9.2: Série Infinite

Objetivos de

• Explique o significado da soma de uma série infinita.
• Calcule a soma de uma série geométrica.
• Avalie uma série telescópica.

Vimos que uma sequência é um conjunto ordenado de termos. Se você adicionar esses termos juntos, obterá uma série. Nesta seção, definimos uma série infinita e mostramos como as séries estão relacionadas às sequências. Também definimos o que significa para uma série convergir ou divergir. Apresentamos um dos tipos mais importantes de séries: a série geométrica. Usaremos séries geométricas no próximo capítulo para escrever certas funções como polinômios com um número infinito de termos. Esse processo é importante porque nos permite avaliar, diferenciar e integrar funções complicadas usando polinômios mais fáceis de manusear. Também discutimos a série harmônica, sem dúvida a série divergente mais interessante porque ela simplesmente não consegue convergir.

Somas e séries

Uma série infinita é uma soma de infinitos termos e é escrita na forma

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n=a_1+a_2+a_3+⋯.$

Mas o que isso significa? Não podemos adicionar um número infinito de termos da mesma forma que podemos adicionar um número finito de termos. Em vez disso, o valor de uma série infinita é definido em termos do limite de somas parciais. A soma parcial de uma série infinita é uma soma finita da forma

$\displaystyle \sum_{n=1}^ka_n=a_1+a_2+a_3+⋯+a_k.$

Para ver como usamos somas parciais para calcular séries infinitas, considere o exemplo a seguir. Suponha que o óleo esteja se infiltrando em um lago, de forma que$1000$ galões entrem no lago na primeira semana. Durante a segunda semana, mais$500$ galões de óleo entram no lago. Na terceira semana,$250$ mais galões entram no lago. Suponha que esse padrão continue de forma que a cada semana metade do óleo entre no lago do que na semana anterior. Se isso continuar para sempre, o que podemos dizer sobre a quantidade de óleo no lago? A quantidade de óleo continuará a ficar arbitrariamente grande ou é possível que ela se aproxime de uma quantidade finita? Para responder a essa pergunta, analisamos a quantidade de óleo no lago após$k$ semanas. Deixando$S_k$ indicar a quantidade de óleo no lago (medida em milhares de galões) após$k$ semanas, vemos que

$S_1=1$

$S_2=1+0.5=1+\frac{1}{2}$

$S_3=1+0.5+0.25=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$

$S_4=1+0.5+0.25+0.125=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$

$S_5=1+0.5+0.25+0.125+0.0625=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}.$

Observando esse padrão, vemos que a quantidade de óleo no lago (em milhares de galões) após$k$ semanas é

$$S_k=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+⋯+\frac{1}{2^{k−1}}=\sum_{n=1}^k\left(\frac{1}{2}\right)^{n−1}. \nonumber$$

Estamos interessados no que acontece, como$k→∞.$ simbolicamente, a quantidade de óleo no lago, conforme$k→∞$ é dada pela série infinita.

$$\sum_{n=1}^∞\left(\frac{1}{2}\right)^{n−1}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+⋯. \nonumber$$

Ao mesmo tempo$k→∞$, a quantidade de óleo no lago pode ser calculada avaliando$\displaystyle \lim_{k→∞}S_k$. Portanto, o comportamento da série infinita pode ser determinado observando o comportamento da sequência de somas parciais${S_k}$. Se a sequência de somas parciais${S_k}$ convergir, dizemos que a série infinita converge e sua soma é dada por$\displaystyle \lim_{k→∞}S_k$. Se a sequência${S_k}$ divergir, dizemos que a série infinita diverge. Agora voltamos nossa atenção para determinar o limite dessa sequência${S_k}$.

Primeiro, simplificando algumas dessas somas parciais, vemos que

$S_1=1$

$S_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

$S_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$

$S_4=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{15}{8}$

$S_5=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{31}{16}.$

Traçando alguns desses valores na Figura, parece que a sequência${S_k}$ pode estar se aproximando de 2.

Figura$\PageIndex{1}$: O gráfico mostra a sequência de somas parciais${S_k}$. Parece que a sequência está se aproximando do valor$2$.

Vamos procurar evidências mais convincentes. Na tabela a seguir, listamos os valores de$S_k$ para vários valores de$k$.

$k$	5	10	15	20
$S_k$	1.9375	1.998	1,999939	1,999998

Esses dados fornecem mais evidências sugerindo que a sequência${S_k}$ converge para$2$. Posteriormente, forneceremos um argumento analítico que pode ser usado para provar isso$\displaystyle \lim_{k→∞}S_k=2$. Por enquanto, contamos com os dados numéricos e gráficos para nos convencermos de que a sequência de somas parciais realmente converge para$2$. Como essa sequência de somas parciais converge para$2$, dizemos que a série infinita converge$2$ e escreve

$$\sum_{n=1}^∞\left(\frac{1}{2}\right)^{n−1}=2.\nonumber$$

Voltando à pergunta sobre o óleo no lago, uma vez que essa série infinita converge para$2$, concluímos que a quantidade de óleo no lago se aproximará arbitrariamente de$2000$ galões à medida que a quantidade de tempo se tornar suficientemente grande.

Esta série é um exemplo de uma série geométrica. Discutiremos as séries geométricas com mais detalhes posteriormente nesta seção. Primeiro, resumimos o que significa convergir uma série infinita.

Definição

Uma série infinita é uma expressão da forma

$$\sum_{n=1}^∞a_n=a_1+a_2+a_3+⋯. \nonumber$$

Para cada número inteiro positivo$k$, a soma

$$S_k=\sum_{n=1}^ka_n=a_1+a_2+a_3+⋯+a_k \nonumber$$

é chamada de soma$k^{\text{th}}$ parcial da série infinita. As somas parciais formam uma sequência${S_k}$. Se a sequência de somas parciais convergir para um número real$S$, a série infinita converge. Se pudermos descrever a convergência de uma série para$S$, chamamos$S$ a soma da série e escrevemos

$$\sum_{n=1}^∞a_n=S. \nonumber$$

Se a sequência de somas parciais divergir, temos a divergência de uma série.

Observe que o índice de uma série não precisa começar com$n=1$, mas pode começar com qualquer valor. Por exemplo, a série

$$\sum_{n=1}^∞\left(\frac{1}{2}\right)^{n−1} \nonumber$$

também pode ser escrito como

$$\sum_{n=0}^∞\left(\frac{1}{2}\right)^n\; \text{or}\; \sum_{n=5}^∞\left(\frac{1}{2}\right)^{n−5}. \nonumber$$

Muitas vezes, é conveniente que o índice comece em$1$, então, se por algum motivo ele começar com um valor diferente, podemos reindexar fazendo uma alteração nas variáveis. Por exemplo, considere a série

$$\sum_{n=2}^∞\frac{1}{n^2}. \nonumber$$

Ao introduzir a variável$m=n−1$, para que$n=m+1,$ possamos reescrever a série como

$$\sum_{m=1}^∞\frac{1}{(m+1)^2}. \nonumber$$

Exemplo$\PageIndex{1}$: Evaluating Limits of Sequences of Partial Sums

Para cada uma das séries a seguir, use a sequência de somas parciais para determinar se a série converge ou diverge.

1. $\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n}{n+1}$
2. $\displaystyle \sum_{n=1}^∞(−1)^n$
3. $\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n(n+1)}$

Solução

a. A sequência de somas parciais${S_k}$ satisfaz

$S_1=\dfrac{1}{2}$

$S_2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}$

$S_3=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}$

$S_4=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{5}$.

Observe que cada termo adicionado é maior que$1/2$. Como resultado, vemos que

$S_1=\dfrac{1}{2}$

$S_2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}>\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=2\left(\dfrac{1}{2}\right)$

$S_3=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}>\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=3\left(\dfrac{1}{2}\right)$

$S_4=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{5}>\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=4\left(\dfrac{1}{2}\right).$

A partir desse padrão, podemos ver isso$S_k>k\left(\frac{1}{2}\right)$ para cada número inteiro$k$. Portanto,${S_k}$ é ilimitado e, consequentemente, diverge. Portanto, a série infinita$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n}{n+1}$ diverge.

b. A sequência de somas parciais${S_k}$ satisfaz

$S_1=−1$

$S_2=−1+1=0$

$S_3=−1+1−1=−1$

$S_4=−1+1−1+1=0.$

A partir desse padrão, podemos ver que a sequência de somas parciais é

$${S_k}={−1,0,−1,0,…}. \nonumber$$

Como essa sequência diverge, a série infinita$\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^n$ diverge.

c. A sequência de somas parciais${S_k}$ satisfaz

$S_1=\dfrac{1}{1⋅2}=\dfrac{1}{2}$

$S_2=\dfrac{1}{1⋅2}+\dfrac{1}{2⋅3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}$

$S_3=\dfrac{1}{1⋅2}+\dfrac{1}{2⋅3}+\dfrac{1}{3⋅4}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{4}$

$S_4=\dfrac{1}{1⋅2}+\dfrac{1}{2⋅3}+\dfrac{1}{3⋅4}+\dfrac{1}{4⋅5}=\dfrac{4}{5}$

$S_5=\dfrac{1}{1⋅2}+\dfrac{1}{2⋅3}+\dfrac{1}{3⋅4}+\dfrac{1}{4⋅5}+\dfrac{1}{5⋅6}=\dfrac{5}{6}.$

A partir desse padrão, podemos ver que a soma$k^{\text{th}}$ parcial é dada pela fórmula explícita

$$S_k=\frac{k}{k+1} \nonumber$$ .

$k/(k+1)→1,$Pois concluímos que a sequência de somas parciais converge e, portanto, a série infinita converge para$1$. Nós temos

$$\sum_{n=1}^∞\frac{1}{n(n+1)}=1. \nonumber$$

Exercício$\PageIndex{1}$

Determine se a série$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n+1}{n}$ converge ou diverge.

Dica

Veja a sequência de somas parciais.

Resposta

A série diverge por causa da soma$k^{\text{th}}$ parcial$S_k>k$.

A série Harmonic

Uma série útil que você deve conhecer é a série harmônica. A série harmônica é definida como

$$\sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+⋯. \nonumber$$

Essa série é interessante porque diverge, mas diverge muito lentamente. Com isso, queremos dizer que os termos na sequência de somas parciais${S_k}$ se aproximam do infinito, mas o fazem muito lentamente. Mostraremos que a série diverge, mas primeiro ilustramos o lento crescimento dos termos na sequência${S_k}$ na tabela a seguir.

$k$	10	100	1000	10,00	100.000	1.000.000
$S_k$	2.92897	5.18738	7.48547	9.78761	12.09015	14.39273

Mesmo depois dos$1,000,000$ termos, a soma parcial ainda é relativamente pequena. A partir dessa tabela, não está claro se essa série realmente diverge. No entanto, podemos mostrar analiticamente que a sequência de somas parciais diverge e, portanto, a série diverge.

Para mostrar que a sequência de somas parciais diverge, mostramos que a sequência de somas parciais é ilimitada. Começamos escrevendo as primeiras somas parciais:

$S_1=1$

$S_2=1+\dfrac{1}{2}$

$S_3=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$

$S_4=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}$.

Observe que, nos dois últimos termos em$S_4$,

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \nonumber$$

Portanto, concluímos que

$$S_4>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1+2\left(\frac{1}{2}\right). \nonumber$$

Usando a mesma ideia para$S_8$, vemos que

$\displaystyle S_8=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1+3\left(\frac{1}{2}\right)$.

A partir desse padrão, vemos isso$S_1=1, S_2=1+1/2, S_4>1+2(1/2),$$S_8>1+3(1/2)$ e. De forma mais geral, pode-se demonstrar isso$S_{2^j}>1+j(1/2)$ para todos$j>1$. Uma vez que$1+j(1/2)→∞,$ concluímos que a sequência${S_k}$ é ilimitada e, portanto, diverge. Na seção anterior, afirmamos que as sequências convergentes são limitadas. Consequentemente, uma vez que${S_k}$ é ilimitado, ele diverge. Assim, a série harmônica diverge.

Propriedades algébricas de séries convergentes

Como a soma de uma série infinita convergente é definida como um limite de uma sequência, as propriedades algébricas das séries listadas abaixo seguem diretamente das propriedades algébricas das sequências.

Nota$\PageIndex{1}$: Algebraic Properties of Convergent Series

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞ b_n$Seja uma série convergente.$\displaystyle \sum_{n=1}^∞ a_n$ Então, as seguintes propriedades algébricas são válidas.

i. A série$\displaystyle \sum_{n=1}^∞(a_n+b_n)$ converge e$\displaystyle \sum^∞_{n=1}(a_n+b_n)=\sum^∞_{n=1}a_n+\sum^∞_{n=1}b_n.$ (regra de soma)

ii. A série$\displaystyle \sum_{n=1}^∞(a_n−b_n)$ converge e$\displaystyle \sum^∞_{n=1}(a_n−b_n)=\sum^∞_{n=1}a_n−\sum^∞_{n=1}b_n.$ (regra da diferença)

iii. Para qualquer número real$c$, a série$\displaystyle \sum_{n=1}^∞ca_n$ converge,$\displaystyle \sum^∞_{n=1}ca_n=c\sum^∞_{n=1}a_n$ e. (Regra múltipla constante)

Exemplo$\PageIndex{2}$: Using Algebraic Properties of Convergent Series

Avalie$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left[\frac{3}{n(n+1)}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n−2}\right].$

Solução

Mostramos anteriormente que

$$\sum_{n=1}^∞\frac{1}{n(n+1)} = 1 \nonumber$$

e

$$\sum_{n=1}^∞\left(\frac{1}{2}\right)^{n−1}=2. \nonumber$$

Como ambas as séries convergem, podemos aplicar as propriedades do Note$\PageIndex{1}$ para avaliar

$$\sum_{n=1}^∞\left[\frac{3}{n(n+1)}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n−2}\right]. \nonumber$$

Usando a regra da soma, escreva

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left[\frac{3}{n(n+1)}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n−2}\right]=\sum_{n=1}^∞\frac{3}{n(n+1)}+\sum_{n=1}^∞\left(\frac{1}{2}\right)^{n−2}.$

Então, usando a regra do múltiplo constante e as somas acima, podemos concluir que

$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{3}{n(n+1)}+\sum^∞_{n=1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n−2}=3\sum^∞_{n=1}\frac{1}{n(n+1)}+\left(\frac{1}{2}\right)^{−1}\sum^∞_{n=1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n−1}=3(1)+\left(\frac{1}{2}\right)^{−1}(2)=3+2(2)=7.$

Exercício$\PageIndex{2}$

Avalie$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{5}{2^{n−1}}$.

Dica

Reescreva como$\displaystyle \sum^∞_{n=1}5\left(\frac{1}{2}\right)^{n−1}$.

Resposta

10

Série geométrica

Uma série geométrica é qualquer série que podemos escrever na forma

$$a+ar+ar^2+ar^3+⋯=\sum_{n=1}^∞ar^{n−1}. \nonumber$$

Como a razão entre cada termo desta série e o termo anterior é r, o número r é chamado de razão. Nós nos referimos a como o termo inicial porque é o primeiro termo da série. Por exemplo, a série

$$\sum_{n=1}^∞\left(\frac{1}{2}\right)^{n−1}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+⋯ \nonumber$$

é uma série geométrica com termo$a=1$ e proporção iniciais$r=1/2$.

Em geral, quando uma série geométrica converge? Considere a série geométrica

$$\sum_{n=1}^∞ar^{n−1} \nonumber$$

quando$a>0$. Sua sequência de somas parciais${S_k}$ é dada por

$$S_k=\sum_{n=1}^kar^{n−1}=a+ar+ar^2+⋯+ar^{k−1}. \nonumber$$

Considere o caso quando,$r=1.$ nesse caso,

$$S_k=a+a(1)+a(1)^2+⋯+a(1)^{k−1}=ak. \nonumber$$

Desde então$a>0$, nós conhecemos$ak→∞$ como$k→∞$. Portanto, a sequência de somas parciais é ilimitada e, portanto, diverge. Consequentemente, a série infinita diverge para$r=1$. Para$r≠1$, para encontrar o limite de${S_k}$, multiplique Equação por$1−r$. Fazendo isso, vemos que

$$(1−r)S_k=a(1−r)(1+r+r^2+r^3+⋯+r^{k−1})=a[(1+r+r^2+r^3+⋯+r^{k−1})−(r+r^2+r^3+⋯+r^k)]=a(1−r^k). \nonumber$$

Todos os outros termos são cancelados.

Portanto,

$S_k=\dfrac{a(1−r^k)}{1−r}$para$r≠1$.

De nossa discussão na seção anterior, sabemos que a sequência geométrica$r^k→0$ se$|r|<1$ e aquela$r^k$ diverge se$|r|>1$ ou$r=±1$. Portanto, para$|r|<1, S_k→\dfrac{a}{1−r}$ e nós temos

$$\sum_{n=1}^∞ar^{n−1}=\frac{a}{1−r}\; \text{if}\; |r|<1. \nonumber$$

Se$|r|≥1, S_k$ diverge e, portanto,

$$\sum_{n=1}^∞ar^{n−1} \; \text{diverges if}\; |r|≥1. \nonumber$$

Definições: Séries divergentes e convergentes

Uma série geométrica é uma série da forma

$$\sum_{n=1}^∞ar^{n−1}=a+ar+ar^2+ar^3+⋯. \nonumber$$

Se$|r|<1$, a série converge, e

$$\sum_{n=1}^∞ar^{n−1}=\frac{a}{1−r}\; \text{for}\; |r|<1. \nonumber$$

Se sim$|r|≥1$, a série diverge.

As séries geométricas às vezes aparecem em formas ligeiramente diferentes. Por exemplo, às vezes o índice começa com um valor diferente de$n=1$ ou o expoente envolve uma expressão linear para$n$ diferente de$n−1$. Desde que possamos reescrever a série na forma dada pela Equação, ela é uma série geométrica. Por exemplo, considere a série

$$\sum_{n=0}^∞\left(\frac{2}{3}\right)^{n+2}. \nonumber$$

Para ver que esta é uma série geométrica, escrevemos os primeiros termos:

$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\left(\frac{2}{3}\right)^{n+2}=\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^3+\left(\frac{2}{3}\right)^4+⋯=\frac{4}{9}+\frac{4}{9}⋅\left(\frac{2}{3}\right)+\frac{4}{9}⋅\left(\frac{2}{3}\right)^2+⋯.$

Vemos que o termo inicial é$a=4/9$ e a proporção é$r=2/3.$ Portanto, a série pode ser escrita como

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{4}{9}⋅\left(\frac{2}{3}\right)^{n−1}.$

Uma vez que$r=2/3<1$, essa série converge e sua soma é dada por

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{4}{9}⋅\left(\frac{2}{3}\right)^{n−1}=\frac{4/9}{1−2/3}=\frac{4}{3}.$

Exemplo$\PageIndex{3}$: Determining Convergence or Divergence of a Geometric Series

Determine se cada uma das seguintes séries geométricas converge ou diverge e, se ela converge, encontre sua soma.

1. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(−3)^{n+1}}{4^{n−1}}$
2. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}e^{2n}$

Solução

a. Escrevendo os primeiros termos da série, temos

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^∞\frac{(−3)^{n+1}}{4^{n−1}} &= \frac{(−3)^2}{4^0}+\frac{(−3)^3}{4}+\frac{(−3)^4}{4^2}+⋯ \\[4pt] &=(−3)^2+(−3)^2⋅\left(\frac{−3}{4}\right)+(−3)^2⋅\left(\frac{−3}{4}\right)^2+⋯ \\[4pt] &=9+9⋅\left(\frac{−3}{4}\right)+9⋅\left(\frac{−3}{4}\right)^2+⋯. \end{align*}$$

O termo inicial$a=−3$ e a proporção$r=−3/4$. Desde então$|r|=3/4<1$, a série converge para

$$\frac{9}{1−(−3/4)}=\frac{9}{7/4}=\frac{36}{7}. \nonumber$$

b. Escrevendo esta série como

$$e^2\sum_{n=1}^∞(e^2)^{n−1} \nonumber$$

podemos ver que esta é uma série geométrica onde,$r=e^2>1.$ portanto, a série diverge.

Exercício$\PageIndex{3}$

Determine se a série$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left(\frac{−2}{5}\right)^{n−1}$ converge ou diverge. Se convergir, encontre sua soma.

Dica

$r=−2/5$

Resposta

$5/7$

Agora voltamos nossa atenção para uma boa aplicação de séries geométricas. Mostramos como eles podem ser usados para escrever decimais repetidos como frações de números inteiros.

Exemplo$\PageIndex{4}$: Writing Repeating Decimals as Fractions of Integers

Use uma série geométrica para escrever$3.\bar{26}$ como uma fração de números inteiros.

Solução

Desde a$3.\bar{26}—=3.262626…,$ primeira vez que escrevemos

$$\begin{align*} 3.262626… &= 3+\frac{26}{100}+\frac{26}{1000}+\frac{26}{100,000}+⋯ \\[4pt] &=3+\frac{26}{10^2}+\frac{26}{10^4}+\frac{26}{10^6}+⋯. \end{align*}$$

Ignorando o termo 3, o resto dessa expressão é uma série geométrica com termo$a=26/10^2$ e proporção iniciais.$r=1/10^2.$ Portanto, a soma dessa série é

$$\frac{26/10^2}{1−(1/10^2)}=\frac{26/10^2}{99/10^2}=\frac{26}{99}. \nonumber$$

Assim,

$3.262626…=3+\frac{26}{99}=\frac{323}{99}$.

Exercício$\PageIndex{4}$

Escreva$5.2\bar{7}$ como uma fração de números inteiros.

Dica

Ao expressar esse número como uma série, encontre uma série geométrica com termo$a=7/100$ e proporção iniciais$r=1/10$.

Resposta

$475/90$

Exemplo$\PageIndex{5}$: Finding the Area of the Koch Snowflake

Defina uma sequência de figuras$\{F_n\}$ recursivamente da seguinte forma (Figura$\PageIndex{2}$). $F_0$Seja um triângulo equilátero com lados de comprimento$1$. Pois$n≥1$,$F_n$ seja a curva criada removendo o terço médio de cada lado$F_{n−1}$ e substituindo-o por um triângulo equilátero apontando para fora. O número limite, conhecido como$n→∞$ floco de neve de Koch.

Figura$\PageIndex{2}$: As primeiras quatro figuras,$F_0,F_1,F_2$, e$F_3$, na construção do floco de neve de Koch.

1. Encontre o comprimento$L_n$ do perímetro de$F_n$. Avalie$\displaystyle \lim_{n→∞}L_n$ para encontrar o comprimento do perímetro do floco de neve de Koch.
2. Encontre a área$A_n$ da figura$F_n$. Avalie$\displaystyle \lim_{n→∞}A_n$ para encontrar a área do floco de neve de Koch.

Solução

a. Vamos$N_n$ indicar o número de lados da figura$F_n$. Uma vez que$F_0$ é um triângulo,$N_0=3$. Vamos indicar o comprimento de cada lado do$F_n$. Como$F_0$ é um triângulo equilátero com lados de comprimento$l_0=1$, agora precisamos determinar$N_1$$l_1$ e. Como$F_1$ é criado removendo o terço médio de cada lado e substituindo esse segmento de linha por dois segmentos de linha, para cada lado$F_0$, obtemos quatro lados$F_1$. Portanto, o número de lados para$F_1$ é

$N_1=4⋅3$.

Como o comprimento de cada um desses novos segmentos de linha é$1/3$ o comprimento dos segmentos de linha em$F_0$, o comprimento dos segmentos de linha para$F_1$ é dado por

$l_1=\frac{1}{3}⋅1=\frac{1}{3}$.

Da mesma forma$F_2$, pois, uma vez que o terço médio de cada lado de$F_1$ é removido e substituído por dois segmentos de linha, o número de lados em$F_2$ é dado por

$N_2=4N_1=4(4⋅3)=4^2⋅3.$

Como o comprimento de cada um desses lados é$1/3$ o comprimento dos lados de$F_1$, o comprimento de cada lado da figura$F_2$ é dado por

$l_2=\frac{1}{3}⋅l_1=\frac{1}{3}⋅\frac{1}{3}=\left(\frac{1}{3}\right)^2$.

De forma mais geral, uma vez que$F_n$ é criado removendo o terço médio de cada lado$F_{n−1}$ e substituindo esse segmento de linha por dois segmentos de linha de comprimento$\frac{1}{3}l_{n−1}$ na forma de um triângulo equilátero, sabemos que$N_n=4N_{n−1}$$l_n=\dfrac{l_{n−1}}{3}$ e. Portanto, o número de lados da figura$F_n$ é

$N_n=4^n⋅3$

e o comprimento de cada lado é

$$l_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n. \nonumber$$

Portanto, para calcular o perímetro de$F_n$, multiplicamos o número de lados$N_n$ e o comprimento de cada lado$l_n$. Concluímos que o perímetro de$F_n$ é dado por

$$L_n=N_n⋅l_n=3⋅\left(\frac{4}{3}\right)^n \nonumber$$

Portanto, o comprimento do perímetro do floco de neve de Koch é

$$L=\lim_{n→∞}L_n=∞. \nonumber$$

b. Vamos$T_n$ indicar a área de cada novo triângulo criado durante a formação$F_n$. Para$n=0, T_0$ é a área do triângulo equilátero original. Portanto,$T_0=A_0=\sqrt{3}/4$. Pois$n≥1$, como os comprimentos dos lados do novo triângulo são$1/3$ o comprimento dos lados de$F_{n−1}$, temos

$$T_n=\left(\frac{1}{3}\right)^2⋅T_{n−1}=\frac{1}{9}⋅T_{n−1}. \nonumber$$

Portanto,$T_n=\left(\frac{1}{9}\right)^n⋅\frac{\sqrt{3}}{4}$. Como um novo triângulo é formado em cada lado do$F_{n−1}$,

$$A_n=A_{n−1}+N_{n−1}⋅T_n=A_{n−1}+(3⋅4_{n−1})⋅\left(\frac{1}{9}\right)^n⋅\frac{\sqrt{3}}{4}=A_{n−1}+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)^n⋅\frac{\sqrt{3}}{4}. \nonumber$$

Escrevendo os primeiros termos$A_0,A_1,A_2,$, vemos que

$A_0=\frac{\sqrt{3}}{4}$

$A_1=A_0+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)⋅\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)⋅\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[1+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)\right]$

$A_2=A_1+\frac{3}{4}⋅(\frac{4}{9})^2⋅\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[1+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)\right]+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)^2⋅\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}[1+\frac{3}{4}⋅(\frac{4}{9})+\frac{3}{4}⋅\left(\frac{4}{9}\right)^2]$.

De forma mais geral,

$A_n=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[1+\frac{3}{4}\left(\frac{4}{9}+\left(\frac{4}{9}\right)^2+⋯+\left(\frac{4}{9}\right)^n\right)\right]$.

Considerando cada$4/9$ termo dentro dos parênteses internos, reescrevemos nossa expressão como

$A_n=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{4}{9}+\left(\frac{4}{9}\right)^2+⋯+\left(\frac{4}{9}\right)^{n−1}\right)\right]$.

A expressão$1+\left(\frac{4}{9}\right)+\left(\frac{4}{9}\right)^2+⋯+\left(\frac{4}{9}\right)^{n−1}$ é uma soma geométrica. Conforme mostrado anteriormente, essa soma satisfaz

$1+\frac{4}{9}+\left(\frac{4}{9}\right)^2+⋯+\left(\frac{4}{9}\right)^{n−1}=\dfrac{1−(4/9)^n}{1−(4/9)}.$

Substituindo essa expressão pela expressão acima e simplificando, concluímos que

$$A_n=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[1+\frac{1}{3}(\frac{1−(4/9)^n}{1−(4/9)})\right]=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[\frac{8}{5}−\frac{3}{5}\left(\frac{4}{9}\right)^n\right]. \nonumber$$

Portanto, a área do floco de neve de Koch é

$\displaystyle A=\lim_{n→∞}A_n=\frac{2\sqrt{3}}{5}.$

Análise

O floco de neve de Koch é interessante porque tem área finita, mas perímetro infinito. Embora à primeira vista isso possa parecer impossível, lembre-se de que você viu exemplos semelhantes anteriormente no texto. Por exemplo, considere a região delimitada pela curva$y=1/x^2$ e o$x$ eixo -no intervalo$[1,∞).$ Desde a integral imprópria

$$∫^∞_1\frac{1}{x^2}\,dx \nonumber$$

converge, a área dessa região é finita, mesmo que o perímetro seja infinito.

Série Telescoping

Considere a série.$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n(n+1)}.$ Discutimos esta série em Exemplo, mostrando que a série converge escrevendo as primeiras somas parciais$S_1,S_2,…,S_6$ e percebendo que elas são todas da forma$S_k=\dfrac{k}{k+1}$. Aqui usamos uma técnica diferente para mostrar que essa série converge. Usando frações parciais, podemos escrever

$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}−\frac{1}{n+1}. \nonumber$$

Portanto, a série pode ser escrita como

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left[\frac{1}{n}−\frac{1}{n+1}\right]=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}−\frac{1}{4}\right)+⋯.$

Escrevendo os primeiros vários termos na sequência de somas parciais,${S_k},$ vemos que

$S_1=1−\frac{1}{2}$

$S_2=\left(1−\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{3}\right)=1−\frac{1}{3}$

$S_3=\left(1−\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}−\frac{1}{4}\right)=1−\frac{1}{4}$.

Em geral,

$S_k=\left(1−\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}−\frac{1}{4}\right)+⋯+\left(\frac{1}{k}−\frac{1}{k+1}\right)=1−\dfrac{1}{k+1}$.

Percebemos que os termos intermediários se cancelam, deixando apenas o primeiro e o último período. Em certo sentido, a série colapsa como uma luneta com tubos que desaparecem um no outro para encurtar o telescópio. Por esse motivo, chamamos uma série que tem essa propriedade de série telescópica. Para esta série, desde$S_k=1−1/(k+1)$ e$1/(k+1)→0$ como$k→∞$, a sequência de somas parciais converge para e$1$, portanto, a série converge para$1$.

Definição

Uma série telescópica é uma série na qual a maioria dos termos se cancela em cada uma das somas parciais, restando apenas alguns dos primeiros termos e alguns dos últimos termos.

Por exemplo, qualquer série do formulário

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞[b_n−b_{n+1}]=(b_1−b_2)+(b_2−b_3)+(b_3−b_4)+⋯$

é uma série telescópica. Podemos ver isso escrevendo algumas das somas parciais. Em particular, vemos que

$S_1=b_1−b_2$

$S_2=(b_1−b_2)+(b_2−b_3)=b_1−b_3$

$S_3=(b_1−b_2)+(b_2−b_3)+(b_3−b_4)=b_1−b_4.$

Em geral, a késima soma parcial desta série é

$S_k=b_1−b_{k+1}$.

Como a késima soma parcial pode ser simplificada para a diferença desses dois termos, a sequência de somas parciais${S_k}$ convergirá se e somente se a sequência${b_{k+1}}$ convergir. Além disso, se a sequência$b_{k+1}$ convergir para algum número finito B, a sequência de somas parciais converge para e$b_1−B$, portanto,

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞[b_n−b_{n+1}]=b_1−B.$

No próximo exemplo, mostramos como usar essas ideias para analisar uma série telescópica dessa forma.

Exemplo$\PageIndex{6}$: Evaluating a Telescoping Series

Determine se a série telescópica

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left[\cos\left(\frac{1}{n}\right)−\cos\left(\frac{1}{n+1}\right)\right]$

converge ou diverge. Se convergir, encontre sua soma.

Solução

Ao escrever termos na sequência de somas parciais, podemos ver que

$S_1=\cos(1)−\cos(\frac{1}{2})$

$S_2=(\cos(1)−\cos(\frac{1}{2}))+(\cos(\frac{1}{2})−\cos(\frac{1}{3}))=\cos(1)−\cos(\frac{1}{3})$

$S_3=(\cos(1)−\cos(\frac{1}{2}))+(\cos(\frac{1}{2})−\cos(\frac{1}{3}))+(\cos(\frac{1}{3})−\cos(\frac{1}{4}))$

$=\cos(1)−\cos(\frac{1}{4})$.

Em geral,

$S_k=\cos(1)−\cos\left(\frac{1}{k+1}\right)$.

$1/(k+1)→0$Como$k→∞$ e$\cos x$ é uma função contínua,$\cos(1/(k+1))→\cos(0)=1$. Portanto, concluímos que$S_k→\cos(1)−1$. A série telescópica converge e a soma é dada por

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left[\cos\left(\frac{1}{n}\right)−\cos\left(\frac{1}{n+1}\right)\right]=\cos(1)−1.$

Exercício$\PageIndex{5}$

Determine se$\displaystyle \sum^∞_{n=1}[e^{1/n}−e^{1/(n+1)}]$ converge ou diverge. Se convergir, encontre sua soma.

Dica

Escreva a sequência de somas parciais para ver quais termos são cancelados.

Resposta

$e−1$

Constante de Euler

Mostramos que a série harmônica$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n}$ diverge. Aqui, investigamos o comportamento das somas parciais,$S_k$ pois,$k→∞.$ em particular, mostramos que elas se comportam como a função logarítmica natural, mostrando que existe uma constante$γ$ como

$\displaystyle \sum_{n=1}^k\left(\frac{1}{n}−\ln k\right)→γ$como$k→∞.$

Essa constante$γ$ é conhecida como constante de Euler.

1. Vamos$\displaystyle T_k=\sum_{n=1}^k\left(\frac{1}{n}−\ln k\right).$ avaliar$T_k$ vários valores de$k$.

2. Para$T_k$, conforme definido na parte 1. mostre que a sequência${T_k}$ converge usando as etapas a seguir.

a. Mostre que a sequência${T_k}$ é monótona diminuindo. (Dica: mostre que$\ln(1+1/k>1/(k+1))$

b. Mostre que a sequência${T_k}$ está limitada abaixo por zero. (Dica:$\ln k$ Expresse como uma integral definida.)

c. Use o Teorema da Convergência Monótona para concluir que a sequência${T_k}$ converge. O limite$γ$ é a constante de Euler.

3. Agora, estime$T_k$ a distância$γ$ de um determinado número inteiro$k$. Prove isso$k≥1, 0<T_k−γ≤1/k$ usando as etapas a seguir.

a. Mostre que$\ln(k+1)−\ln k<1/k.$

b. Use o resultado da parte a. para mostrar que, para qualquer número inteiro$k$,

$$T_k−T_{k+1}<\frac{1}{k}−\frac{1}{k+1}. \nonumber$$

c. Para qualquer número inteiro$k$ e$j$ tal que$j>k$, expresse$T_k−T_j$ como uma soma telescópica escrevendo

$$T_k−T_j=(T_k−T_{k+1})+(T_{k+1}−T_{k+2})+(T_{k+2}−T_{k+3})+⋯+(T_{j−1}−T_j). \nonumber$$

Use o resultado da parte b. combinado com essa soma telescópica para concluir que

$$T_k−T_j<\frac{1}{k}−\frac{1}{j}. \nonumber$$

a. Aplique o limite em ambos os lados da desigualdade na parte c. para concluir que

$$T_k−γ≤\frac{1}{k}. \nonumber$$

e. Faça uma estimativa$γ$ com uma precisão dentro de 0,001.

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Conceitos chave

• Dada a série infinita

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n=a_1+a_2+a_3+⋯$

e a sequência correspondente de somas parciais${S_k}$ onde

$\displaystyle S_k=\sum_{n=1}^ka_n=a_1+a_2+a_3+⋯+a_k$,

a série converge se e somente se a sequência${S_k}$ convergir.

• A série geométrica$\displaystyle \sum^∞_{n=1}ar^{n−1}$ converge se$|r|<1$ e diverge se$|r|≥1.$ For$|r|<1,$

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞ar^{n−1}=\frac{a}{1−r}$.

• A série harmônica

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+⋯$

diverge.

• Uma série da forma$\displaystyle \sum_{n=1}^∞[b_n−b_{n+1}]=[b_1−b_2]+[b_2−b_3]+[b_3−b_4]+⋯+[b_n−b_{n+1}]+⋯$ é uma série telescópica. A soma$k^{\text{th}}$ parcial desta série é dada por$S_k=b_1−b_{k+1}$. A série convergirá se e somente se$\displaystyle \lim_{k→∞} b_{k+1}$ existir. Nesse caso,

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞[b_n−b_{n+1}]=b_1−\lim_{k→∞}(b_{k+1})$.

Equações chave

• Série harmônica

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+⋯$

• Soma de uma série geométrica

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞ar^{n−1}=\frac{a}{1−r}$para$|r|<1$

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Glossário

convergência de uma série

uma série converge se a sequência de somas parciais dessa série convergir

divergência de uma série

uma série diverge se a sequência de somas parciais dessa série divergir

série geométrica

uma série geométrica é uma série que pode ser escrita na forma

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞ar^{n−1}=a+ar+ar^2+ar^3+⋯$

série harmônica

a série harmônica assume a forma

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+⋯$

série infinita

uma série infinita é uma expressão da forma

$\displaystyle a_1+a_2+a_3+⋯=\sum_{n=1}^∞a_n$

soma parcial

a soma$kth$ parcial da série infinita$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ é a soma finita

$\displaystyle S_k=\sum_{n=1}^ka_n=a_1+a_2+a_3+⋯+a_k$

série telescópica

uma série telescópica é aquela em que a maioria dos termos se cancela em cada uma das somas parciais