9.4: Testes de comparação

Objetivos de

• Use o teste de comparação para testar a convergência de uma série.
• Use o teste de comparação de limites para determinar a convergência de uma série.

Vimos que o teste integral nos permite determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com uma integral imprópria relacionada. Nesta seção, mostramos como usar testes de comparação para determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com uma série cuja convergência ou divergência é conhecida. Normalmente, esses testes são usados para determinar a convergência de séries que são semelhantes às séries geométricas ou$p$ séries.

Teste de comparação

Nas duas seções anteriores, discutimos duas grandes classes de séries: séries geométricas e$p$ séries. Sabemos exatamente quando essas séries convergem e quando elas divergem. Aqui, mostramos como usar a convergência ou divergência dessas séries para provar a convergência ou divergência para outras séries, usando um método chamado teste de comparação.

Por exemplo, considere a série

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^2+1}. \nonumber$$

Esta série é semelhante à série convergente

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^2} \nonumber$$

Como os termos em cada uma das séries são positivos, a sequência de somas parciais para cada série é monótona e crescente. Além disso, uma vez que

$$0<\dfrac{1}{n^2+1}<\dfrac{1}{n^2} \nonumber$$

para todos os números inteiros positivos$n$, a soma$k^{\text{th}}$ parcial$S_k$ de$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^2+1}$ satisfaz

$$S_k=\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^2+1}<\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^2}<\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^2}. \nonumber$$

(Veja a Figura$\PageIndex{1a}$ e a Tabela$\PageIndex{1}$.) Como a série à direita converge, a sequência${S_k}$ é limitada acima. Concluímos que${S_k}$ é uma sequência crescente monótona que está limitada acima. Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona,${S_k}$ converge e, portanto,

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^2+1} \nonumber$$

converge.

Da mesma forma, considere a série

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n−1/2}. \nonumber$$

Esta série é semelhante à série divergente

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n}. \nonumber$$

A sequência de somas parciais para cada série é monótona, aumentando e

$$\dfrac{1}{n−1/2}>\dfrac{1}{n}>0 \nonumber$$

para cada número inteiro positivo$n$. Portanto, a soma$k^{\text{th}}$ parcial$S_k$ de

$$\sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n−1/2} \nonumber$$

satisfaz

$$S_k=\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n−1/2}>\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n}. \nonumber$$

(Veja a Figura$\PageIndex{1n}$ e a Tabela$\PageIndex{1}$). Como a série$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n}$ diverge até o infinito, a sequência de somas parciais$\displaystyle \sum^k_{n=1}\frac{1}{n}$ é ilimitada. Consequentemente,${S_k}$ é uma sequência ilimitada e, portanto, diverge. Concluímos que

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n−1/2} \nonumber$$

diverge.

Figura$\PageIndex{1}$: (a) Cada uma das somas parciais da série dada é menor que a soma parcial correspondente para a convergência$p−series$. (b) Cada uma das somas parciais para a série dada é maior do que a soma parcial correspondente para a série harmônica divergente.

Tabela$\PageIndex{1}$: Comparando uma série com uma$p$ série -($p = 2$)

$k$	1	2	3	4	5	6	7	8
$\displaystyle \sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^2+1}$	0,5	0,7	0,8	0,8588	0,8973	0,9243	0,9443	0,9597
$\displaystyle \sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^2}$	1	1,25	1.3611	1.4236	1.4636	1.4914	1.5118	1.5274

Tabela$\PageIndex{2}$: Comparando uma série com a série harmônica

$k$	1	2	3	4	5	6	7	8
$\displaystyle \sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n−1/2}$	2	2.667	3.0667	3,3524	3.5746	3.7564	3.9103	4.0436
$\displaystyle \sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n}$	1	1,5	1.8333	2.0933	2.283	2,45	2.5929	2.7179

Teste de comparação

1. Suponha que exista um número inteiro$N$ such that $0≤a_n≤b_n$ for all $n≥N$. If $\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ converges, then $\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ converges.
2. Suponha que exista um número inteiro$N$ such that $a_n≥b_n≥0$ for all $n≥N.$ If $\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ diverges, then $\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ diverges.

Prova

Provamos a parte i. A prova da parte ii. é o contrapositivo da parte i. Vamos${S_k}$ be the sequence of partial sums associated with $\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$, and let $\displaystyle L=\sum^∞_{n=1}b_n$. Since the terms $a_n≥0,$

$$S_k=a_1+a_2+⋯+a_k≤a_1+a_2+⋯+a_k+a_{k+1}=S_{k+1}. \nonumber$$

Portanto, a sequência de somas parciais está aumentando. Além disso, uma vez que$a_n≤b_n$ for all $n≥N$, then

$$\sum_{n=N}^ka_n≤\sum_{n=N}^kb_n≤\sum_{n=1}^∞b_n=L. \nonumber$$

Portanto, para todos$k≥1$,

$$S_k=(a_1+a_2+⋯+a_{N−1})+\sum_{n=N}^ka_n≤(a_1+a_2+⋯+a_{N−1})+L. \nonumber$$

Desde$a_1+a_2+⋯+a_{N−1}$ is a finite number, we conclude that the sequence ${S_k}$ is bounded above. Therefore, ${S_k}$ is an increasing sequence that is bounded above. By the Monotone Convergence Theorem, we conclude that ${S_k}$ converges, and therefore the series $\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$ converges.

□

Para usar o teste de comparação para determinar a convergência ou divergência de uma série$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$, it is necessary to find a suitable series with which to compare it. Since we know the convergence properties of geometric series and $p$-series, these series are often used. If there exists an integer $N$ such that for all $n≥N$, each term an is less than each corresponding term of a known convergent series, then $\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$ converges. Similarly, if there exists an integer $N$ such that for all $n≥N$, each term an is greater than each corresponding term of a known divergent series, then $\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$ diverges.

Exemplo$\PageIndex{1}$: Using the Comparison Test

Para cada uma das séries a seguir, use o teste de comparação para determinar se a série converge ou diverge.

1. $\displaystyle \sum_{n=1}^∞=\dfrac{1}{n^3+3n+1}$
2. $\displaystyle \sum_{n=1}^∞=\dfrac{1}{2^n+1}$
3. $\displaystyle \sum_{n=2}^∞=\dfrac{1}{\ln \,n }$

Solução

a. Compare com$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^3}$. Como$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^3}$ é uma$p$ série C com$p=3$, ela converge. Além disso,

$$\dfrac{1}{n^3+3n+1}<\dfrac{1}{n^3} \nonumber$$

para cada número inteiro positivo$n$. Portanto, podemos concluir que$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^3+3n+1}$ converge.

b. Compare com$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. Como$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ é uma série geométrica com$r=\dfrac{1}{2}$ e$\left|\dfrac{1}{2}\right|<1$, ela converge. Além disso,

$$\dfrac{1}{2^n+1}<\dfrac{1}{2^n} \nonumber$$

para cada número inteiro positivo$n$. Portanto, vemos que$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{2^n+1}$ converge.

c. Compare com$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\dfrac{1}{n}$. Desde

$$\dfrac{1}{\ln n }>\dfrac{1}{n} \nonumber$$

para cada número inteiro$n≥2$ e$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\dfrac{1}{n}$ diverge, temos que$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\dfrac{1}{\ln n}$ diverge.

Exercício$\PageIndex{1}$

Use o teste de comparação para determinar se a série$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{n}{n^3+n+1}$ converge ou diverge.

Dica

Encontre um valor$p$ como esse$\dfrac{n}{n^3+n+1}≤\dfrac{1}{n^p}$.

Resposta

A série converge.

Teste de comparação de limites

O teste de comparação funciona bem se pudermos encontrar uma série comparável que satisfaça a hipótese do teste. No entanto, às vezes, encontrar uma série apropriada pode ser difícil. Considere a série

$$\sum_{n=2}^∞\dfrac{1}{n^2−1}. \nonumber$$

É natural comparar esta série com a série convergente

$$\sum_{n=2}^∞\dfrac{1}{n^2}. \nonumber$$

No entanto, esta série não satisfaz a hipótese necessária para usar o teste de comparação porque

$$\dfrac{1}{n^2−1}>\dfrac{1}{n^2} \nonumber$$

para todos os números inteiros$n≥2$. Embora pudéssemos procurar uma série diferente com a qual comparar,$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\frac{1}{n^2−1},$ mostramos como podemos usar o teste de comparação de limites para comparar.

$$\sum_{n=2}^∞\frac{1}{n^2−1} \nonumber$$

e

$$\sum_{n=2}^∞\frac{1}{n^2}. \nonumber$$

Vamos examinar a ideia por trás do teste de comparação de limites. Considere duas séries$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ e. com termos positivos$a_n$ e$b_n$ e avalie

$$\lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}. \nonumber$$

E se

$$\lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}=L≠0, \nonumber$$

então, para um tamanho$n$ suficientemente grande,$a_n≈Lb_n$. Portanto, as duas séries convergem ou as duas séries divergem. Para a série$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\frac{1}{n^2−1}$ e$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\dfrac{1}{n^2}$, vemos que

$$\lim_{n→∞}\dfrac{1/(n^2−1)}{1/n^2}=\lim_{n→∞}\dfrac{n^2}{n^2−1}=1. \nonumber$$

Como$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\frac{1}{n^2}$ converge, concluímos que

$$\sum_{n=2}^∞\dfrac{1}{n^2−1} \nonumber$$

converge.

O teste de comparação de limites pode ser usado em outros dois casos. Suponha

$$\lim_{n→∞}\dfrac{a_n}{b_n}=0. \nonumber$$

Nesse caso,${a_n/b_n}$ é uma sequência limitada. Como resultado, existe uma constante$M$ como essa$a_n≤Mb_n$. Portanto, se$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ converge, então$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ converge. Por outro lado, suponha

$$\lim_{n→∞}\dfrac{a_n}{b_n}=∞. \nonumber$$

Nesse caso,${a_n/b_n}$ é uma sequência ilimitada. Portanto, para cada constante$M$ existe um número inteiro$N$ tal que$a_n≥Mb_n$ para todas$n≥N.$ Portanto, se$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ diverge, então$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ diverge também.

Teste de comparação de limites

Deixe$a_n,b_n≥0$ para todos$n≥1.$

1. Se$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}=L≠0,$ então$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ e$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ ambos convergirem ou ambos divergirem.
2. Se$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}=0$ e$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ convergir, então$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ converge.
3. Se$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}=∞$ e$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ diverge, então$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ diverge.

Observe que, se$\dfrac{a_n}{b_n}→0$ e$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ divergir, o teste de comparação de limites não fornece nenhuma informação. Da mesma forma, se$\dfrac{a_n}{b_n}→∞$ e$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ convergir, o teste também não fornece nenhuma informação. Por exemplo, considere as duas séries$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt{n}}$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}$ e. Essas séries são ambas$p$ séries com$p=\frac{1}{2}$ e$p=2$, respectivamente. Já que$p=\frac{1}{2}<1,$ a série$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge. Por outro lado, desde então$p=2>1$, a série$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}$ converge. No entanto, suponha que tentamos aplicar o teste de comparação de limites, usando a $p$série −convergente$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^3}$ como nossa série de comparação. Primeiro, vemos que

$$\dfrac{1/\sqrt{n}}{1/n^3}=\dfrac{n^3}{\sqrt{n}}=n^{5/2}→∞\; \text{ as } \;n→∞. \nonumber$$

Da mesma forma, vemos que

$$\dfrac{1/n^2}{1/n^3}=n→∞\; \text{ as } \;n→∞. \nonumber$$

Portanto, se$\dfrac{a_n}{b_n}→∞$ quando$\displaystyle \sum_{n=1}^∞b_n$ converge, não obtemos nenhuma informação sobre a convergência ou divergência de$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$.

Exemplo$\PageIndex{2}$: Using the Limit Comparison Test

Para cada uma das séries a seguir, use o teste de comparação de limites para determinar se a série converge ou diverge. Se o teste não se aplicar, diga isso.

1. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}$
2. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{2^n+1}{3^n}$
3. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{\ln(n)}{n^2}$

Solução

a. Compare esta série com$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n}}$. Calcular

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{1/(\sqrt{n}+1)}{1/\sqrt{n}}=\lim_{n→∞}\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1}=\lim_{n→∞}\dfrac{1/\sqrt{n}}{1+1/\sqrt{n}}=1.$

Pelo teste de comparação de limites, uma vez que$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ diverge, depois$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}$ diverge.

b. Compare esta série com$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$. Nós vemos isso

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(2^n+1)/3^n}{2^n/3^n}=\lim_{n→∞}\dfrac{2^n+1}{3^n}⋅\dfrac{3^n}{2^n}=\lim_{n→∞}\dfrac{2^n+1}{2^n}=\lim_{n→∞}\left[1+\left(\tfrac{1}{2}\right)^n\right]=1.$

Portanto,

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(2^n+1)/3^n}{2^n/3^n}=1.$

Como$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ converge, concluímos que$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{2^n+1}{3^n}$ converge.

c. Uma vez que$\ln n<n,$ compare com$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n}$. Nós vemos isso

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{\ln n/n^2}{1/n}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{n^2}⋅\dfrac{n}{1}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{n}.$

Para avaliar$\displaystyle \lim_{n→∞}\ln n/n$, avalie o limite a partir$x→∞$ da função de valor real$\ln(x)/x$. Esses dois limites são iguais e fazer essa mudança nos permite usar a regra de L'Hôpital. Nós obtemos

$\displaystyle \lim_{x→∞}\dfrac{lnx}{x}=\lim_{x→∞}\dfrac{1}{x}=0.$

Portanto$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{\ln n}{n}=0$, e, consequentemente,

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(\ln n)/n^2}{1/n}=0.$

Como o limite é,$0$ mas$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n}$ diverge, o teste de comparação de limites não fornece nenhuma informação.

$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^2}$Em vez disso, compare com. Nesse caso,

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(\ln n)/n^2}{1/n^2}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{n^2}⋅\dfrac{n^2}{1}=\lim_{n→∞}\ln n=∞.$

Como o limite é,$∞$ mas$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^2}$ converge, o teste ainda não fornece nenhuma informação.

Então, agora vamos tentar uma série entre as duas que já experimentamos. Escolhendo a série$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^{3/2}}$, vemos que

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(\ln n)/n^2}{1/n^{3/2}}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{n^2}⋅\dfrac{n^{3/2}}{1}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{\sqrt{n}}$.

Como acima, para avaliar$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{\ln n}{\sqrt{n}}$, avalie o limite a partir$x→∞$ da função de valor real$\frac{\ln n}{\sqrt{n}}$. Usando a regra de L'Hôpital,

$\displaystyle \lim_{x→∞}\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}=\lim_{x→∞}\dfrac{2\sqrt{x}}{x}=\lim_{x→∞}\dfrac{2}{\sqrt{x}}=0$.

Como o limite é$0$ e$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^{3/2}}$ converge, podemos concluir que$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{\ln n}{n^2}$ converge.

Exercício$\PageIndex{2}$

Use o teste de comparação de limites para determinar se a série$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{5^n}{3^n+2}$ converge ou diverge.

Dica

Compare com uma série geométrica.

Resposta

A série diverge.

Conceitos chave

• Os testes de comparação são usados para determinar a convergência ou divergência de séries com termos positivos.
• Ao usar os testes de comparação, uma série geralmente$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ é comparada a uma série geométrica ou$p$ -série.

Glossário

teste de comparação

Se$0≤a_n≤b_n$ para todos$n≥N$ e$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ converge, então$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ converge; se$a_n≥b_n≥0$ para todos$n≥N$ e$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ diverge, então$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ diverge.

teste de comparação de limites

Suponha que$a_n,b_n≥0$ para todos$n≥1$. Se$\displaystyle \lim_{n→∞}a_n/b_n→L≠0$, então$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ e$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ ambos convergem ou ambos divergem; se$\displaystyle \lim_{n→∞}a_n/b_n→0$ e$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ convergir, então$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ converge. Se$\displaystyle \lim_{n→∞}a_n/b_n→∞$, e$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ diverge, então$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ diverge.