9.5: Séries alternadas
- Use o teste de série alternada para testar a convergência de uma série alternada.
- Estime a soma de uma série alternada.
- Explique o significado da convergência absoluta e da convergência condicional.
Até agora, neste capítulo, discutimos principalmente séries com termos positivos. Nesta seção, apresentamos séries alternadas — aquelas séries cujos termos se alternam em signo. Mostraremos em um capítulo posterior que essas séries geralmente surgem quando se estuda séries de potência. Depois de definir séries alternadas, introduzimos o teste de séries alternadas para determinar se essa série converge.
O teste de série alternada
Uma série cujos termos alternam entre valores positivos e negativos é uma série alternada. Por exemplo, a série
∞∑n=1(−12)n=−12+14−18+116−…
e
∞∑n=1(−1)n+1n=1−12+13−14+…
são ambas séries alternadas.
Qualquer série cujos termos alternam entre valores positivos e negativos é chamada de série alternada. Uma série alternada pode ser escrita no formulário
∞∑n=1(−1)n+1bn=b1−b2+b3−b4+…
ou
∞∑n−1(−1)nbn=−b1+b2−b3+b4−…
Ondebn≥0 para todos os números inteiros positivosn.
A série (1), mostrada na Equação\ ref {eq1}, é uma série geométrica. Já que|r|=|−1/2|<1, a série converge. A série (2), mostrada na Equação\ ref {eq2}, é chamada de série harmônica alternada. Mostraremos que, enquanto a série harmônica diverge, a série harmônica alternada converge. Para provar isso, examinamos a sequência de somas parciais{Sk} (Figura 1).
Considere os termos estranhosS2k+1 parak≥0. Desde1/(2k+1)<1/2k,
S2k+1=S2k−1−12k+12k+1<S2k−1.
Portanto,{S2k+1} é uma sequência decrescente. Além disso,
S2k+1=(1−12)+(13−14)+…+(12k−1−12k)+12k+1>0.
Portanto,{S2k+1} está limitado abaixo. Uma vez que{S2k+1} é uma sequência decrescente limitada abaixo, pelo Teorema da Convergência Monótona,{S2k+1} converge. Da mesma forma, os termos pares{S2k} formam uma sequência crescente que é limitada acima porque
S2k=S2k−2+12k−1−12k>S2k−2
e
S2k=1+(−12+13)+…+(−12k−2+12k−1)−12k<1.
Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, a sequência{S2k} também converge. Desde
S2k+1=S2k+12k+1,
nós sabemos que
limk→∞S2k+1=limk→∞S2k+limk→∞12k+1.
DeixandoS=limk→∞S2k+1 e usando o fato de1/(2k+1)→0, concluirmos issolimk→∞S2k=S. Como os termos ímpares e os termos pares na sequência de somas parciais convergem para o mesmo limiteS, pode-se mostrar que a sequência de somas parciais converge para eS, portanto, a série harmônica alternada converge paraS.
Também pode ser mostrado issoS=ln2, e podemos escrever
∞∑n=1(−1)n+1n=1−12+13−14+a…=ln(2).

□
De forma mais geral, qualquer série alternada de forma (3) (Equação\ ref {eq3}) ou (4) (Equação\ ref {eq4}) converge tanto quantob1≥b2≥b3≥⋯ ebn→0 (Figura 2). A prova é semelhante à prova da série harmônica alternada.

Uma série alternada do formulário
∞∑n=1(−1)n+1bnou∞∑n=1(−1)nbn
converge se
- 0≤bn+1≤bnpara todosn≥1 e
- limn→∞bn=0.
Isso é conhecido como teste de série alternada.
Observamos que esse teorema é verdadeiro de forma mais geral, desde que exista algum número inteiroN tal que0≤bn+1≤bn para todosn≥N.
Para cada uma das séries alternadas a seguir, determine se a série converge ou diverge.
- ∞∑n=1(−1)n+1n2
- ∞∑n=1(−1)n+1nn+1
Solução
a. Desde então1(n+1)2<1n2 e1n2→0, a série convergem.
b. Já quen→∞, n/(n+1)↛0 como, não podemos aplicar o teste de séries alternadas. Em vez disso, usamos o enésimo termo teste para divergência. Já que\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{n}{n+1}=1≠0, a série diverge.
Determine se a série\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}\frac{n}{2^n} converge ou diverge.
- Dica
-
Está \left\{\frac{n}{2^n}\right\} diminuindo? O que é\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{n}{2^n}?
- Responda
-
A série converge.
Restante de uma série alternada
É difícil calcular explicitamente a soma da maioria das séries alternadas, então normalmente a soma é aproximada usando uma soma parcial. Ao fazer isso, estamos interessados na quantidade de erro em nossa aproximação. Considere uma série alternada
\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}b_n \nonumber
satisfazendo as hipóteses do teste de séries alternadas. Vamos S denotar a soma dessa série e {S_k} ser a sequência correspondente de somas parciais. Na Figura \PageIndex{2}, vemos que para qualquer número inteiro N≥1, o restante R_N satisfaz
|R_N|=|S−S_N|≤|S_{N+1}−S_N|=b_{n+1}. \nonumber
Considere uma série alternada do formulário
\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}b_n \nonumber ou\sum_{n=1}^∞(−1)^nb_n \nonumber
que satisfaz as hipóteses do teste de séries alternadas. Vamos S denotar a soma da série e S_N denotar a somaN^{\text{th}} parcial. Para qualquer número inteiro N≥1, o restante R_N=S−S_N satisfaz
|R_N|≤b_{N+1}. \nonumber
Em outras palavras, se as condições do teste de séries alternadas se aplicarem, o erro na aproximação da série infinita pela somaN^{\text{th}} parcial S_N é, no máximo, do tamanho do próximo termo b_{N+1}.
Considere a série alternada
\sum_{n=1}^∞\dfrac{(−1)^{n+1}}{n^2}. \nonumber
Use a estimativa do restante para determinar um limite no erro R_{10} se aproximarmos a soma da série pela soma parcial S_{10}.
Solução
Do teorema mencionado acima, |R_{10}|≤b_{11}=\dfrac{1}{11^2}≈0.008265. \nonumber
Encontre um limite para R_{20} ao aproximar\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(−1)^{n+1}}{n} em S_{20}.
- Dica
-
|R_{20}|≤b_{21}
- Responda
-
0.04762
Convergência absoluta e condicional
Considere uma série\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n e a série relacionada\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|. Aqui discutimos as possibilidades da relação entre a convergência dessas duas séries. Por exemplo, considere a série harmônica alternada\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n+1}}{n}. A série cujos termos são o valor absoluto desses termos é a série harmônica,\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left|\frac{(−1)^{n+1}}{n}\right|=\sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}. pois como a série harmônica alternada converge, mas a série harmônica diverge, dizemos que a série harmônica alternada exibe convergência condicional.
Em comparação, considere a série\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n+1}}{n^2}. A série cujos termos são os valores absolutos dos termos desta série é a série.\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}. Uma vez que ambas as séries convergem, dizemos que a série\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n+1}}{n^2} apresenta convergência absoluta.
Uma série\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n exibe convergência absoluta se\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n| convergir. Uma série\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n exibe convergência condicional se\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n converge, mas\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n| diverge.
Conforme mostrado pela série harmônica alternada, uma série\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n pode convergir, mas\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n| pode divergir. No teorema a seguir, no entanto, mostramos que se\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n| converge, então\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n converge.
Se\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n| converge, então\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n converge.
Suponha que isso\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n| converja. Mostramos isso usando o fato de que a_n=|a_n ou a_n=−|a_n| e, portanto, |a_n|+a_n=2|a_n| ou |a_n|+a_n=0. Portanto, 0≤|a_n|+a_n≤2|a_n|. Consequentemente, pelo teste de comparação, uma vez que 2\sum^∞_{n=1}|a_n| converge, a série
\sum_{n=1}^∞(|a_n|+a_n) \nonumber
converge. Usando as propriedades algébricas para séries convergentes, concluímos que
\sum_{n=1}^∞a_n=\sum_{n=1}^∞(|a_n|+a_n)−\sum_{n=1}^∞|a_n| \nonumber
converge.
□
Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
- \displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(−1)^{n+1}}{3n+1}
- \displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\cos(n)}{n^2}
Solução
a. Podemos ver que
\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left|\dfrac{(−1)^{n+1}}{3n+1}\right|=\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{3n+1}
diverge usando o teste de comparação de limites com a série harmônica. Na verdade,
\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{1/(3n+1)}{1/n}=\dfrac{1}{3}.
Portanto, a série não converge absolutamente. No entanto, uma vez que
\dfrac{1}{3(n+1)+1}<\dfrac{1}{3n+1}e \dfrac{1}{3n+1}→0,
a série converge. Podemos concluir que\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(−1)^{n+1}}{3n+1} converge condicionalmente.
b. Observando que, |\cos n|≤1, para determinar se a série converge absolutamente, compare
\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left|\dfrac{\cos n}{n^2}\right|
com a série\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^2}. Uma vez que\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^2} converge, pelo teste de comparação,\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left|\frac{\cos n}{n^2}\right| converge e, portanto,\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\cos n}{n^2} converge absolutamente.
Determine se a série\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}\frac{n}{2n^3+1} converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
- Dica
-
Verifique primeiro a convergência absoluta.
- Resposta
-
A série converge absolutamente.
Para ver a diferença entre convergência absoluta e condicional, veja o que acontece quando reorganizamos os termos da série harmônica alternada\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}\frac{1}{n}. Mostramos que podemos reorganizar os termos para que a nova série diverja. Certamente, se reorganizarmos os termos de uma soma finita, a soma não muda. No entanto, quando trabalhamos com uma soma infinita, coisas interessantes podem acontecer.
Comece adicionando o suficiente dos termos positivos para produzir uma soma maior do que algum número real. M=10 Por exemplo, deixe M=10, e encontre um número inteiro k tal que
1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+⋯+\dfrac{1}{2k−1}>10 \nonumber
(Podemos fazer isso porque a série\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{2n−1} diverge até o infinito.) Em seguida, subtraia 1/2. Em seguida, adicione mais termos positivos até que a soma chegue a 100. Ou seja, encontre outro número inteiro j>k tal que
(1+\dfrac{1}{3}+⋯+\dfrac{1}{2k−1}−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2k+1}+ \ldots +\dfrac{1}{2j+1}>100. \nonumber
Em seguida, subtraia 1/4. Continuando dessa maneira, encontramos uma maneira de reorganizar os termos na série harmônica alternada para que a sequência de somas parciais da série reorganizada seja ilimitada e, portanto, diverja.
Os termos da série harmônica alternada também podem ser reorganizados para que a nova série converja para um valor diferente. Em Exemplo, mostramos como reorganizar os termos para criar uma nova série para a qual converja 3\ln(2)/2. Ressaltamos que a série harmônica alternada pode ser rearranjada para criar uma série que converge para qualquer número real r; no entanto, a prova desse fato está além do escopo deste texto.
Em geral, qualquer série\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n que converja condicionalmente pode ser reorganizada para que a nova série diverja ou converja para um número real diferente. Uma série que converge absolutamente não tem essa propriedade. Para qualquer série\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n que converja absolutamente, o valor de\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n é o mesmo para qualquer reorganização dos termos. Esse resultado é conhecido como Teorema do Rearranjo de Riemann, que está além do escopo deste livro.
Use o fato de que
1−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}−\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}−⋯=\ln 2 \nonumber
para reorganizar os termos na série harmônica alternada para que a soma da série rearranjada seja 3\ln (2)/2.
Solução
Deixe
\sum_{n=1}^∞a_n=1−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}−\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}−\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}−\dfrac{1}{8}+⋯. \nonumber
Uma vez que\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n=\ln (2), pelas propriedades algébricas das séries convergentes,
\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{2}a_n=\dfrac{1}{2}−\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}−\dfrac{1}{8}+⋯=\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^∞a_n=\dfrac{\ln 2}{2}. \nonumber
Agora, apresente a série de\displaystyle \sum_{n=1}^∞b_n forma que, para todos b_{2n}=a_n/2., n≥1, b_{2n−1}=0 e então
\sum_{n=1}^∞b_n=0+\dfrac{1}{2}+0−\dfrac{1}{4}+0+\dfrac{1}{6}+0−\dfrac{1}{8}+⋯=\dfrac{\ln 2}{2}. \nonumber
Em seguida, usando as propriedades de limite algébrico de séries convergentes, uma vez que\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n e\displaystyle \sum_{n=1}^∞b_n convergem, a série\displaystyle \sum_{n=1}^∞(a_n+b_n) converge e
\sum_{n=1}^∞(a_n+b_n)=\sum_{n=1}^∞a_n+\sum_{n=1}^∞b_n=\ln 2+\dfrac{\ln 2}{2}=\dfrac{3\ln 2}{2}. \nonumber
Agora, adicionando os termos correspondentes b_n, a_n e vemos que
\sum_{n=1}^∞(a_n+b_n)=(1+0)+\left(−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{3}+0\right)+\left(−\dfrac{1}{4}−14\right)+\left(\dfrac{1}{5}+0\right)+\left(−\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\right)+\left(\dfrac{1}{7}+0\right)+\left(\dfrac{1}{8}−\dfrac{1}{8}\right)+⋯=1+\dfrac{1}{3}−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}−\dfrac{1}{4}+⋯. \nonumber
Percebemos que a série no lado direito do sinal de igual é um rearranjo da série harmônica alternada. Uma vez\displaystyle \sum_{n=1}^∞(a_n+b_n)=3\ln (2)/2, que concluímos que
1+\dfrac{1}{3}−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}−\dfrac{1}{4}+⋯=\dfrac{3\ln (2)}{2}. \nonumber
Portanto, encontramos um rearranjo da série harmônica alternada com a propriedade desejada.
Conceitos-chave
- Para uma série alternada,\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}b_n, se for b_{k+1}≤b_k para todos k e b_k→0 à medida k→∞, que a série alternada converge.
- Se\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n| converge, então\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n converge.
Equações-chave
- Séries alternadas
\displaystyle \sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}b_n=b_1−b_2+b_3−b_4+⋯ou
\displaystyle \sum_{n=1}^∞(−1)^nb_n=−b_1+b_2−b_3+b_4−⋯
Glossário
- convergência absoluta
- se a série\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n| convergir,\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n diz-se que a série converge absolutamente
- séries alternadas
- uma série da forma\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}b_n ou\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^nb_n, onde b_n≥0, é chamada de série alternada
- teste de série alternada
- para uma série alternada de qualquer forma, se b_{n+1}≤b_n para todos os inteiros n≥1 e b_n→0, então uma série alternada converge
- convergência condicional
- se a série\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n converge, mas a série\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n| diverge,\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n diz-se que a série converge condicionalmente