9.4: Testes de comparação
- Use o teste de comparação para testar a convergência de uma série.
- Use o teste de comparação de limites para determinar a convergência de uma série.
Vimos que o teste integral nos permite determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com uma integral imprópria relacionada. Nesta seção, mostramos como usar testes de comparação para determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com uma série cuja convergência ou divergência é conhecida. Normalmente, esses testes são usados para determinar a convergência de séries que são semelhantes às séries geométricas oup séries.
Teste de comparação
Nas duas seções anteriores, discutimos duas grandes classes de séries: séries geométricas ep séries. Sabemos exatamente quando essas séries convergem e quando elas divergem. Aqui, mostramos como usar a convergência ou divergência dessas séries para provar a convergência ou divergência para outras séries, usando um método chamado teste de comparação.
Por exemplo, considere a série
∞∑n=11n2+1.
Esta série é semelhante à série convergente
∞∑n=11n2
Como os termos em cada uma das séries são positivos, a sequência de somas parciais para cada série é monótona e crescente. Além disso, uma vez que
0<1n2+1<1n2
para todos os números inteiros positivosn, a somakth parcialSk de∞∑n=11n2+1 satisfaz
Sk=k∑n=11n2+1<k∑n=11n2<∞∑n=11n2.
(Veja a Figura9.4.1a e a Tabela9.4.1.) Como a série à direita converge, a sequênciaSk é limitada acima. Concluímos queSk é uma sequência crescente monótona que está limitada acima. Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona,Sk converge e, portanto,
∞∑n=11n2+1
converge.
Da mesma forma, considere a série
∞∑n=11n−1/2.
Esta série é semelhante à série divergente
∞∑n=11n.
A sequência de somas parciais para cada série é monótona, aumentando e
1n−1/2>1n>0
para cada número inteiro positivon. Portanto, a somakth parcialSk de
∞∑n=11n−1/2
satisfaz
Sk=k∑n=11n−1/2>k∑n=11n.
(Veja a Figura9.4.1n e a Tabela9.4.1). Como a série∞∑n=11n diverge até o infinito, a sequência de somas parciaisk∑n=11n é ilimitada. Consequentemente,Sk é uma sequência ilimitada e, portanto, diverge. Concluímos que
∞∑n=11n−1/2
diverge.

k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
k∑n=11n2+1 | 0,5 | 0,7 | 0,8 | 0,8588 | 0,8973 | 0,9243 | 0,9443 | 0,9597 |
k∑n=11n2 | 1 | 1,25 | 1.3611 | 1.4236 | 1.4636 | 1.4914 | 1.5118 | 1.5274 |
k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
k∑n=11n−1/2 | 2 | 2.667 | 3.0667 | 3,3524 | 3.5746 | 3.7564 | 3.9103 | 4.0436 |
k∑n=11n | 1 | 1,5 | 1.8333 | 2.0933 | 2.283 | 2,45 | 2.5929 | 2.7179 |
- Suponha que exista um número inteiroN such that 0≤an≤bn for all n≥N. If ∞∑n=1bn converges, then ∞∑n=1an converges.
- Suponha que exista um número inteiroN such that an≥bn≥0 for all n≥N. If ∞∑n=1bn diverges, then ∞∑n=1an diverges.
Provamos a parte i. A prova da parte ii. é o contrapositivo da parte i. VamosSk be the sequence of partial sums associated with ∞∑n=1an, and let L=∞∑n=1bn. Since the terms an≥0,
Sk=a1+a2+⋯+ak≤a1+a2+⋯+ak+ak+1=Sk+1.
Portanto, a sequência de somas parciais está aumentando. Além disso, uma vez quean≤bn for all n≥N, then
k∑n=Nan≤k∑n=Nbn≤∞∑n=1bn=L.
Portanto, para todosk≥1,
Sk=(a1+a2+⋯+aN−1)+k∑n=Nan≤(a1+a2+⋯+aN−1)+L.
Desdea1+a2+⋯+aN−1 is a finite number, we conclude that the sequence Sk is bounded above. Therefore, Sk is an increasing sequence that is bounded above. By the Monotone Convergence Theorem, we conclude that Sk converges, and therefore the series ∞∑n=1an converges.
□
Para usar o teste de comparação para determinar a convergência ou divergência de uma série∞∑n=1an, it is necessary to find a suitable series with which to compare it. Since we know the convergence properties of geometric series and p-series, these series are often used. If there exists an integer N such that for all n≥N, each term an is less than each corresponding term of a known convergent series, then ∞∑n=1an converges. Similarly, if there exists an integer N such that for all n≥N, each term an is greater than each corresponding term of a known divergent series, then ∞∑n=1an diverges.
Para cada uma das séries a seguir, use o teste de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
- ∞∑n=1=1n3+3n+1
- ∞∑n=1=12n+1
- ∞∑n=2=1lnn
Solução
a. Compare com∞∑n=11n3. Como∞∑n=11n3 é umap série C comp=3, ela converge. Além disso,
1n3+3n+1<1n3
para cada número inteiro positivon. Portanto, podemos concluir que∞∑n=11n3+3n+1 converge.
b. Compare com∞∑n=1(12)n. Como∞∑n=1(12)n é uma série geométrica comr=12 e|12|<1, ela converge. Além disso,
12n+1<12n
para cada número inteiro positivon. Portanto, vemos que∞∑n=112n+1 converge.
c. Compare com∞∑n=21n. Desde
1lnn>1n
para cada número inteiron≥2 e∞∑n=21n diverge, temos que∞∑n=21lnn diverge.
Use o teste de comparação para determinar se a série∞∑n=1nn3+n+1 converge ou diverge.
- Dica
-
Encontre um valorp como essenn3+n+1≤1np.
- Resposta
-
A série converge.
Teste de comparação de limites
O teste de comparação funciona bem se pudermos encontrar uma série comparável que satisfaça a hipótese do teste. No entanto, às vezes, encontrar uma série apropriada pode ser difícil. Considere a série
∞∑n=21n2−1.
É natural comparar esta série com a série convergente
∞∑n=21n2.
No entanto, esta série não satisfaz a hipótese necessária para usar o teste de comparação porque
1n2−1>1n2
para todos os números inteirosn≥2. Embora pudéssemos procurar uma série diferente com a qual comparar,∞∑n=21n2−1, mostramos como podemos usar o teste de comparação de limites para comparar.
∞∑n=21n2−1
e
∞∑n=21n2.
Vamos examinar a ideia por trás do teste de comparação de limites. Considere duas séries∞∑n=1an∞∑n=1bn e. com termos positivosan ebn e avalie
limn→∞anbn.
E se
limn→∞anbn=L≠0,
então, para um tamanhon suficientemente grande,an≈Lbn. Portanto, as duas séries convergem ou as duas séries divergem. Para a série∞∑n=21n2−1 e∞∑n=21n2, vemos que
limn→∞1/(n2−1)1/n2=limn→∞n2n2−1=1.
Como∞∑n=21n2 converge, concluímos que
∞∑n=21n2−1
converge.
O teste de comparação de limites pode ser usado em outros dois casos. Suponha
limn→∞anbn=0.
Nesse caso,an/bn é uma sequência limitada. Como resultado, existe uma constanteM como essaan≤Mbn. Portanto, se∞∑n=1bn converge, então∞∑n=1an converge. Por outro lado, suponha
limn→∞anbn=∞.
Nesse caso,an/bn é uma sequência ilimitada. Portanto, para cada constanteM existe um número inteiroN tal quean≥Mbn para todasn≥N. Portanto, se∞∑n=1bn diverge, então∞∑n=1an diverge também.
Deixean,bn≥0 para todosn≥1.
- Selimn→∞anbn=L≠0, então∞∑n=1an e∞∑n=1bn ambos convergirem ou ambos divergirem.
- Selimn→∞anbn=0 e∞∑n=1bn convergir, então∞∑n=1an converge.
- Selimn→∞anbn=∞ e∞∑n=1bn diverge, então∞∑n=1an diverge.
Observe que, seanbn→0 e∞∑n=1bn divergir, o teste de comparação de limites não fornece nenhuma informação. Da mesma forma, seanbn→∞ e∞∑n=1bn convergir, o teste também não fornece nenhuma informação. Por exemplo, considere as duas séries∞∑n=11√n∞∑n=11n2 e. Essas séries são ambasp séries comp=12 ep=2, respectivamente. Já quep=12<1, a série∞∑n=11√n diverge. Por outro lado, desde entãop=2>1, a série∞∑n=11n2 converge. No entanto, suponha que tentamos aplicar o teste de comparação de limites, usando a psérie −convergente∞∑n=11n3 como nossa série de comparação. Primeiro, vemos que
1/√n1/n3=n3√n=n5/2→∞ as n→∞.
Da mesma forma, vemos que
1/n21/n3=n→∞ as n→∞.
Portanto, seanbn→∞ quando∞∑n=1bn converge, não obtemos nenhuma informação sobre a convergência ou divergência de∞∑n=1an.
Para cada uma das séries a seguir, use o teste de comparação de limites para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste não se aplicar, diga isso.
- ∞∑n=11√n+1
- ∞∑n=12n+13n
- ∞∑n=1ln(n)n2
Solução
a. Compare esta série com∞∑n=11√n. Calcular
limn→∞1/(√n+1)1/√n=limn→∞√n√n+1=limn→∞1/√n1+1/√n=1.
Pelo teste de comparação de limites, uma vez que∞∑n=11√n diverge, depois∞∑n=11√n+1 diverge.
b. Compare esta série com∞∑n=1(23)n. Nós vemos isso
limn→∞(2n+1)/3n2n/3n=limn→∞2n+13n⋅3n2n=limn→∞2n+12n=limn→∞[1+(12)n]=1.
Portanto,
limn→∞(2n+1)/3n2n/3n=1.
Como∞∑n=1(23)n converge, concluímos que∞∑n=12n+13n converge.
c. Uma vez quelnn<n, compare com∞∑n=11n. Nós vemos isso
limn→∞lnn/n21/n=limn→∞lnnn2⋅n1=limn→∞lnnn.
Para avaliarlimn→∞lnn/n, avalie o limite a partirx→∞ da função de valor realln(x)/x. Esses dois limites são iguais e fazer essa mudança nos permite usar a regra de L'Hôpital. Nós obtemos
limx→∞lnxx=limx→∞1x=0.
Portantolimn→∞lnnn=0, e, consequentemente,
limn→∞(lnn)/n21/n=0.
Como o limite é,0 mas∞∑n=11n diverge, o teste de comparação de limites não fornece nenhuma informação.
∞∑n=11n2Em vez disso, compare com. Nesse caso,
limn→∞(lnn)/n21/n2=limn→∞lnnn2⋅n21=limn→∞lnn=∞.
Como o limite é,∞ mas∞∑n=11n2 converge, o teste ainda não fornece nenhuma informação.
Então, agora vamos tentar uma série entre as duas que já experimentamos. Escolhendo a série∞∑n=11n3/2, vemos que
limn→∞(lnn)/n21/n3/2=limn→∞lnnn2⋅n3/21=limn→∞lnn√n.
Como acima, para avaliarlimn→∞lnn√n, avalie o limite a partirx→∞ da função de valor reallnn√n. Usando a regra de L'Hôpital,
limx→∞lnx√x=limx→∞2√xx=limx→∞2√x=0.
Como o limite é0 e∞∑n=11n3/2 converge, podemos concluir que∞∑n=1lnnn2 converge.
Use o teste de comparação de limites para determinar se a série∞∑n=15n3n+2 converge ou diverge.
- Dica
-
Compare com uma série geométrica.
- Resposta
-
A série diverge.
Conceitos chave
- Os testes de comparação são usados para determinar a convergência ou divergência de séries com termos positivos.
- Ao usar os testes de comparação, uma série geralmente∞∑n=1an é comparada a uma série geométrica oup -série.
Glossário
- teste de comparação
- Se0≤an≤bn para todosn≥N e∞∑n=1bn converge, então∞∑n=1an converge; sean≥bn≥0 para todosn≥N e∞∑n=1bn diverge, então∞∑n=1an diverge.
- teste de comparação de limites
- Suponha quean,bn≥0 para todosn≥1. Selimn→∞an/bn→L≠0, então∞∑n=1an e∞∑n=1bn ambos convergem ou ambos divergem; selimn→∞an/bn→0 e∞∑n=1bn convergir, então∞∑n=1an converge. Selimn→∞an/bn→∞, e∞∑n=1bn diverge, então∞∑n=1an diverge.