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9.0: Prelúdio para sequências e séries

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
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    O floco de neve de Koch é construído a partir de um número infinito de triângulos equiláteros não sobrepostos. Consequentemente, podemos expressar sua área como uma soma de infinitos termos. Como adicionamos um número infinito de termos? A soma de um número infinito de termos pode ser finita? Para responder a essas perguntas, precisamos introduzir o conceito de uma série infinita, uma soma com infinitos termos. Depois de definir as ferramentas necessárias, poderemos calcular a área do floco de neve de Koch.

    Este é um diagrama de várias iterações do floco de neve de Koch, que é criado por meio de um processo interativo. O primeiro caso é um triângulo equilátero. Cinco vezes, o terço médio de cada segmento de linha é substituído por um triângulo equilátero apontando para fora.
    Figura\(\PageIndex{1}\): O floco de neve de Koch é construído usando um processo iterativo. Começando com um triângulo equilátero, em cada etapa do processo, o terço médio de cada segmento de linha é removido e substituído por um triângulo equilátero apontando para fora.

    O tópico de séries infinitas pode parecer não relacionado ao cálculo diferencial e integral. Na verdade, uma série infinita cujos termos envolvem potências de uma variável é uma ferramenta poderosa que podemos usar para expressar funções como “polinômios infinitos”. Podemos usar séries infinitas para avaliar funções complicadas, aproximar integrais definidas e criar novas funções. Além disso, séries infinitas são usadas para resolver equações diferenciais que modelam o comportamento físico, de pequenos circuitos eletrônicos a satélites em órbita terrestre.