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9.4E: Exercícios para a Seção 9.4

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Use o Teste de Comparação para determinar se cada série nos exercícios 1 a 13 converge ou diverge.

    1)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) onde\(a_n=\dfrac{2}{n(n+1)}\)

    2)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) onde\(a_n=\dfrac{1}{n(n+1/2)}\)

    Resposta
    Converge em comparação com\(\dfrac{1}{n^2}\).

    3)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{2(n+1)}\)

    4)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{2n−1}\)

    Resposta
    Diverge em comparação com séries harmônicas, já que\(2n−1≥n.\)

    5)\(\displaystyle \sum^∞_{n=2}\frac{1}{(n\ln n)^2}\)

    6)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n!}{(n+2)!}\)

    Resposta
    \(a_n=1/(n+1)(n+2)<1/n^2.\)Converge em comparação com a\(p\) série -,\(p=2>1\).

    7)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n!}\)

    8)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\sin(1/n)}{n}\)

    Resposta
    \(\sin(1/n)≤1/n,\)então converge em comparação com a\(p\) série -,\(p=2>1\).

    9)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{\sin^2n}{n^2}\)

    10)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{\sin(1/n)}{\sqrt{n}}\)

    Resposta
    \(\sin(1/n)≤1,\)então converge em comparação com a\(p\) série -,\(p=3/2>1.\)

    11)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^{1.2}−1}{n^{2.3}+1}\)

    12)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\sqrt{n+1}−\sqrt{n}}{n}\)

    Resposta
    Já que a\(\sqrt{n+1}−\sqrt{n}=1/(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})≤2/\sqrt{n},\) série converge em comparação com a\(p\) série -para\(p=1.5>1\).

    13)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\sqrt[4]{n}}{\sqrt[3]{n^4+n^2}}\)

    Use o Teste de Comparação de Limites para determinar se cada série nos exercícios 14 a 28 converge ou diverge.

    14)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\frac{\ln n}{n}\right)^2\)

    Resposta
    Converge por comparação de limites com\(p\) -series for\(p>1\).

    15)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\frac{\ln n}{n^{0.6}}\right)^2\)

    16)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{n}\)

    Resposta
    Converge por limite, comparação com a\(p\) série -,\(p=2>1.\)

    17)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\)

    18)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{4^n−3^n}\)

    Resposta
    Converge por limite, comparação com\(4^{−n}\).

    19)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^2−n\sin n}\)

    20)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{e^{(1.1)n}−3^n}\)

    Resposta
    Converge por limite, comparação com\(1/e^{1.1n}\).

    21)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{e^{(1.01)n}−3^n}\)

    22)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^{1+1/n}}\)

    Resposta
    Diverge por comparação de limites com séries harmônicas.

    23)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{2^{1+1/n}}{n^{1+1/n}}\)

    24)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\frac{1}{n}−\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)\)

    Resposta
    Converge por comparação de limites com a\(p\) série -,\(p=3>1\).

    25)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(1−\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\)

    26)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n}\left(\tan^{−1}n−\frac{π}{2}\right)\)

    Resposta
    Converge por comparação de limites com a\(p\) série -,\(p=3>1\).

    27)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(1−\frac{1}{n}\right)^{n.n}\) (Dica:\(\left(1−\dfrac{1}{n}\right)^n→1/e.\))

    28)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(1−e^{−1/n}\right)\) (Dica:\(1/e≈(1−1/n)^n,\) sim\(1−e^{−1/n}≈1/n.\))

    Resposta
    Diverge por limite em comparação com\(1/n\).

    29)\(\displaystyle \sum^∞_{n=2}\frac{1}{(\ln n)^p}\) Converge se\(p\) for grande o suficiente? Em caso afirmativo, para qual\(p?\)

    30)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\frac{\ln n}{n}\right)^p\) Converge se\(p\) for grande o suficiente? Em caso afirmativo, para qual\(p?\)

    Resposta
    Converge para,\(p>1\) em comparação com uma\(p\) série, para um pouco menor\(p\).

    31) Para\(p\) quais as séries\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}2^{pn}/3^n\) convergem?

    32) Para\(p>0\) quais as séries\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^p}{2^n}\) convergem?

    Resposta
    Converge para todos\(p>0\).

    33) Para\(r>0\) quais as séries\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{r^{n^2}}{2^n}\) convergem?

    34) Para\(r>0\) quais as séries\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{2^n}{r^{n^2}}\) convergem?

    Resposta
    Converge para todos\(r>1\). Se\(r>1\) então\(r^n>4\), digamos, uma vez\(n>\ln(2)/\ln(r)\) e depois a série converge por comparação de limites com uma série geométrica com proporção\(1/2\).

    35) Encontre todos os valores de\(p\) e\(q\) tais que\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^p}{(n!)^q}\) convergem.

    36)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\sin^2(nr/2)}{n}\) Converge ou diverge? Explique.

    Resposta
    O numerador é igual a\(1\) quando\(n\) é ímpar e\(0\) quando\(n\) é par, então a série pode ser reescrita, o\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{2n+1},\) que diverge por limite de comparação com a série harmônica.

    37) Explique por que, para cada um\(n\), pelo menos um\({|\sin n|,|\sin(n+1)|,...,|\sin(n+6)|}\) é maior que\(1/2\). Use essa relação para testar a convergência de\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{|\sin n|}{\sqrt{n}}\).

    38) Suponha isso\(a_n≥0\)\(b_n≥0\) e aquilo\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a^2_n\) e\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞b^2_n\) converja. Prove que\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nb_n\) converge\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nb_n≤\frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^∞a^2_n+\sum_{n=1}^∞b^2_n\right)\) e.

    Resposta
    \((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)ou\(a^2+b^2≥2ab\), então a convergência decorre da comparação de\(2a_nb_n\) com\(a^2_n+b^2_n.\) Como as somas parciais à esquerda são limitadas pelas da direita, a desigualdade vale para a série infinita.

    39)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞2^{−\ln\ln n}\) Converge? (Dica: escreva\(2^{\ln\ln n}\) como um poder de\(\ln n\).)

    40)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞(\ln n)^{−\ln n}\) Converge? (Dica: use\(t=e^{\ln(t)}\) para comparar com uma\(p\) −série.)

    Resposta
    \((\ln n)^{−\ln n}=e^{−\ln(n)\ln\ln(n)}.\)Se\(n\) for suficientemente grande,\(\ln\ln n>2,\) então sim\((\ln n)^{−\ln n}<1/n^2\), e a série converge em comparação com uma\(p\) série −.

    41)\(\displaystyle \sum_{n=2}^∞(\ln n)^{−\ln\ln n}\) Converge? (Dica: Compare\(a_n\) com\(1/n\).)

    42) Mostre que se\(a_n≥0\) e\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge, então\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a^2_n\) converge. Se\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a^2_n\) converge,\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) necessariamente converge?

    Resposta
    \(a_n→0,\)então,\(a^2_n≤|a_n|\) para grandes\(n\). A convergência decorre da comparação de limites. \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}\)converge, mas não o\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}\) faz, então o fato de\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a^2_n\) convergir não implica que\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converja.

    43) Suponha que\(a_n>0\) para todos\(n\) e isso\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converja. Suponha que\(b_n\) seja uma sequência arbitrária de zeros e uns. \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nb_n\)Necessariamente converge?

    44) Suponha que\(a_n>0\) para todos\(n\) e isso\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) diverja. Suponha que\(b_n\) seja uma sequência arbitrária de zeros e uns com infinitos termos iguais a um. Diverge\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nb_n\) necessariamente?

    Resposta

    Não. \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞1/n\)diverge. Deixe,\(b_k=0\) a menos que seja\(k=n^2\) para alguns\(n\). Em seguida,\(\displaystyle \sum_kb_k/k=\sum1/k^2\) converge.

    45) Complete os detalhes do seguinte argumento: Se\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}\) converge para uma soma finita\(s\), então\(\dfrac{1}{2}s=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+⋯\) e\(s−\dfrac{1}{2}s=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+⋯.\) por que isso leva a uma contradição?

    46) Mostre que se\(a_n≥0\) e\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a^2_n\) converge, então\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\sin^2(a_n)\) converge.

    Resposta
    \(|\sin t|≤|t|,\)então o resultado segue do teste de comparação.

    47) Suponha que\(a_n/b_n→0\) no teste de comparação, onde\(a_n≥0\)\(b_n≥0\) e. Prove que, se\(\displaystyle \sum b_n\) convergir, então\(\displaystyle \sum a_n\) converge.

    48)\(b_n\) Seja uma sequência infinita de zeros e uns. Qual é o maior valor possível de\(\displaystyle x=\sum_{n=1}^∞b_n/2^n\)?

    Resposta
    Pelo teste de comparação,\(\displaystyle x=\sum_{n=1}^∞b_n/2^n≤\sum_{n=1}^∞1/2^n=1.\)

    49)\(d_n\) Seja uma sequência infinita de dígitos, o que significa que\(d_n\) recebe valores\(\{0,1,…,9\}\). Qual é o maior valor possível\(\displaystyle x=\sum_{n=1}^∞d_n/10^n\) dessa convergência?

    50) Explique por que, se\(x>1/2,\) então\(x\) não pode ser escrito\(\displaystyle x=\sum_{n=2}^∞\frac{b_n}{2^n}\quad (b_n=0\;\text{or}\;1,\;b_1=0).\)

    Resposta
    Se\(b_1=0,\) então, em comparação,\(\displaystyle x≤\sum_{n=2}^∞1/2^n=1/2.\)

    51) [T] Evelyn tem uma balança de balanceamento perfeita, um número ilimitado de pesos de\(1\) -kg e um de\(1/2\) pesos de\(1/4\) -kg,\(1/8\) -kg, -kg e assim por diante. Ela deseja pesar um meteorito de origem não especificada com precisão arbitrária. Supondo que a escala seja grande o suficiente, ela pode fazer isso? O que isso tem a ver com séries infinitas?

    52) [T] Robert quer conhecer sua massa corporal com precisão arbitrária. Ele tem uma grande balança de balanceamento que funciona perfeitamente, uma coleção ilimitada de pesos de\(1\) -kg e nove pesos de\(0.1\)\(0.01\) -kg,\(0.001\) -kg, -kg e assim por diante. Supondo que a escala seja grande o suficiente, ele pode fazer isso? O que isso tem a ver com séries infinitas?

    Resposta
    Sim. Continue adicionando pesos de\(1\) -kg até que a balança se incline para o lado dos pesos. Se estiver perfeitamente equilibrado, com Robert do outro lado, pare. Caso contrário, remova um dos pesos de\(1\) -kg e adicione pesos de\(0.1\) -kg, um de cada vez. Se ele se equilibrar depois de adicionar alguns deles, pare. Caso contrário, se ele inclinar para os pesos, remova o último peso de\(0.1\) -kg. Comece a adicionar pesos de\(0.01\) -kg. Se estiver equilibrado, pare. Se ele inclinar para o lado com os pesos, remova o último peso de\(0.01\) -kg que foi adicionado. Continue dessa maneira para os pesos de\(0.001\) -kg e assim por diante. Depois de um número finito de etapas, tem-se uma série finita da forma\(\displaystyle A+\sum_{n=1}^Ns_n/10^n\) onde\(A\) é o número de pesos completos de kg e\(d_n\) é o número de pesos de\(1/10^n\) -kg que foram adicionados. Se em algum estado essa série tiver o peso exato de Robert, o processo será interrompido. Caso contrário, representa a soma\(N^{\text{th}}\) parcial de uma série infinita que dá o peso exato de Robert, e o erro dessa soma é no máximo\(1/10^N\).

    53) A série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{2n}\) é metade da série harmônica e, portanto, diverge. É obtido da série harmônica excluindo todos os termos que\(n\) são ímpares. Que\(m>1\) seja consertado. Mostre, de forma mais geral, que excluir todos os termos\(1/n\) em que\(n=mk\) para algum número inteiro\(k\) também resulta em uma série divergente.

    54) Em vista do exercício anterior, pode ser surpreendente que uma subsérie da série harmônica na qual cerca de um em cada cinco termos é excluído possa convergir. Uma série harmônica esgotada é uma série obtida\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}\) pela remoção de qualquer termo\(1/n\) se um determinado dígito, digamos\(9\), aparecer na expansão decimal de\(n\). Argumente que essa série harmônica esgotada converge respondendo às seguintes perguntas.

    a. Quantos números inteiros\(n\) têm\(d\) dígitos?

    b. Quantos números inteiros de\(d\) -dígitos\(h(d)\). Não contêm\(9\) um ou mais de seus dígitos?

    c. Qual é o menor número\(d\) de dígitos\(m(d)\)?

    d. Explique por que a série harmônica excluída é limitada por\(\displaystyle \sum_{d=1}^∞\frac{h(d)}{m(d)}\).

    e. Mostre que\(\displaystyle \sum_{d=1}^∞\frac{h(d)}{m(d)}\) converge.

    Resposta
    a.\(10^d−10^{d−1}<10^d\)
    b.\(h(d)<9^d\)
    c.\(m(d)=10^{d−1}+1\)
    d. Agrupe os termos da série harmônica excluída pelo número de dígitos. \(h(d)\)limita o número de termos, e cada termo é no máximo\(\frac{1}{m(d)}.\)
    Então\(\displaystyle \sum_{d=1}^∞h(d)/m(d)≤\sum_{d=1}^∞9^d/(10)^{d−1}≤90\). Na verdade, pode-se usar a comparação para estimar o valor em menor que\(80\). O valor real é menor que\(23\).

    55) Suponha que uma sequência de números\(a_n>0\) tenha a propriedade que\(a_1=1\) e\(a_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}S_n\), onde\(S_n=a_1+⋯+a_n\). Você pode determinar se\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge? (Dica:\(S_n\) é monótona.)

    56) Suponha que uma sequência de números\(a_n>0\) tenha a propriedade que\(a_1=1\) e\(a_{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)^2}S_n\), onde\(S_n=a_1+⋯+a_n\). Você pode determinar se\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge? (Dica:\(S_2=a_2+a_1=a_2+S_1=a_2+1=1+1/4=(1+1/4)S_1, S_3=\dfrac{1}{3^2}S_2+S_2=(1+1/9)S_2=(1+1/9)(1+1/4)S_1\), etc.\(\ln(S_n)\), veja e use\(\ln(1+t)≤t, t>0.\))

    Resposta
    Continuando a dica,\(S_N=(1+1/N^2)(1+1/(N−1)^2…(1+1/4)).\) então\(\ln(S_N)=\ln(1+1/N^2)+\ln(1+1/(N−1)^2)+⋯+\ln(1+1/4).\) desde que\(\ln(1+t)\) é limitado por um tempo constante\(t\), quando se\(0<t<1\) tem\(\displaystyle \ln(S_N)≤C\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}\), que converge em comparação com a\(p\) série -para\(p=2\).