥N.
Se existe um número realL tal que
\lim_{n→∞}a_n=L=\lim_{n→∞}c_n, \nonumber
em seguida,\{b_n\} converge e\displaystyle \lim_{n→∞}b_n=L (Figura\PageIndex{5}).

Letε>0. Como a sequência\{a_n\} converge paraL, existe um número inteiroN_1 igual ao|a_n−L|<ε de todosn≥N_1. Da mesma forma, como\{c_n\} converge paraL, existe um número inteiroN_2 igual ao|c_n−L|<ε de todosn≥N_2. Por suposição, existe um número inteiroN igual aoa_n≤b_n≤c_n de todosn≥N. MSeja o maior deN_1,\, N_2,N e. Devemos mostrar isso|b_n−L|<ε para todosn≥M. Para todosn≥M,
−ε<−|a_n−L|≤a_n−L≤b_n−L≤c_n−L≤|c_n−L|<ε\nonumber
Portanto,−ε<b_n−L<ε, concluímos isso|b_n−L|<ε para todosn≥M, e concluímos que a sequência{b_n} converge paraL.
□
Use o Teorema de Squeeze para encontrar o limite de cada uma das seguintes sequências.
- \left\{\dfrac{\cos\, n}{n^2}\right\}
- \left\{\left(−\dfrac{1}{2}\right)^n\right\}
Solução
a. Uma vez que,−1≤\cos n≤1 para todos os números inteirosn, temos
−\dfrac{1}{n^2} ≤ \dfrac{\cos n}{n^2}≤\dfrac{1}{n^2}.
Desde−1/n^2→0 e1/n^2→0, concluímos isso\cos n/n^2→0 também.
b. Desde
−\dfrac{1}{2^n} ≤ \left(−\dfrac{1}{2}\right)^n ≤ \dfrac{1}{2^n}
para todos os números inteiros positivosn, \, −1/2^n→0 e1/2^n→0, podemos concluir que(−1/2)^n→0.
Encontre\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{2n−\sin\, n}{n}.
- Dica
-
Use o fato de que−1≤\sin n≤1.
- Resposta
-
2
Usando a ideia do Exemplo,\PageIndex{5} b concluímos quer^n→0 para qualquer número real r tal que−1<r<0. Ifr<−1, a sequência{r^n} diverge porque os termos oscilam e se tornam arbitrariamente grandes em magnitude. Ser=−1, a sequência{r^n}={(−1)^n} diverge, conforme discutido anteriormente. Aqui está um resumo das propriedades das sequências geométricas.
r^n→0 \text{ if } |r|<1
r^n→1\text{ if } r=1
r^n→∞\text{ if } r>1
\left\{r^n\right\} \text{ diverges if } r≤−1
Sequências limitadas
Agora voltamos nossa atenção para um dos teoremas mais importantes envolvendo sequências: o Teorema da Convergência Monótona. Antes de declarar o teorema, precisamos introduzir alguma terminologia e motivação. Começamos definindo o que significa delimitar uma sequência.
Uma sequência\{a_n\} é limitada acima se existir um número realM tal que
a_n≤M
para todos os números inteiros positivosn.
Uma sequência\{a_n\} é limitada abaixo se existir um número realm tal que
m≤a_n
para todos os números inteiros positivosn.
Uma sequência\{a_n\} é uma sequência limitada se estiver limitada acima e limitada abaixo.
Se uma sequência não for limitada, ela será uma sequência ilimitada.
Por exemplo, a sequência\{1/n\} está limitada acima porque1/n≤1 para todos os números inteiros positivosn. Também está limitado abaixo porque1/n≥0 para todos os números inteiros positivosn. Portanto,\{1/n\} é uma sequência limitada. Por outro lado, considere a sequência\left\{2^n\right\}. Porque,2^n≥2 para todosn≥1, a sequência está limitada abaixo. No entanto, a sequência não está limitada acima. Portanto,\left\{2^n\right\} é uma sequência ilimitada.
Agora discutimos a relação entre limite e convergência. Suponha que uma sequência\{a_n\} seja ilimitada. Então, ele não está limitado acima, ou não está limitado abaixo, ou ambos. Em ambos os casos, existem termos e que são arbitrariamente grandes em magnitude àn medida que aumentam. Como resultado, a sequência\{a_n\} não pode convergir. Portanto, estar limitado é uma condição necessária para que uma sequência converja.
Se uma sequência\{a_n\} convergir, ela será limitada.
Observe que uma sequência limitada não é uma condição suficiente para que uma sequência converja. Por exemplo, a sequência\left\{(−1)^n\right\} é limitada, mas a sequência diverge porque a sequência oscila entre1 e−1 e nunca se aproxima de um número finito. Agora discutimos uma condição suficiente (mas não necessária) para que uma sequência limitada converja.
Considere uma sequência limitada\{a_n\}. Suponha que a sequência\{a_n\} esteja aumentando. Ou seja,a_1≤a_2≤a_3…. como a sequência está aumentando, os termos não estão oscilando. Portanto, existem duas possibilidades. A sequência pode divergir para o infinito ou pode convergir. No entanto, como a sequência é limitada, ela é limitada acima e não pode divergir para o infinito. Concluímos que\{a_n\} converge. Por exemplo, considere a sequência
\left\{\dfrac{1}{2},\,\dfrac{2}{3},\,\dfrac{3}{4},\,\dfrac{4}{5},\,…\right\}. \nonumber
Como essa sequência está aumentando e limitada acima, ela converge. Em seguida, considere a sequência
\left\{2,\,0,\,3,\,0,\,4,\,0,\,1,\,−\dfrac{1}{2},\,−\dfrac{1}{3},\,−\dfrac{1}{4},\,…\right\}. \nonumber
Mesmo que a sequência não esteja aumentando para todos os valores den, vemos isso−1/2<−1/3<−1/4<⋯. Portanto, começando com o oitavo termoa_8=−1/2, a sequência está aumentando. Nesse caso, dizemos que a sequência está aumentando eventualmente. Como a sequência está limitada acima, ela converge. Também é verdade que, se uma sequência está diminuindo (ou eventualmente diminuindo) e limitada abaixo, ela também converge.
Uma sequência\{a_n\} está aumentando para todosn≥n_0 se
a_n≤a_{n+1}para todosn≥n_0.
Uma sequência\{a_n\} está diminuindo para todosn≥n_0 se
a_n ≥ a_{n+1}para todosn≥n_0.
Uma sequência\{a_n\} é monótona para todosn≥n_0 se estiver aumentando para todosn≥n_0 ou diminuindo para todosn≥n_0.
Agora temos as definições necessárias para declarar o Teorema da Convergência Monótona, que fornece uma condição suficiente para a convergência de uma sequência.
Se\{a_n\} for uma sequência limitada e existir um inteiron_0 positivo que\{a_n\} seja monótono para todosn≥n_0, então\{a_n\} converge.
A prova desse teorema está além do escopo deste texto. Em vez disso, fornecemos um gráfico para mostrar intuitivamente por que esse teorema faz sentido (Figura\PageIndex{6}).

No exemplo a seguir, mostramos como o Teorema da Convergência Monótona pode ser usado para provar a convergência de uma sequência.
Para cada uma das seguintes sequências, use o Teorema da Convergência Monótona para mostrar que a sequência converge e encontrar seu limite.
- \left\{\dfrac{4^n}{n!}\right\}
- \{a_n\}definido recursivamente de tal forma que
a_1=2 ea_{n+1}=\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{1}{2a_n} para todosn≥2.
Solução
a. Escrevendo os primeiros termos, vemos que
\left\{\dfrac{4^n}{n!}\right\}=\left\{4,\,8,\,\dfrac{32}{3},\,\dfrac{32}{3},\,\dfrac{128}{15},\,…\right\}.
No início, os termos aumentam. No entanto, após o terceiro mandato, os termos diminuem. Na verdade, os termos diminuem para todosn≥3. Podemos mostrar isso da seguinte forma.
a_{n+1}=\dfrac{4^{n+1}}{(n+1)!}=\dfrac{4}{n+1}⋅\dfrac{4^n}{n!}=\dfrac{4}{n+1}⋅a_n≤a_nE sen≥3.
Portanto, a sequência está diminuindo para todosn≥3. Além disso, a sequência é limitada abaixo por0 porque4n/n!≥0 para todos os números inteiros positivosn. Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, a sequência converge.
Para encontrar o limite, usamos o fato de que a sequência converge e deixa\displaystyle L=\lim_{n→∞}a_n. Agora, observe essa observação importante. Considere\displaystyle \lim_{n→∞}a_{n+1}. Desde
\{a_{n+1}\}=\{a_2,\,a_3,\,a_4,\,…\},
a única diferença entre as sequências\{a_{n+1}\} e\{a_n\} é que\{a_{n+1}\} omite o primeiro termo. Como um número finito de termos não afeta a convergência de uma sequência,
\displaystyle \lim_{n→∞}a_{n+1}=\lim_{n→∞}a_n=L.
Combinando esse fato com a equação
a_{n+1}=\dfrac{4}{n+1}a_n
e tomando o limite de ambos os lados da equação
\displaystyle \lim_{n→∞}a_{n+1}=\lim_{n→∞}\dfrac{4}{n+1}a_n,
podemos concluir que
L=0⋅L=0.
b. Escrevendo os primeiros termos,
\left\{2,\,\dfrac{5}{4},\,\dfrac{41}{40},\,\dfrac{3281}{3280},\,…\right\}.
podemos conjecturar que a sequência está diminuindo e limitada abaixo por1. Para mostrar que a sequência é limitada abaixo por1, podemos mostrar que
\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{1}{2a_n}≥1.
Para mostrar isso, primeiro reescreva
\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{1}{2a_n}=\dfrac{a^2_n+1}{2a_n}.
Uma vez quea_1>0 ea_2 é definido como uma soma de termos positivos, daa_2>0. mesma forma, todos os termosa_n>0. Portanto,
\dfrac{a^2n+1}{2a_n}≥1
se e somente se
a^2_n+1≥2a_n.
Reescrevendo a desigualdadea^2_n+1≥2a_n comoa^2_n−2a_n+1≥0, e usando o fato de que
a^2_n−2a_n+1=(a_n−1)^2≥0
porque o quadrado de qualquer número real não é negativo, podemos concluir que
\dfrac{a^n}{2}+\dfrac{1}{2a_n}≥1.
Para mostrar que a sequência está diminuindo, devemos mostrar issoa_{n+1}≤a_n para todosn≥1. Uma vez que1≤a^2_n, segue-se que
a^2_n+1≤2a^2_n.
Dividindo os dois lados por2a_n, obtemos
\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{1}{2a_n}≤a_n.
Usando a definição dea_{n+1}, concluímos que
a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{1}{2a_n}≤a_n.
Como\{a_n\} é limitado abaixo e decrescente, pelo Teorema da Convergência Monótona, ele converge.
Para encontrar o limite, deixe\displaystyle L=\lim_{n→∞}a_n. Em seguida, usando a relação de recorrência e o fato\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=\lim_{n→∞}a_{n+1} de que temos
\displaystyle \lim_{n→∞}a_{n+1}=\lim_{n→∞}(\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{1}{2a_n}),
e, portanto,
L=\dfrac{L}{2}+\dfrac{1}{2L}.
Multiplicando os dois lados dessa equação por2L, chegamos à equação
2L^2=L^2+1.
Resolvendo essa equação,L, concluímos queL^2=1, o que implicaL=±1. Como todos os termos são positivos, o limiteL=1.
Considere a sequência\{a_n\} definida recursivamente de forma quea_1=1,a_n=a_{n−1}/2. Use o Teorema da Convergência Monótona para mostrar que essa sequência converge e encontra seu limite.
- Dica
-
Mostra que a sequência está diminuindo e delimitada abaixo.
- Resposta
-
0.
Os números de Fibonacci são definidos recursivamente pela sequência\left\{F_n\right\} ondeF_0=0, \, F_1=1 e paran≥2,
F_n=F_{n−1}+F_{n−2}.
Aqui, examinamos as propriedades dos números de Fibonacci.
1. Escreva os primeiros vinte números de Fibonacci.
2. Encontre uma fórmula fechada para a sequência de Fibonacci usando as etapas a seguir.
a. Considere a sequência recursivamente definida{x_n} ondex_0=cx_{n+1}=ax_n e. Mostre que essa sequência pode ser descrita pela fórmula fechadax_n=ca^n para todosn≥0.
b. Usando o resultado da parte a. como motivação, procure uma solução da equação
F_n=F_{n−1}+F_{n−2}
do formulárioF_n=cλ^n. Determine quais dois valoresλ permitirãoF_n satisfazer essa equação.
c. Considere as duas soluções da parte b.:λ_1λ_2 e. DeixeF_n=c_1λ_1^n+c_2λ_2^n. Use as condições iniciaisF_0 eF_1 determine os valores das constantesc_1c_2 e escreva a fórmula fechadaF_n.
3. Use a resposta em 2 c. para mostrar que
\lim_{n→∞}\dfrac{F_{n+1}}{F_n}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.\nonumber
O númeroϕ=(1+\sqrt{5})/2 é conhecido como proporção áurea (Figura e Figura).


Conceitos-chave
- Para determinar a convergência de uma sequência dada por uma fórmula explícitaa_n=f(n), usamos as propriedades de limites para funções.
- Se\{a_n\} e\{b_n\} são sequências convergentes que convergem paraA eB, respectivamente, ec são qualquer número real, então a sequência\{ca_n\} converge parac\cdot A, as sequências\{a_n±b_n\} convergem paraA±B, a sequência\{a_n\cdot b_n\} converge paraA⋅B, e a a sequência\{a_n/b_n\} converge para aA/B, fornecidaB≠0.
- Se uma sequência é limitada e monótona, ela converge, mas nem todas as sequências convergentes são monótonas.
- Se uma sequência é ilimitada, ela diverge, mas nem todas as sequências divergentes são ilimitadas.
- A sequência geométrica\left\{r^n\right\} converge se e somente se|r|<1 our=1.
Glossário
- sequência aritmética
- uma sequência na qual a diferença entre cada par de termos consecutivos é a mesma é chamada de sequência aritmética
- limitado acima
- uma sequência\{a_n\} é limitada acima se existir uma constanteM tal quea_n≤M para todos os números inteiros positivosn
- limitado abaixo
- uma sequência\{a_n\} é limitada abaixo se existir uma constanteM tal queM≤a_n para todos os números inteiros positivosn
- sequência limitada
- uma sequência\{a_n\} é limitada se existir uma constanteM tal que|a_n|≤M para todos os números inteiros positivosn
- sequência convergente
- uma sequência convergente é uma sequência\{a_n\} para a qual existe um número realL tal quea_n é arbitrariamente próximo do tempo quen seja suficientemente grandeL
- sequência divergente
- uma sequência que não é convergente é divergente
- fórmula explícita
- uma sequência pode ser definida por uma fórmula explícita tal quea_n=f(n)
- sequência geométrica
- uma sequência\{a_n\} na qual a razãoa_{n+1}/a_n é a mesma para todos os números inteiros positivosn é chamada de sequência geométrica
- variável de índice
- o subscrito usado para definir os termos em uma sequência é chamado de índice
- limite de uma sequência
- o número realL para o qual uma sequência converge é chamado de limite da sequência
- sequência monótona
- uma sequência crescente ou decrescente
- relação de recorrência
- uma relação de recorrência é uma relação na qual um termoa_n em uma sequência é definido em termos de termos anteriores na sequência
- sequência
- uma lista ordenada de números do formulárioa_1,\,a_2,\,a_3,\,… é uma sequência
- prazo
- o númeroa_n na sequência\{a_n\} é chamado den^{\text{th}} termo da sequência
- sequência ilimitada
- uma sequência que não é limitada é chamada de ilimitada