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9.5: Séries alternadas

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Objetivos de
  • Use o teste de série alternada para testar a convergência de uma série alternada.
  • Estime a soma de uma série alternada.
  • Explique o significado da convergência absoluta e da convergência condicional.

Até agora, neste capítulo, discutimos principalmente séries com termos positivos. Nesta seção, apresentamos séries alternadas — aquelas séries cujos termos se alternam em signo. Mostraremos em um capítulo posterior que essas séries geralmente surgem quando se estuda séries de potência. Depois de definir séries alternadas, introduzimos o teste de séries alternadas para determinar se essa série converge.

O teste de série alternada

Uma série cujos termos alternam entre valores positivos e negativos é uma série alternada. Por exemplo, a série

n=1(12)n=12+1418+116

e

n=1(1)n+1n=112+1314+

são ambas séries alternadas.

Definição: Série alternada

Qualquer série cujos termos alternam entre valores positivos e negativos é chamada de série alternada. Uma série alternada pode ser escrita no formulário

n=1(1)n+1bn=b1b2+b3b4+

ou

n1(1)nbn=b1+b2b3+b4

Ondebn0 para todos os números inteiros positivosn.

A série (1), mostrada na Equação\ ref {eq1}, é uma série geométrica. Já que|r|=|1/2|<1, a série converge. A série (2), mostrada na Equação\ ref {eq2}, é chamada de série harmônica alternada. Mostraremos que, enquanto a série harmônica diverge, a série harmônica alternada converge. Para provar isso, examinamos a sequência de somas parciais{Sk} (Figura 1).

Prova

Considere os termos estranhosS2k+1 parak0. Desde1/(2k+1)<1/2k,

S2k+1=S2k112k+12k+1<S2k1.

Portanto,{S2k+1} é uma sequência decrescente. Além disso,

S2k+1=(112)+(1314)++(12k112k)+12k+1>0.

Portanto,{S2k+1} está limitado abaixo. Uma vez que{S2k+1} é uma sequência decrescente limitada abaixo, pelo Teorema da Convergência Monótona,{S2k+1} converge. Da mesma forma, os termos pares{S2k} formam uma sequência crescente que é limitada acima porque

S2k=S2k2+12k112k>S2k2

e

S2k=1+(12+13)++(12k2+12k1)12k<1.

Portanto, pelo Teorema da Convergência Monótona, a sequência{S2k} também converge. Desde

S2k+1=S2k+12k+1,

nós sabemos que

limkS2k+1=limkS2k+limk12k+1.

DeixandoS=limkS2k+1 e usando o fato de1/(2k+1)0, concluirmos issolimkS2k=S. Como os termos ímpares e os termos pares na sequência de somas parciais convergem para o mesmo limiteS, pode-se mostrar que a sequência de somas parciais converge para eS, portanto, a série harmônica alternada converge paraS.

Também pode ser mostrado issoS=ln2, e podemos escrever

n=1(1)n+1n=112+1314+a=ln(2).

Este gráfico demonstra a série hamânica alternada no primeiro quadrante. A linha mais alta 1 é desenhada para S1, a próxima linha -1/2 é desenhada para S2, a próxima linha +1/3 é desenhada para S3, a linha -1/4 é desenhada para S4 e a última linha +1/5 é desenhada para S5. Os termos ímpares estão diminuindo e limitados abaixo, e os termos pares estão aumentando e limitados acima. Parece estar convergindo para S, que está no meio de S2, S4 e S5, S3, S1.
Figura9.5.1: Para a série harmônica alternada, os termos ímparesS2k+1 na sequência de somas parciais estão diminuindo e limitados abaixo. Os termos paresS2k estão aumentando e limitados acima.

De forma mais geral, qualquer série alternada de forma (3) (Equação\ ref {eq3}) ou (4) (Equação\ ref {eq4}) converge tanto quantob1b2b3 ebn0 (Figura 2). A prova é semelhante à prova da série harmônica alternada.

Este diagrama ilustra uma série alternada no quadrante 1. A linha mais alta b1 é traçada para S1, a próxima linha —b2 é puxada de volta para S2, a próxima linha b3 é desenhada para S3, a próxima linha —b4 é puxada de volta para S4 e a última linha é desenhada para S5. Parece estar convergindo para S, que está entre S2, S4 e S5, S3 e S1. Os termos ímpares estão diminuindo e limitados abaixo. Os termos pares estão aumentando e limitados acima.
Figura9.5.2: Para uma série alternadab1b2+b3 na qualb1>b2>b3>, os termos ímparesS2k+1 na sequência de somas parciais estão diminuindo e limitados abaixo. Os termos paresS2k estão aumentando e limitados acima.
Teste de série alternada

Uma série alternada do formulário

n=1(1)n+1bnoun=1(1)nbn

converge se

  1. 0bn+1bnpara todosn1 e
  2. limnbn=0.

Isso é conhecido como teste de série alternada.

Observamos que esse teorema é verdadeiro de forma mais geral, desde que exista algum número inteiroN tal que0bn+1bn para todosnN.

Exemplo9.5.1: Convergence of Alternating Series

Para cada uma das séries alternadas a seguir, determine se a série converge ou diverge.

  1. n=1(1)n+1n2
  2. n=1(1)n+1nn+1

Solução

a. Desde então1(n+1)2<1n2 e1n20, a série convergem.

b. Já quen, n/(n+1)↛0 como, não podemos aplicar o teste de séries alternadas. Em vez disso, usamos o enésimo termo teste para divergência. Já que\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{n}{n+1}=1≠0, a série diverge.

Exercício\PageIndex{1}

Determine se a série\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}\frac{n}{2^n} converge ou diverge.

Dica

Está \left\{\frac{n}{2^n}\right\} diminuindo? O que é\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{n}{2^n}?

Responda

A série converge.

Restante de uma série alternada

É difícil calcular explicitamente a soma da maioria das séries alternadas, então normalmente a soma é aproximada usando uma soma parcial. Ao fazer isso, estamos interessados na quantidade de erro em nossa aproximação. Considere uma série alternada

\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}b_n \nonumber

satisfazendo as hipóteses do teste de séries alternadas. Vamos S denotar a soma dessa série e {S_k} ser a sequência correspondente de somas parciais. Na Figura \PageIndex{2}, vemos que para qualquer número inteiro N≥1, o restante R_N satisfaz

|R_N|=|S−S_N|≤|S_{N+1}−S_N|=b_{n+1}. \nonumber

Restos em séries alternadas

Considere uma série alternada do formulário

\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}b_n \nonumber ou\sum_{n=1}^∞(−1)^nb_n \nonumber

que satisfaz as hipóteses do teste de séries alternadas. Vamos S denotar a soma da série e S_N denotar a somaN^{\text{th}} parcial. Para qualquer número inteiro N≥1, o restante R_N=S−S_N satisfaz

|R_N|≤b_{N+1}. \nonumber

Em outras palavras, se as condições do teste de séries alternadas se aplicarem, o erro na aproximação da série infinita pela somaN^{\text{th}} parcial S_N é, no máximo, do tamanho do próximo termo b_{N+1}.

Exemplo \PageIndex{2}: Estimating the Remainder of an Alternating Series

Considere a série alternada

\sum_{n=1}^∞\dfrac{(−1)^{n+1}}{n^2}. \nonumber

Use a estimativa do restante para determinar um limite no erro R_{10} se aproximarmos a soma da série pela soma parcial S_{10}.

Solução

Do teorema mencionado acima, |R_{10}|≤b_{11}=\dfrac{1}{11^2}≈0.008265. \nonumber

Exercício\PageIndex{2}

Encontre um limite para R_{20} ao aproximar\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(−1)^{n+1}}{n} em S_{20}.

Dica

|R_{20}|≤b_{21}

Responda

0.04762

Convergência absoluta e condicional

Considere uma série\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n e a série relacionada\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|. Aqui discutimos as possibilidades da relação entre a convergência dessas duas séries. Por exemplo, considere a série harmônica alternada\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n+1}}{n}. A série cujos termos são o valor absoluto desses termos é a série harmônica,\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left|\frac{(−1)^{n+1}}{n}\right|=\sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}. pois como a série harmônica alternada converge, mas a série harmônica diverge, dizemos que a série harmônica alternada exibe convergência condicional.

Em comparação, considere a série\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n+1}}{n^2}. A série cujos termos são os valores absolutos dos termos desta série é a série.\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}. Uma vez que ambas as séries convergem, dizemos que a série\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n+1}}{n^2} apresenta convergência absoluta.

Definição: Convergência absoluta

Uma série\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n exibe convergência absoluta se\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n| convergir. Uma série\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n exibe convergência condicional se\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n converge, mas\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n| diverge.

Conforme mostrado pela série harmônica alternada, uma série\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n pode convergir, mas\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n| pode divergir. No teorema a seguir, no entanto, mostramos que se\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n| converge, então\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n converge.

Convergência absoluta implica convergência

Se\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n| converge, então\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n converge.

Prova

Suponha que isso\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n| converja. Mostramos isso usando o fato de que a_n=|a_n ou a_n=−|a_n| e, portanto, |a_n|+a_n=2|a_n| ou |a_n|+a_n=0. Portanto, 0≤|a_n|+a_n≤2|a_n|. Consequentemente, pelo teste de comparação, uma vez que 2\sum^∞_{n=1}|a_n| converge, a série

\sum_{n=1}^∞(|a_n|+a_n) \nonumber

converge. Usando as propriedades algébricas para séries convergentes, concluímos que

\sum_{n=1}^∞a_n=\sum_{n=1}^∞(|a_n|+a_n)−\sum_{n=1}^∞|a_n| \nonumber

converge.

Exemplo \PageIndex{3}: Absolute versus Conditional Convergence

Para cada uma das séries a seguir, determine se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.

  1. \displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(−1)^{n+1}}{3n+1}
  2. \displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\cos(n)}{n^2}

Solução

a. Podemos ver que

\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left|\dfrac{(−1)^{n+1}}{3n+1}\right|=\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{3n+1}

diverge usando o teste de comparação de limites com a série harmônica. Na verdade,

\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{1/(3n+1)}{1/n}=\dfrac{1}{3}.

Portanto, a série não converge absolutamente. No entanto, uma vez que

\dfrac{1}{3(n+1)+1}<\dfrac{1}{3n+1}e \dfrac{1}{3n+1}→0,

a série converge. Podemos concluir que\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(−1)^{n+1}}{3n+1} converge condicionalmente.

b. Observando que, |\cos n|≤1, para determinar se a série converge absolutamente, compare

\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left|\dfrac{\cos n}{n^2}\right|

com a série\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^2}. Uma vez que\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^2} converge, pelo teste de comparação,\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left|\frac{\cos n}{n^2}\right| converge e, portanto,\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\cos n}{n^2} converge absolutamente.

Exercício\PageIndex{3}

Determine se a série\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}\frac{n}{2n^3+1} converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.

Dica

Verifique primeiro a convergência absoluta.

Resposta

A série converge absolutamente.

Para ver a diferença entre convergência absoluta e condicional, veja o que acontece quando reorganizamos os termos da série harmônica alternada\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}\frac{1}{n}. Mostramos que podemos reorganizar os termos para que a nova série diverja. Certamente, se reorganizarmos os termos de uma soma finita, a soma não muda. No entanto, quando trabalhamos com uma soma infinita, coisas interessantes podem acontecer.

Comece adicionando o suficiente dos termos positivos para produzir uma soma maior do que algum número real. M=10 Por exemplo, deixe M=10, e encontre um número inteiro k tal que

1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+⋯+\dfrac{1}{2k−1}>10 \nonumber

(Podemos fazer isso porque a série\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{2n−1} diverge até o infinito.) Em seguida, subtraia 1/2. Em seguida, adicione mais termos positivos até que a soma chegue a 100. Ou seja, encontre outro número inteiro j>k tal que

(1+\dfrac{1}{3}+⋯+\dfrac{1}{2k−1}−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2k+1}+ \ldots +\dfrac{1}{2j+1}>100. \nonumber

Em seguida, subtraia 1/4. Continuando dessa maneira, encontramos uma maneira de reorganizar os termos na série harmônica alternada para que a sequência de somas parciais da série reorganizada seja ilimitada e, portanto, diverja.

Os termos da série harmônica alternada também podem ser reorganizados para que a nova série converja para um valor diferente. Em Exemplo, mostramos como reorganizar os termos para criar uma nova série para a qual converja 3\ln(2)/2. Ressaltamos que a série harmônica alternada pode ser rearranjada para criar uma série que converge para qualquer número real r; no entanto, a prova desse fato está além do escopo deste texto.

Em geral, qualquer série\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n que converja condicionalmente pode ser reorganizada para que a nova série diverja ou converja para um número real diferente. Uma série que converge absolutamente não tem essa propriedade. Para qualquer série\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n que converja absolutamente, o valor de\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n é o mesmo para qualquer reorganização dos termos. Esse resultado é conhecido como Teorema do Rearranjo de Riemann, que está além do escopo deste livro.

Exemplo \PageIndex{4}: Rearranging Series

Use o fato de que

1−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}−\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}−⋯=\ln 2 \nonumber

para reorganizar os termos na série harmônica alternada para que a soma da série rearranjada seja 3\ln (2)/2.

Solução

Deixe

\sum_{n=1}^∞a_n=1−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}−\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}−\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}−\dfrac{1}{8}+⋯. \nonumber

Uma vez que\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n=\ln (2), pelas propriedades algébricas das séries convergentes,

\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{2}a_n=\dfrac{1}{2}−\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}−\dfrac{1}{8}+⋯=\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^∞a_n=\dfrac{\ln 2}{2}. \nonumber

Agora, apresente a série de\displaystyle \sum_{n=1}^∞b_n forma que, para todos b_{2n}=a_n/2., n≥1, b_{2n−1}=0 e então

\sum_{n=1}^∞b_n=0+\dfrac{1}{2}+0−\dfrac{1}{4}+0+\dfrac{1}{6}+0−\dfrac{1}{8}+⋯=\dfrac{\ln 2}{2}. \nonumber

Em seguida, usando as propriedades de limite algébrico de séries convergentes, uma vez que\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n e\displaystyle \sum_{n=1}^∞b_n convergem, a série\displaystyle \sum_{n=1}^∞(a_n+b_n) converge e

\sum_{n=1}^∞(a_n+b_n)=\sum_{n=1}^∞a_n+\sum_{n=1}^∞b_n=\ln 2+\dfrac{\ln 2}{2}=\dfrac{3\ln 2}{2}. \nonumber

Agora, adicionando os termos correspondentes b_n, a_n e vemos que

\sum_{n=1}^∞(a_n+b_n)=(1+0)+\left(−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{3}+0\right)+\left(−\dfrac{1}{4}−14\right)+\left(\dfrac{1}{5}+0\right)+\left(−\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\right)+\left(\dfrac{1}{7}+0\right)+\left(\dfrac{1}{8}−\dfrac{1}{8}\right)+⋯=1+\dfrac{1}{3}−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}−\dfrac{1}{4}+⋯. \nonumber

Percebemos que a série no lado direito do sinal de igual é um rearranjo da série harmônica alternada. Uma vez\displaystyle \sum_{n=1}^∞(a_n+b_n)=3\ln (2)/2, que concluímos que

1+\dfrac{1}{3}−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}−\dfrac{1}{4}+⋯=\dfrac{3\ln (2)}{2}. \nonumber

Portanto, encontramos um rearranjo da série harmônica alternada com a propriedade desejada.

Conceitos-chave

  • Para uma série alternada,\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}b_n, se for b_{k+1}≤b_k para todos k e b_k→0 à medida k→∞, que a série alternada converge.
  • Se\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n| converge, então\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n converge.

Equações-chave

  • Séries alternadas

\displaystyle \sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}b_n=b_1−b_2+b_3−b_4+⋯ou

\displaystyle \sum_{n=1}^∞(−1)^nb_n=−b_1+b_2−b_3+b_4−⋯

Glossário

convergência absoluta
se a série\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n| convergir,\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n diz-se que a série converge absolutamente
séries alternadas
uma série da forma\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}b_n ou\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^nb_n, onde b_n≥0, é chamada de série alternada
teste de série alternada
para uma série alternada de qualquer forma, se b_{n+1}≤b_n para todos os inteiros n≥1 e b_n→0, então uma série alternada converge
convergência condicional
se a série\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n converge, mas a série\displaystyle \sum^∞_{n=1}|a_n| diverge,\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n diz-se que a série converge condicionalmente