9.3E: Exercícios para a Seção 9.3

Problemas no teste de divergência

Considere a sequência de cada série nos exercícios 1 a 14, se o teste de divergência se aplicar, indique que\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n\) não existe ou encontre\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n\). Se o teste de divergência não se aplicar, indique o motivo.

1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞ \dfrac{n}{n+2}\)

2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{n}{5n^2−3}\)

Responda

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0\). O Teste de Divergência não se aplica.

3)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{n}{\sqrt{3n^2+2n+1}}\)

4)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n+1)(n−1)}{(n+1)^2}\)

Responda

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=2\). Portanto, a série diverge pelo Teste\(n^{\text{th}}\) de Divergência de Termo.

5)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n+1)^{2n}}{(3n^2+1)^n}\)

6)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{2^n}{3^{n/2}}\)

Responda

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=∞\)(não existe). Portanto, a série diverge pelo Teste\(n^{\text{th}}\) de Divergência de Termo.

7)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{2^n+3^n}{10^{n/2}}\)

8)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞e^{−2/n}\)

Responda

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=1.\)Portanto, a série diverge pelo Teste\(n^{\text{th}}\) de Divergência de Termo.

9)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\cos n\)

10)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\tan n\)

Responda

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n\)não existe. Portanto, a série diverge pelo Teste\(n^{\text{th}}\) de Divergência de Termo.

11)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{1−\cos^2(1/n)}{\sin^2(2/n)}\)

12)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left(1−\dfrac{1}{n}\right)^{2n}\)

Responda

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=1/e^2.\)Portanto, a série diverge pelo Teste\(n^{\text{th}}\) de Divergência de Termo.

13)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{\ln n}{n}\)

14)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{(\ln n)^2}{\sqrt{n}}\)

Responda

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0.\)O Teste de Divergência não se aplica.

\(p\)-Problemas de série e problemas de teste integral

Nos exercícios 15 a 20, indique se a\( p\) série C dada converge.

15)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt{n}}\)

16)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n\sqrt{n}}\)

Responda

A série converge, desde então\( p=3/2>1\).

17)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}\)

18)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt[3]{n^4}}\)

Responda

A série converge, já que\( p=4/3>1.\)

19)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n^e}{n^π}\)

20)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n^π}{n^{2e}}\)

Responda

A série converge, já que\( p=2e−π>1.\)

Nos exercícios 21 a 27, use o teste integral para determinar se as seguintes somas convergem.

21)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt{n+5}}\)

22)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt[3]{n+5}}\)

Responda

A série diverge pelo Teste Integral, pois\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{(x+5)^{1/3}}\) pode ser demonstrado que diverge.

23)\(\displaystyle \sum_{n=2}^∞\frac{1}{n\ln n}\)

24)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n}{1+n^2}\)

Responda

A série diverge pelo Teste Integral, pois\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{x}{1+x^2}\,dx\) pode ser demonstrado que diverge.

25)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{e^n}{1+e^{2n}}\)

26)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2n}{1+n^4}\)

Responda

A série converge pelo Teste Integral desde que\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{2x}{1+x^4}\,dx\) converge.

27)\(\displaystyle \sum_{n=2}^∞\frac{1}{n\ln^2n}\)

Expresse as somas nos exercícios 28 a 31 como\( p\) séries e determine se cada uma converge.

28)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞2^{−\ln n}\)\(\quad\Big(\) Dica:\( 2^{−\ln n}=\dfrac{1}{n^{\ln 2}}.\Big)\)

Responda

\( 2^{−\ln n}=1/n^{\ln 2}.\)Desde então\(p=\ln 2<1\), esta série diverge pelo teste\( p\) da série.

29)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞3^{−\ln n}\)\(\quad\Big(\) Dica:\( 3^{−\ln n}=\dfrac{1}{n^{\ln 3}}.\Big)\)

30)\(\displaystyle \sum_{n=1}^n2^{−2\ln n}\)

Responda

\( 2^{−2\ln n}=1/n^{2\ln 2}.\)Desde então\(p = 2\ln 2−1<1\), esta série diverge pelo teste\( p\) da série.

31)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞n3^{−2\ln n}\)

Nos exercícios 32 a 35, use a estimativa\(\displaystyle R_N≤∫^∞_Nf(t)\,dt\) para encontrar um limite para o restante\(\displaystyle R_N=\sum_{n=1}^∞a_n−\sum_{n=1}^Na_n\) onde\( a_n=f(n).\)

32)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{1000}\frac{1}{n^2}\)

Responda

\(\displaystyle R_{1000}≤∫^∞_{1000}\frac{dt}{t^2}=\lim_{b\to ∞}−\frac{1}{t}\bigg|^b_{1000}=\lim_{b\to ∞}\left(−\frac{1}{b}+\frac{1}{1000}\right)=0.001\)

33)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{1000}\frac{1}{n^3}\)

34)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{1000}\frac{1}{1+n^2}\)

Resposta

\(\displaystyle R_{1000}≤∫^∞_{1000}\frac{dt}{1+t^2}=\lim_{b\to ∞} \left(\tan^{−1}b−\tan^{−1}(1000)\right)=π/2−\tan^{−1}(1000)≈0.000999\)

(35)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{100}\frac{n}{2^n}\)

[T] Nos exercícios 36 a 40, encontre o valor mínimo de\( N\) tal forma que a estimativa restante\(\displaystyle ∫^∞_{N+1}f(x)\,dx<R_N<∫^∞_N f(x)\,dx\) garanta que as\(\displaystyle \sum_{n=1}^Na_n\) estimativas\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n,\) sejam precisas dentro do erro dado.

36)\( a_n=\dfrac{1}{n^2},\) erro\( <10^{−4}\)

Resposta

\(\displaystyle R_N<∫^∞_N\frac{dx}{x^2}=1/N,\;\text{for}\;N>10^4\)

37)\( a_n=\dfrac{1}{n^{1.1}},\) erro\( <10^{−4}\)

38)\( a_n=\dfrac{1}{n^{1.01}},\) erro\( <10^{−4}\)

Resposta

\(\displaystyle R_N<∫^∞_N\frac{dx}{x^{1.01}}=100N^{−0.01},\;\text{for}\;N>10^{600}\)

39)\( a_n=\dfrac{1}{n\ln^2n},\) erro\( <10^{−3}\)

40)\( a_n=\dfrac{1}{1+n^2},\) erro\( <10^{−3}\)

Resposta

\(\displaystyle R_N<∫^∞_N\frac{dx}{1+x^2}=π/2−\tan^{−1}(N),\;\text{for}\;N>\tan(π/2−10^{−3})≈1000\)

Nos exercícios 41 a 45, encontre um valor menor\( R_N\) que o erro desejado.\( N\) Calcule a soma correspondente\(\displaystyle \sum_{n=1}^Na_n\) e compare-a com a estimativa dada da série infinita.

41)\( a_n=\dfrac{1}{n^{11}},\) erro\( \displaystyle <10^{−4}, \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^{11}}=1.000494…\)

42)\( a_n=\dfrac{1}{e^n},\) erro\(\displaystyle <10^{−5}, \sum_{n=1}^∞\frac{1}{e^n}=\frac{1}{e−1}=0.581976…\)

Resposta

\(\displaystyle R_N<∫^∞_N\frac{dx}{e^x}=e^{−N},\;\text{for}\;N>5\ln(10),\)ok se a\(\displaystyle N=12;\sum_{n=1}^{12}e^{−n}=0.581973....\) estimativa concordar com\( 1/(e−1)\) até cinco casas decimais.

43)\( a_n=\dfrac{1}{e^{n^2}},\) erro\(\displaystyle <10^{−5}, \sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{e^{n^2}}=0.40488139857…\)

44)\( a_n=\dfrac{1}{n^4},\) erro\(\displaystyle <10^{−4}, \sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^4}=\frac{π^4}{90}=1.08232...\)

Resposta

\(\displaystyle R_N<∫^∞_N\dfrac{dx}{x^4}=4/N^3,\;\text{for}\;N>(4.10^4)^{1/3},\)ok if\( N=35\); A\(\displaystyle \sum_{n=1}^{35}\dfrac{1}{n^4}=1.08231….\) estimativa concorda com a soma de quatro casas decimais.

45)\( a_n=\dfrac{1}{n^6}\), erro\(\displaystyle <10^{−6}, \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^6}=\frac{π^6}{945}=1.01734306...,\)

46) Encontre o limite a partir\( n→∞\) de\( \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+⋯+\dfrac{1}{2n}\). \(\quad\Big(\)Dica: Compare com\(\displaystyle ∫^{2n}_n\frac{1}{t}\,dt.\Big)\)

Resposta

\( \ln(2)\)

47) Encontre o limite a partir\( n→∞\) de\( \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+⋯+\dfrac{1}{3n}\)

Os próximos exercícios têm como objetivo dar uma ideia das aplicações nas quais surgem somas parciais da série harmônica.

48) Em certas aplicações de probabilidade, como o chamado estimador de Watterson para prever taxas de mutação em genética populacional, é importante ter uma estimativa precisa do número\( H_k=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+⋯+\frac{1}{k})\). Lembre-se de que\( T_k=H_k−\ln k\) está diminuindo. Calcule\(\displaystyle T=\lim_{k→∞}T_k\) até quatro casas decimais.

\(\quad\Big(\)Dica:\(\displaystyle \frac{1}{k+1}<∫^{k+1}_k\frac{1}{x}\,dx.\Big)\)

Resposta

\( T=0.5772...\)

49) [T] A amostragem completa com substituição, às vezes chamada de problema do coletor de cupons, é formulada da seguinte forma: Suponha que você tenha itens\( N\) exclusivos em uma lixeira. Em cada etapa, um item é escolhido aleatoriamente, identificado e colocado de volta na lixeira. O problema pergunta qual é o número esperado de etapas\( E(N)\) necessárias para desenhar cada item exclusivo pelo menos uma vez. Acontece que\( E(N)=N.H_N=N\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+⋯+\frac{1}{N}\right)\). Encontre\( E(N)\) para\( N=10,20,\)\( 50\) e.

50) [T] A maneira mais simples de embaralhar cartas é pegar a carta do topo e inseri-la em um lugar aleatório no baralho, chamado de inserção aleatória superior, e depois repetir. Consideraremos que um baralho será embaralhado aleatoriamente quando forem feitas inserções aleatórias superiores suficientes para que a carta originalmente na parte inferior chegue ao topo e depois seja inserida aleatoriamente. Se o baralho tiver\( n\) cartas, a probabilidade de que a inserção esteja abaixo da carta inicialmente na parte inferior (chame essa carta\( B\)) é\( 1/n\). Assim, o número esperado de inserções aleatórias superiores antes não\( B\) está mais na parte inferior\( n\). Quando uma carta está abaixo\( B\), há duas posições abaixo\( B\) e a probabilidade de uma carta inserida aleatoriamente cair abaixo\( B\) é\( 2/n\). O número esperado das principais inserções aleatórias antes que isso aconteça é\( n/2\). As duas cartas abaixo\( B\) estão agora em ordem aleatória. Continuando dessa forma, encontre uma fórmula para o número esperado de inserções aleatórias superiores necessárias para considerar o baralho como sendo embaralhado aleatoriamente.

Resposta

O número esperado de inserções aleatórias para chegar\( B\) ao topo é\( n+n/2+n/3+⋯+n/(n−1).\) Então, mais uma inserção é colocada de\( B\) volta aleatoriamente. Assim, o número esperado de embaralhamentos para aleatorizar o baralho é\( n(1+1/2+⋯+1/n).\)

51) Suponha que uma scooter possa viajar\( 100\) quilômetros com um tanque cheio de combustível. Supondo que o combustível possa ser transferido de uma scooter para outra, mas só possa ser transportado no tanque, apresente um procedimento que permitirá que uma das scooters viaje\( 100H_N\) km, onde\( H_N=1+1/2+⋯+1/N.\)

52) Mostre que, para que a estimativa restante\( f(x)\) seja aplicada, basta diminuir\( [N,∞)\), mas não\( f\) precisa diminuir\( [N,∞)\)\( [1,∞).\)

Resposta

\( b_n=a_{n+N}\)Definido e\( g(t)=f(t+N)\) tal que\( f\) está diminuindo em\( [t,∞).\)

53) [T] Use a estimativa restante e a integração por partes para aproximar\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n}{e^n}\) dentro de um erro menor que\( 0.0001.\)

54)\(\displaystyle \sum_{n=2}^∞\frac{1}{n(\ln n)^p}\) Converge se\( p\) for grande o suficiente? Em caso afirmativo, para qual\( p\)?

Resposta

A série converge\( p>1\) por teste integral usando mudança de variável.

55) [T] Suponha que um computador possa somar um milhão de termos por segundo da série divergente\(\displaystyle \sum_{n=1}^N\frac{1}{n}\). Use o teste integral para aproximar quantos segundos serão necessários para somar termos suficientes para que a soma parcial exceda\( 100\).

56) [T] Um computador rápido pode somar um milhão de termos por segundo da série divergente\(\displaystyle \sum_{n=2}^N\frac{1}{n\ln n}\). Use o teste integral para aproximar quantos segundos serão necessários para somar termos suficientes para que a soma parcial exceda\( 100.\)

Resposta

\( N=e^{e^{100}}≈e^{10^{43}}\)termos são necessários.