9.5: Séries alternadas

Objetivos de

• Use o teste de série alternada para testar a convergência de uma série alternada.
• Estime a soma de uma série alternada.
• Explique o significado da convergência absoluta e da convergência condicional.

Até agora, neste capítulo, discutimos principalmente séries com termos positivos. Nesta seção, apresentamos séries alternadas — aquelas séries cujos termos se alternam em signo. Mostraremos em um capítulo posterior que essas séries geralmente surgem quando se estuda séries de potência. Depois de definir séries alternadas, introduzimos o teste de séries alternadas para determinar se essa série converge.

O teste de série alternada

Uma série cujos termos alternam entre valores positivos e negativos é uma série alternada. Por exemplo, a série

$$\sum_{n=1}^∞ \left(−\dfrac{1}{2} \right)^n=−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}−\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}− \ldots \label{eq1}$$

e

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{(−1)^{n+1}}{n}=1−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}−\dfrac{1}{4}+\ldots \label{eq2}$$

são ambas séries alternadas.

Definição: Série alternada

Qualquer série cujos termos alternam entre valores positivos e negativos é chamada de série alternada. Uma série alternada pode ser escrita no formulário

$$\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}b_n=b_1−b_2+b_3−b_4+ \ldots \label{eq3}$$

ou

$$\sum_{n−1}^∞(−1)^nb_n=−b_1+b_2−b_3+b_4−\ldots \label{eq4}$$

Onde$b_n≥0$ para todos os números inteiros positivos$n$.

A série (1), mostrada na Equação\ ref {eq1}, é uma série geométrica. Já que$|r|=|−1/2|<1,$ a série converge. A série (2), mostrada na Equação\ ref {eq2}, é chamada de série harmônica alternada. Mostraremos que, enquanto a série harmônica diverge, a série harmônica alternada converge. Para provar isso, examinamos a sequência de somas parciais$\{S_k\}$ (Figura 1).

Prova

Considere os termos estranhos$S_{2k+1}$ para$k≥0$. Desde$1/(2k+1)<1/2k,$

$$S_{2k+1}=S_{2k−1}−\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{2k+1}<S_{2k−1}. \nonumber$$

Portanto,$\{S_{2k+1}\}$ é uma sequência decrescente. Além disso,

$$S_{2k+1}=\left(1−\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{3}−\dfrac{1}{4}\right)+ \ldots + \left(\dfrac{1}{2k−1}−\dfrac{1}{2k}\right)+\dfrac{1}{2k+1}>0. \nonumber$$

Portanto,$\{S_{2k+1}\}$ está limitado abaixo. Uma vez que$\{S_{2k+1}\}$ é uma sequência decrescente limitada abaixo, pelo Teorema da Convergência Monótona,$\{S_{2k+1}\}$ converge. Da mesma forma, os termos pares$\{S_{2k}\}$ formam uma sequência crescente que é limitada acima porque

$$S_{2k}=S_{2k−2}+\dfrac{1}{2k−1}−\dfrac{1}{2k}>S_{2k−2} \nonumber$$

e

$$S_{2k}=1+ \left(−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right)+\ldots + \left(−\dfrac{1}{2k−2}+\dfrac{1}{2k−1}\right)−\dfrac{1}{2k}<1. \nonumber$$

Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, a sequência$\{S_{2k}\}$ também converge. Desde

$$S_{2k+1}=S_{2k}+\dfrac{1}{2k+1}, \nonumber$$

nós sabemos que

$$\lim_{k→∞}S_{2k+1}=\lim_{k→∞}S_{2k}+\lim_{k→∞}\dfrac{1}{2k+1}. \nonumber$$

Deixando$\displaystyle S=\lim_{k→∞}S_{2k+1}$ e usando o fato de$1/(2k+1)→0,$ concluirmos isso$\displaystyle \lim_{k→∞}S_{2k}=S$. Como os termos ímpares e os termos pares na sequência de somas parciais convergem para o mesmo limite$S$, pode-se mostrar que a sequência de somas parciais converge para e$S$, portanto, a série harmônica alternada converge para$S$.

Também pode ser mostrado isso$S=\ln 2,$ e podemos escrever

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{(−1)^{n+1}}{n}=1−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}−\dfrac{1}{4}+a\ldots=\ln (2). \nonumber$$

Figura$\PageIndex{1}$: Para a série harmônica alternada, os termos ímpares$S_{2k+1}$ na sequência de somas parciais estão diminuindo e limitados abaixo. Os termos pares$S_{2k}$ estão aumentando e limitados acima.

□

De forma mais geral, qualquer série alternada de forma (3) (Equação\ ref {eq3}) ou (4) (Equação\ ref {eq4}) converge tanto quanto$b_1≥b_2≥b_3≥⋯$ e$b_n→0$ (Figura 2). A prova é semelhante à prova da série harmônica alternada.

Figura$\PageIndex{2}$: Para uma série alternada$b_1−b_2+b_3−⋯$ na qual$b_1>b_2>b_3>⋯$, os termos ímpares$S_{2k+1}$ na sequência de somas parciais estão diminuindo e limitados abaixo. Os termos pares$S_{2k}$ estão aumentando e limitados acima.

Teste de série alternada

Uma série alternada do formulário

$$\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}b_n \nonumber$$ ou $$\sum_{n=1}^∞(−1)^nb_n \nonumber$$

converge se

1. $0≤b_{n+1}≤b_n$para todos$n≥1$ e
2. $\displaystyle \lim_{n→∞}b_n=0.$

Isso é conhecido como teste de série alternada.

Observamos que esse teorema é verdadeiro de forma mais geral, desde que exista algum número inteiro$N$ tal que$0≤b_{n+1}≤b_n$ para todos$n≥N.$

Exemplo$\PageIndex{1}$: Convergence of Alternating Series

Para cada uma das séries alternadas a seguir, determine se a série converge ou diverge.

1. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(−1)^{n+1}}{n^2}$
2. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}\frac{n}{n+1}$

Solução

a. Desde então$\dfrac{1}{(n+1)^2}<\dfrac{1}{n^2}$ e$\dfrac{1}{n^2}→0,$ a série convergem.

b. Já que$n→∞$,$n/(n+1)↛0$ como, não podemos aplicar o teste de séries alternadas. Em vez disso, usamos o enésimo termo teste para divergência. Já que$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{n}{n+1}=1≠0,$ a série diverge.

Exercício$\PageIndex{1}$

Determine se a série$\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}\frac{n}{2^n}$ converge ou diverge.

Dica

Está$\left\{\frac{n}{2^n}\right\}$ diminuindo? O que é$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{n}{2^n}$?

Responda

A série converge.

Restante de uma série alternada

É difícil calcular explicitamente a soma da maioria das séries alternadas, então normalmente a soma é aproximada usando uma soma parcial. Ao fazer isso, estamos interessados na quantidade de erro em nossa aproximação. Considere uma série alternada

$$\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}b_n \nonumber$$

satisfazendo as hipóteses do teste de séries alternadas. Vamos$S$ denotar a soma dessa série e${S_k}$ ser a sequência correspondente de somas parciais. Na Figura$\PageIndex{2}$, vemos que para qualquer número inteiro$N≥1$, o restante$R_N$ satisfaz

$$|R_N|=|S−S_N|≤|S_{N+1}−S_N|=b_{n+1}. \nonumber$$

Restos em séries alternadas

Considere uma série alternada do formulário

$$\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}b_n \nonumber$$ ou $$\sum_{n=1}^∞(−1)^nb_n \nonumber$$

que satisfaz as hipóteses do teste de séries alternadas. Vamos$S$ denotar a soma da série e$S_N$ denotar a soma$N^{\text{th}}$ parcial. Para qualquer número inteiro$N≥1$, o restante$R_N=S−S_N$ satisfaz

$$|R_N|≤b_{N+1}. \nonumber$$

Em outras palavras, se as condições do teste de séries alternadas se aplicarem, o erro na aproximação da série infinita pela soma$N^{\text{th}}$ parcial$S_N$ é, no máximo, do tamanho do próximo termo$b_{N+1}$.

Exemplo$\PageIndex{2}$: Estimating the Remainder of an Alternating Series

Considere a série alternada

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{(−1)^{n+1}}{n^2}. \nonumber$$

Use a estimativa do restante para determinar um limite no erro$R_{10}$ se aproximarmos a soma da série pela soma parcial$S_{10}$.

Solução

Do teorema mencionado acima, $$|R_{10}|≤b_{11}=\dfrac{1}{11^2}≈0.008265. \nonumber$$

Exercício$\PageIndex{2}$

Encontre um limite para$R_{20}$ ao aproximar$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(−1)^{n+1}}{n}$ em$S_{20}$.

Dica

$|R_{20}|≤b_{21}$

Responda

$0.04762$

Convergência absoluta e condicional

Considere uma série$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$ e a série relacionada$\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|$. Aqui discutimos as possibilidades da relação entre a convergência dessas duas séries. Por exemplo, considere a série harmônica alternada$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n+1}}{n}$. A série cujos termos são o valor absoluto desses termos é a série harmônica,$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left|\frac{(−1)^{n+1}}{n}\right|=\sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}.$ pois como a série harmônica alternada converge, mas a série harmônica diverge, dizemos que a série harmônica alternada exibe convergência condicional.

Em comparação, considere a série$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n+1}}{n^2}.$ A série cujos termos são os valores absolutos dos termos desta série é a série.$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}.$ Uma vez que ambas as séries convergem, dizemos que a série$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n+1}}{n^2}$ apresenta convergência absoluta.

Definição: Convergência absoluta

Uma série$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ exibe convergência absoluta se$\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n|$ convergir. Uma série$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ exibe convergência condicional se$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ converge, mas$\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n|$ diverge.

Conforme mostrado pela série harmônica alternada, uma série$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ pode convergir, mas$\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n|$ pode divergir. No teorema a seguir, no entanto, mostramos que se$\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n|$ converge, então$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ converge.

Convergência absoluta implica convergência

Se$\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n|$ converge, então$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ converge.

Prova

Suponha que isso$\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|$ converja. Mostramos isso usando o fato de que$a_n=|a_n$ ou$a_n=−|a_n|$ e, portanto,$|a_n|+a_n=2|a_n|$ ou$|a_n|+a_n=0$. Portanto,$0≤|a_n|+a_n≤2|a_n|$. Consequentemente, pelo teste de comparação, uma vez que$2\sum^∞_{n=1}|a_n|$ converge, a série

$$\sum_{n=1}^∞(|a_n|+a_n) \nonumber$$

converge. Usando as propriedades algébricas para séries convergentes, concluímos que

$$\sum_{n=1}^∞a_n=\sum_{n=1}^∞(|a_n|+a_n)−\sum_{n=1}^∞|a_n| \nonumber$$

converge.

□

Exemplo$\PageIndex{3}$: Absolute versus Conditional Convergence

Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.

1. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(−1)^{n+1}}{3n+1}$
2. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\cos(n)}{n^2}$

Solução

a. Podemos ver que

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left|\dfrac{(−1)^{n+1}}{3n+1}\right|=\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{3n+1}$

diverge usando o teste de comparação de limites com a série harmônica. Na verdade,

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{1/(3n+1)}{1/n}=\dfrac{1}{3}$.

Portanto, a série não converge absolutamente. No entanto, uma vez que

$\dfrac{1}{3(n+1)+1}<\dfrac{1}{3n+1}$e$\dfrac{1}{3n+1}→0$,

a série converge. Podemos concluir que$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(−1)^{n+1}}{3n+1}$ converge condicionalmente.

b. Observando que,$|\cos n|≤1,$ para determinar se a série converge absolutamente, compare

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left|\dfrac{\cos n}{n^2}\right|$

com a série$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^2}$. Uma vez que$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^2}$ converge, pelo teste de comparação,$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left|\frac{\cos n}{n^2}\right|$ converge e, portanto,$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\cos n}{n^2}$ converge absolutamente.

Exercício$\PageIndex{3}$

Determine se a série$\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}\frac{n}{2n^3+1}$ converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.

Dica

Verifique primeiro a convergência absoluta.

Resposta

A série converge absolutamente.

Para ver a diferença entre convergência absoluta e condicional, veja o que acontece quando reorganizamos os termos da série harmônica alternada$\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}\frac{1}{n}$. Mostramos que podemos reorganizar os termos para que a nova série diverja. Certamente, se reorganizarmos os termos de uma soma finita, a soma não muda. No entanto, quando trabalhamos com uma soma infinita, coisas interessantes podem acontecer.

Comece adicionando o suficiente dos termos positivos para produzir uma soma maior do que algum número real.$M=10$ Por exemplo, deixe$M=10,$ e encontre um número inteiro$k$ tal que

$$1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+⋯+\dfrac{1}{2k−1}>10 \nonumber$$

(Podemos fazer isso porque a série$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{2n−1}$ diverge até o infinito.) Em seguida, subtraia$1/2$. Em seguida, adicione mais termos positivos até que a soma chegue a 100. Ou seja, encontre outro número inteiro$j>k$ tal que

$$(1+\dfrac{1}{3}+⋯+\dfrac{1}{2k−1}−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2k+1}+ \ldots +\dfrac{1}{2j+1}>100. \nonumber$$

Em seguida, subtraia$1/4.$ Continuando dessa maneira, encontramos uma maneira de reorganizar os termos na série harmônica alternada para que a sequência de somas parciais da série reorganizada seja ilimitada e, portanto, diverja.

Os termos da série harmônica alternada também podem ser reorganizados para que a nova série converja para um valor diferente. Em Exemplo, mostramos como reorganizar os termos para criar uma nova série para a qual converja$3\ln(2)/2$. Ressaltamos que a série harmônica alternada pode ser rearranjada para criar uma série que converge para qualquer número real$r$; no entanto, a prova desse fato está além do escopo deste texto.

Em geral, qualquer série$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ que converja condicionalmente pode ser reorganizada para que a nova série diverja ou converja para um número real diferente. Uma série que converge absolutamente não tem essa propriedade. Para qualquer série$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ que converja absolutamente, o valor de$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ é o mesmo para qualquer reorganização dos termos. Esse resultado é conhecido como Teorema do Rearranjo de Riemann, que está além do escopo deste livro.

Exemplo$\PageIndex{4}$: Rearranging Series

Use o fato de que

$$1−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}−\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}−⋯=\ln 2 \nonumber$$

para reorganizar os termos na série harmônica alternada para que a soma da série rearranjada seja$3\ln (2)/2.$

Solução

Deixe

$$\sum_{n=1}^∞a_n=1−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}−\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}−\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}−\dfrac{1}{8}+⋯. \nonumber$$

Uma vez que$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n=\ln (2)$, pelas propriedades algébricas das séries convergentes,

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{2}a_n=\dfrac{1}{2}−\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}−\dfrac{1}{8}+⋯=\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^∞a_n=\dfrac{\ln 2}{2}. \nonumber$$

Agora, apresente a série de$\displaystyle \sum_{n=1}^∞b_n$ forma que, para todos$b_{2n}=a_n/2.$,$n≥1, b_{2n−1}=0$ e então

$$\sum_{n=1}^∞b_n=0+\dfrac{1}{2}+0−\dfrac{1}{4}+0+\dfrac{1}{6}+0−\dfrac{1}{8}+⋯=\dfrac{\ln 2}{2}. \nonumber$$

Em seguida, usando as propriedades de limite algébrico de séries convergentes, uma vez que$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$ e$\displaystyle \sum_{n=1}^∞b_n$ convergem, a série$\displaystyle \sum_{n=1}^∞(a_n+b_n)$ converge e

$$\sum_{n=1}^∞(a_n+b_n)=\sum_{n=1}^∞a_n+\sum_{n=1}^∞b_n=\ln 2+\dfrac{\ln 2}{2}=\dfrac{3\ln 2}{2}. \nonumber$$

Agora, adicionando os termos correspondentes$b_n$,$a_n$ e vemos que

$$\sum_{n=1}^∞(a_n+b_n)=(1+0)+\left(−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{3}+0\right)+\left(−\dfrac{1}{4}−14\right)+\left(\dfrac{1}{5}+0\right)+\left(−\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\right)+\left(\dfrac{1}{7}+0\right)+\left(\dfrac{1}{8}−\dfrac{1}{8}\right)+⋯=1+\dfrac{1}{3}−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}−\dfrac{1}{4}+⋯. \nonumber$$

Percebemos que a série no lado direito do sinal de igual é um rearranjo da série harmônica alternada. Uma vez$\displaystyle \sum_{n=1}^∞(a_n+b_n)=3\ln (2)/2,$ que concluímos que

$$1+\dfrac{1}{3}−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}−\dfrac{1}{4}+⋯=\dfrac{3\ln (2)}{2}. \nonumber$$

Portanto, encontramos um rearranjo da série harmônica alternada com a propriedade desejada.

Conceitos-chave

• Para uma série alternada,$\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}b_n,$ se for$b_{k+1}≤b_k$ para todos$k$ e$b_k→0$ à medida$k→∞,$ que a série alternada converge.
• Se$\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n|$ converge, então$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ converge.

Equações-chave

• Séries alternadas

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}b_n=b_1−b_2+b_3−b_4+⋯$ou

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞(−1)^nb_n=−b_1+b_2−b_3+b_4−⋯$

Glossário

convergência absoluta

se a série$\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n|$ convergir,$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ diz-se que a série converge absolutamente

séries alternadas

uma série da forma$\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}b_n$ ou$\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^nb_n$, onde$b_n≥0$, é chamada de série alternada

teste de série alternada

para uma série alternada de qualquer forma, se$b_{n+1}≤b_n$ para todos os inteiros$n≥1$ e$b_n→0$, então uma série alternada converge

convergência condicional

se a série$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ converge, mas a série$\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n|$ diverge,$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ diz-se que a série converge condicionalmente