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9.4: Testes de comparação

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Objetivos de
  • Use o teste de comparação para testar a convergência de uma série.
  • Use o teste de comparação de limites para determinar a convergência de uma série.

Vimos que o teste integral nos permite determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com uma integral imprópria relacionada. Nesta seção, mostramos como usar testes de comparação para determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com uma série cuja convergência ou divergência é conhecida. Normalmente, esses testes são usados para determinar a convergência de séries que são semelhantes às séries geométricas oup séries.

Teste de comparação

Nas duas seções anteriores, discutimos duas grandes classes de séries: séries geométricas ep séries. Sabemos exatamente quando essas séries convergem e quando elas divergem. Aqui, mostramos como usar a convergência ou divergência dessas séries para provar a convergência ou divergência para outras séries, usando um método chamado teste de comparação.

Por exemplo, considere a série

n=11n2+1.

Esta série é semelhante à série convergente

n=11n2

Como os termos em cada uma das séries são positivos, a sequência de somas parciais para cada série é monótona e crescente. Além disso, uma vez que

0<1n2+1<1n2

para todos os números inteiros positivosn, a somakth parcialSk den=11n2+1 satisfaz

Sk=kn=11n2+1<kn=11n2<n=11n2.

(Veja a Figura9.4.1a e a Tabela9.4.1.) Como a série à direita converge, a sequênciaSk é limitada acima. Concluímos queSk é uma sequência crescente monótona que está limitada acima. Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona,Sk converge e, portanto,

n=11n2+1

converge.

Da mesma forma, considere a série

n=11n1/2.

Esta série é semelhante à série divergente

n=11n.

A sequência de somas parciais para cada série é monótona, aumentando e

1n1/2>1n>0

para cada número inteiro positivon. Portanto, a somakth parcialSk de

n=11n1/2

satisfaz

Sk=kn=11n1/2>kn=11n.

(Veja a Figura9.4.1n e a Tabela9.4.1). Como a sérien=11n diverge até o infinito, a sequência de somas parciaiskn=11n é ilimitada. Consequentemente,Sk é uma sequência ilimitada e, portanto, diverge. Concluímos que

n=11n1/2

diverge.

Isso mostra dois gráficos lado a lado. O primeiro mostra os pontos representados graficamente para as somas parciais da soma de 1/n^2 e da soma 1/ (n^2 + 1). Cada uma das somas parciais da última é menor do que a soma parcial correspondente da primeira. O segundo mostra os pontos representados graficamente para as somas parciais da soma de 1/ (n - 0,5) e a soma 1/n. Cada uma das somas parciais da última é menor do que a soma parcial correspondente da primeira.
Figura9.4.1: (a) Cada uma das somas parciais da série dada é menor que a soma parcial correspondente para a convergênciapseries. (b) Cada uma das somas parciais para a série dada é maior do que a soma parcial correspondente para a série harmônica divergente.
Tabela9.4.1: Comparando uma série com umap série -(p=2)
k 1 2 3 4 5 6 7 8
kn=11n2+1 0,5 0,7 0,8 0,8588 0,8973 0,9243 0,9443 0,9597
kn=11n2 1 1,25 1.3611 1.4236 1.4636 1.4914 1.5118 1.5274
Tabela9.4.2: Comparando uma série com a série harmônica
k 1 2 3 4 5 6 7 8
kn=11n1/2 2 2.667 3.0667 3,3524 3.5746 3.7564 3.9103 4.0436
kn=11n 1 1,5 1.8333 2.0933 2.283 2,45 2.5929 2.7179
Teste de comparação
  1. Suponha que exista um número inteiroN such that 0anbn for all nN. If n=1bn converges, then n=1an converges.
  2. Suponha que exista um número inteiroN such that anbn0 for all nN. If n=1bn diverges, then n=1an diverges.
Prova

Provamos a parte i. A prova da parte ii. é o contrapositivo da parte i. VamosSk be the sequence of partial sums associated with n=1an, and let L=n=1bn. Since the terms an0,

Sk=a1+a2++aka1+a2++ak+ak+1=Sk+1.

Portanto, a sequência de somas parciais está aumentando. Além disso, uma vez queanbn for all nN, then

kn=Nankn=Nbnn=1bn=L.

Portanto, para todosk1,

Sk=(a1+a2++aN1)+kn=Nan(a1+a2++aN1)+L.

Desdea1+a2++aN1 is a finite number, we conclude that the sequence Sk is bounded above. Therefore, Sk is an increasing sequence that is bounded above. By the Monotone Convergence Theorem, we conclude that Sk converges, and therefore the series n=1an converges.

Para usar o teste de comparação para determinar a convergência ou divergência de uma sérien=1an, it is necessary to find a suitable series with which to compare it. Since we know the convergence properties of geometric series and p-series, these series are often used. If there exists an integer N such that for all nN, each term an is less than each corresponding term of a known convergent series, then n=1an converges. Similarly, if there exists an integer N such that for all nN, each term an is greater than each corresponding term of a known divergent series, then n=1an diverges.

Exemplo9.4.1: Using the Comparison Test

Para cada uma das séries a seguir, use o teste de comparação para determinar se a série converge ou diverge.

  1. n=1=1n3+3n+1
  2. n=1=12n+1
  3. n=2=1lnn

Solução

a. Compare comn=11n3. Comon=11n3 é umap série C comp=3, ela converge. Além disso,

1n3+3n+1<1n3

para cada número inteiro positivon. Portanto, podemos concluir quen=11n3+3n+1 converge.

b. Compare comn=1(12)n. Comon=1(12)n é uma série geométrica comr=12 e|12|<1, ela converge. Além disso,

12n+1<12n

para cada número inteiro positivon. Portanto, vemos quen=112n+1 converge.

c. Compare comn=21n. Desde

1lnn>1n

para cada número inteiron2 en=21n diverge, temos quen=21lnn diverge.

Exercício9.4.1

Use o teste de comparação para determinar se a sérien=1nn3+n+1 converge ou diverge.

Dica

Encontre um valorp como essenn3+n+11np.

Resposta

A série converge.

Teste de comparação de limites

O teste de comparação funciona bem se pudermos encontrar uma série comparável que satisfaça a hipótese do teste. No entanto, às vezes, encontrar uma série apropriada pode ser difícil. Considere a série

n=21n21.

É natural comparar esta série com a série convergente

n=21n2.

No entanto, esta série não satisfaz a hipótese necessária para usar o teste de comparação porque

1n21>1n2

para todos os números inteirosn2. Embora pudéssemos procurar uma série diferente com a qual comparar,n=21n21, mostramos como podemos usar o teste de comparação de limites para comparar.

n=21n21

e

n=21n2.

Vamos examinar a ideia por trás do teste de comparação de limites. Considere duas sériesn=1ann=1bn e. com termos positivosan ebn e avalie

limnanbn.

E se

limnanbn=L0,

então, para um tamanhon suficientemente grande,anLbn. Portanto, as duas séries convergem ou as duas séries divergem. Para a sérien=21n21 en=21n2, vemos que

limn1/(n21)1/n2=limnn2n21=1.

Comon=21n2 converge, concluímos que

n=21n21

converge.

O teste de comparação de limites pode ser usado em outros dois casos. Suponha

limnanbn=0.

Nesse caso,an/bn é uma sequência limitada. Como resultado, existe uma constanteM como essaanMbn. Portanto, sen=1bn converge, entãon=1an converge. Por outro lado, suponha

limnanbn=.

Nesse caso,an/bn é uma sequência ilimitada. Portanto, para cada constanteM existe um número inteiroN tal queanMbn para todasnN. Portanto, sen=1bn diverge, entãon=1an diverge também.

Teste de comparação de limites

Deixean,bn0 para todosn1.

  1. Selimnanbn=L0, entãon=1an en=1bn ambos convergirem ou ambos divergirem.
  2. Selimnanbn=0 en=1bn convergir, entãon=1an converge.
  3. Selimnanbn= en=1bn diverge, entãon=1an diverge.

Observe que, seanbn0 en=1bn divergir, o teste de comparação de limites não fornece nenhuma informação. Da mesma forma, seanbn en=1bn convergir, o teste também não fornece nenhuma informação. Por exemplo, considere as duas sériesn=11nn=11n2 e. Essas séries são ambasp séries comp=12 ep=2, respectivamente. Já quep=12<1, a sérien=11n diverge. Por outro lado, desde entãop=2>1, a sérien=11n2 converge. No entanto, suponha que tentamos aplicar o teste de comparação de limites, usando a psérie −convergenten=11n3 como nossa série de comparação. Primeiro, vemos que

1/n1/n3=n3n=n5/2 as n.

Da mesma forma, vemos que

1/n21/n3=n as n.

Portanto, seanbn quandon=1bn converge, não obtemos nenhuma informação sobre a convergência ou divergência den=1an.

Exemplo9.4.2: Using the Limit Comparison Test

Para cada uma das séries a seguir, use o teste de comparação de limites para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste não se aplicar, diga isso.

  1. n=11n+1
  2. n=12n+13n
  3. n=1ln(n)n2

Solução

a. Compare esta série comn=11n. Calcular

limn1/(n+1)1/n=limnnn+1=limn1/n1+1/n=1.

Pelo teste de comparação de limites, uma vez quen=11n diverge, depoisn=11n+1 diverge.

b. Compare esta série comn=1(23)n. Nós vemos isso

limn(2n+1)/3n2n/3n=limn2n+13n3n2n=limn2n+12n=limn[1+(12)n]=1.

Portanto,

limn(2n+1)/3n2n/3n=1.

Comon=1(23)n converge, concluímos quen=12n+13n converge.

c. Uma vez quelnn<n, compare comn=11n. Nós vemos isso

limnlnn/n21/n=limnlnnn2n1=limnlnnn.

Para avaliarlimnlnn/n, avalie o limite a partirx da função de valor realln(x)/x. Esses dois limites são iguais e fazer essa mudança nos permite usar a regra de L'Hôpital. Nós obtemos

limxlnxx=limx1x=0.

Portantolimnlnnn=0, e, consequentemente,

limn(lnn)/n21/n=0.

Como o limite é,0 masn=11n diverge, o teste de comparação de limites não fornece nenhuma informação.

n=11n2Em vez disso, compare com. Nesse caso,

limn(lnn)/n21/n2=limnlnnn2n21=limnlnn=.

Como o limite é, masn=11n2 converge, o teste ainda não fornece nenhuma informação.

Então, agora vamos tentar uma série entre as duas que já experimentamos. Escolhendo a sérien=11n3/2, vemos que

limn(lnn)/n21/n3/2=limnlnnn2n3/21=limnlnnn.

Como acima, para avaliarlimnlnnn, avalie o limite a partirx da função de valor reallnnn. Usando a regra de L'Hôpital,

limxlnxx=limx2xx=limx2x=0.

Como o limite é0 en=11n3/2 converge, podemos concluir quen=1lnnn2 converge.

Exercício9.4.2

Use o teste de comparação de limites para determinar se a sérien=15n3n+2 converge ou diverge.

Dica

Compare com uma série geométrica.

Resposta

A série diverge.

Conceitos chave

  • Os testes de comparação são usados para determinar a convergência ou divergência de séries com termos positivos.
  • Ao usar os testes de comparação, uma série geralmenten=1an é comparada a uma série geométrica oup -série.

Glossário

teste de comparação
Se0anbn para todosnN en=1bn converge, entãon=1an converge; seanbn0 para todosnN en=1bn diverge, entãon=1an diverge.
teste de comparação de limites
Suponha quean,bn0 para todosn1. Selimnan/bnL0, entãon=1an en=1bn ambos convergem ou ambos divergem; selimnan/bn0 en=1bn convergir, entãon=1an converge. Selimnan/bn, en=1bn diverge, entãon=1an diverge.