9.6: Testes de proporção e raiz
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- Use o teste de proporção para determinar a convergência absoluta de uma série.
- Use o teste raiz para determinar a convergência absoluta de uma série.
- Descreva uma estratégia para testar a convergência de uma determinada série.
Nesta seção, provamos os dois últimos testes de convergência da série: o teste de proporção e o teste raiz. Esses testes são particularmente bons porque não exigem que encontremos uma série comparável. O teste de proporção será especialmente útil na discussão das séries de potências no próximo capítulo. Ao longo deste capítulo, vimos que nenhum teste de convergência único funciona para todas as séries. Portanto, no final desta seção, discutimos uma estratégia para escolher qual teste de convergência usar para uma determinada série.
Teste de proporção
Considere uma série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\). De nossas discussões e exemplos anteriores, sabemos que essa não\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0\) é uma condição suficiente para a série convergir. Não só precisamos\( a_n→0\), mas precisamos de\( a_n→0\) rapidez suficiente. Por exemplo, considere a série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}\) e a série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}\). Nós sabemos disso\( \frac{1}{n}→0\)\( \frac{1}{n^2}→0\) e. No entanto, apenas a série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞ \frac{1}{n^2}\) converge. A série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}\) diverge porque os termos na sequência\( \left\{\frac{1}{n}\right\}\) não se aproximam de zero com rapidez suficiente\( n→∞\). Aqui, apresentamos o teste de proporção, que fornece uma maneira de medir a rapidez com que os termos de uma série se aproximam de zero.
\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\)Seja uma série com termos diferentes de zero. Deixe
\[ρ=\lim_{n→∞} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|. \nonumber \]
- Se\( 0≤ρ<1,\) então\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge absolutamente.
- Se\( ρ>1\) ou\( ρ=∞\), então\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) diverge.
- Se\( ρ=1,\) o teste não fornecer nenhuma informação.
\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\)Seja uma série com termos diferentes de zero.
Começamos com a prova da parte i. Neste caso,\( ρ=\lim_{n→∞}∣\frac{a_{n+1}}{a_n}∣<1.\) desde então\( 0≤ρ<1\), existe\( R\) tal coisa\( 0≤ρ<R<1\). Deixe\( ε=R−ρ>0\). Pela definição do limite de uma sequência, existe algum número inteiro\( N\) tal que
\[\left|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|−ρ\right|<ε,\;\text{for all}\; n≥N. \nonumber \]
Portanto,
\[\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<ρ+ε=R, \;\text{for all}\; n≥N \nonumber \]
e, portanto,
\( |a_{N+1}|<R|a_N|\)
\( ∣a_{N+2}∣<R∣a_{N+1}∣<R^2∣a_N∣\)
\( ∣a_{N+3}∣<R∣a_{N+2}∣<R^2∣a_{N+1}∣<R^3∣a_N∣\)
\( ∣a_{N+4}∣<R∣a_{N+3}∣<R^2∣a_{N+2}∣<R^3∣a_{N+1}∣<R^4∣a_N∣\)
\( ⋮.\)
Desde\( R<1,\) a série geométrica
\[R∣a_N∣+R^2∣a_N∣+R^3∣a_N∣+⋯ \nonumber \]
converge. Dadas as desigualdades acima, podemos aplicar o teste de comparação e concluir que a série
\[|a_{N+1}|+|a_{N+2}|+|a_{N+3}|+|a_{N+4}|+⋯ \nonumber \]
converge. Portanto, uma vez que
\[\sum_{n=1}^∞|a_n|=\sum_{n=1}^N|a_n|+\sum_{n=N+1}^∞|a_n| \nonumber \]
onde\(\displaystyle \sum_{n=1}^N|a_n|\) é uma soma finita e\(\displaystyle \sum_{n=N+1}^∞|a_n|\) converge, concluímos que\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|\) converge.
Para a parte ii.
\[ρ=\lim_{n→∞}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1. \nonumber \]
Uma vez que\( ρ>1,\) existe\( R\) tal coisa\( ρ>R>1\). Deixe\( ε=ρ−R>0\). Pela definição do limite de uma sequência, existe um número inteiro\( N\) tal que
\[\left|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|−ρ\right|<ε, \;\text{for all}\; n≥N. \nonumber \]
Portanto,
\[R=ρ−ε<\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|, \;\text{for all}\; n≥N, \nonumber \]
e, portanto,
\( |a_{N+1}|>R|a_N|\)
\( ∣a_{N+2}∣>R∣a_{N+1}∣>R^2∣a_N∣\)
\( ∣a_{N+3}∣>R∣a_{N+2}∣>R^2∣a_{N+1}∣>R^3∣a_N∣\)
\( ∣a_{N+4}∣>R∣a_{N+3}∣>R^2∣a_{N+2}∣>R^3∣a_{N+1}∣>R^4∣a_N∣.\)
Desde\( R>1,\) a série geométrica
\[R∣a_N∣+R^2∣a_N∣+R^3∣a_N∣+⋯ \nonumber \]
diverge. Aplicando o teste de comparação, concluímos que a série
\[|a_{N+1}|+|a_{N+2}|+|a_{N+3}|+⋯ \nonumber \]
diverge e, portanto, a série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|\) diverge.
Para a parte iii. mostramos que o teste não fornece nenhuma informação se\( ρ=1\) considerarmos\( p−series\)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p}\) o. Para qualquer número real\( p\),
\[ρ=\lim_{n→∞}\frac{1/(n+1)^p}{1/n^p}=\lim_{n→∞}\frac{n^p}{(n+1)^p}=1. \nonumber \]
No entanto, sabemos que, se\( p≤1,\) a série p\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p}\) divergir,\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p}\) converge se\( p>1\).
□
O teste de proporção é particularmente útil para séries cujos termos contêm fatoriais ou exponenciais, em que a proporção dos termos simplifica a expressão. O teste de proporção é conveniente porque não exige que encontremos uma série comparativa. A desvantagem é que o teste às vezes não fornece nenhuma informação sobre convergência.
Para cada uma das séries a seguir, use o teste de proporção para determinar se a série converge ou diverge.
- \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{2^n}{n!}\)
- \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^n}{n!} \)
- \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^n(n!)^2}{(2n)!}\)
Solução
a. A partir do teste de proporção, podemos ver que
\[ ρ=\lim_{n→∞}\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\lim_{n→∞}\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}⋅\frac{n!}{2^n}. \nonumber \]
Desde\( (n+1)!=(n+1)⋅n!,\)
\[ ρ=\lim_{n→∞}\frac{2}{n+1}=0. \nonumber \]
Já que\( ρ<1,\) a série converge.
b. Podemos ver isso
\[ ρ=\lim_{n→∞}\frac{(n+1)^{n+1}/(n+1)!}{n^n/n!}=\lim_{n→∞}\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}⋅\frac{n!}{n^n}=\lim_{n→∞}(\frac{n+1}{n})^n=\lim_{n→∞}(1+\frac{1}{n})^n=e. \nonumber \]
Já que\( ρ>1,\) a série diverge.
c. Desde
\[ ∣\frac{(−1)^{n+1}((n+1)!)^2/(2(n+1))!}{(−1)^n(n!)^2/(2n)!}∣=\frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!}⋅\frac{(2n)!}{n!n!}=\frac{(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)} \nonumber \]
nós vemos isso
\[ ρ=\lim_{n→∞}\frac{(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)}=\frac{1}{4}. \nonumber \]
Desde então\( ρ<1\), a série converge.
Use o teste de proporção para determinar se a série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^3}{3^n}\) converge ou diverge.
- Dica
-
Avalie\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{(n+1)^3}{3^{n+1}}⋅\frac{3^n}{n^3}.\)
- Responda
-
A série converge.
Teste de raiz
A abordagem do teste de raiz é semelhante à do teste de proporção. Considere uma série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) como essa\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}=ρ\) para algum número real\( ρ\). Então, para\( N\) suficientemente grande,\( ∣a_N∣≈ρN.\) portanto, podemos aproximar\(\displaystyle \sum_{n=N}^∞|a_n|\) escrevendo
\[∣a_N∣+∣a_{N+1}∣+∣a_{N+2}∣+⋯≈ρ^N+ρ^{N+1}+ρ^{N+2}+⋯. \nonumber \]
A expressão no lado direito é uma série geométrica. Como no teste de proporção, a série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge absolutamente se\( 0≤ρ<1\) e a série diverge se\( ρ≥1\). \( ρ=1\)Em caso afirmativo, o teste não fornece nenhuma informação. Por exemplo, para qualquer série p\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^p}\), vemos que
\[ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{∣\frac{1}{n^p}∣}=\lim_{n→∞}\frac{1}{n^{p/n}} \nonumber \].
Para avaliar esse limite, usamos a função de logaritmo natural. Fazendo isso, vemos que
\( \ln ρ=\ln(\lim_{n→∞}\frac{1}{n^{p/n}})=\lim_{n→∞}\ln(\frac{1}{n})^{p/n}=\lim_{n→∞}\frac{p}{n}⋅\ln(\frac{1}{n})=\lim_{n→∞}\frac{p\ln(1/n)}{n}.\)
Usando a regra de L'Hôpital, ela segue isso e\( \ln ρ=0\), portanto,\( ρ=1\) para todos\( p\). No entanto, sabemos que a série p só converge se\( p>1\) e diverge se\( p<1\).
Considere a série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\). Deixe
\[ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|} \nonumber \].
- Se\( 0≤ρ<1,\) então\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge absolutamente.
- Se\( ρ>1\) ou\( ρ=∞\), então\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) diverge.
- \( ρ=1\)Em caso afirmativo, o teste não fornece nenhuma informação.
O teste raiz é útil para séries cujos termos envolvem exponenciais. Em particular, para uma série cujos termos\( a_n\) satisfazem\( |a_n|=(b_n)^n\), então\( \sqrt[n]{|a_n|}=b_n\) precisamos apenas avaliar\(\displaystyle \lim_{n→∞}b_n\).
Para cada uma das séries a seguir, use o teste raiz para determinar se a série converge ou diverge.
- \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(n^2+3n)^n}{(4n^2+5)^n}\)
- \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^n}{(\ln(n))^n}\)
Solução
a. Para aplicar o teste raiz, calculamos
\[ ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{(n^2+3n)^n/(4n^2+5)^n}=\lim_{n→∞}\frac{n^2+3n}{4n^2+5}=\frac{1}{4}. \nonumber \]
Já que\( ρ<1,\) a série converge absolutamente.
b. Nós temos
\[ ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{n^n/(\ln n)^n}=\lim_{n→∞}\frac{n}{\ln n}=∞\quad \text{by L’Hôpital’s rule.} \nonumber \]
Desde então\( ρ=∞\), a série diverge.
Use o teste raiz para determinar se a série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}1/n^n\) converge ou diverge.
- Dica
-
Avalie\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sqrt[n]{\frac{1}{n^n}}\).
- Responda
-
A série converge.
Escolhendo um teste de convergência
Neste momento, temos uma longa lista de testes de convergência. No entanto, nem todos os testes podem ser usados para todas as séries. Quando recebemos uma série, devemos determinar qual teste é o melhor a ser usado. Aqui está uma estratégia para encontrar o melhor teste para aplicar.
Considere uma série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n.\) Nas etapas abaixo, descrevemos uma estratégia para determinar se a série converge.
- É\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) uma série familiar? Por exemplo, é a série harmônica (que diverge) ou a série harmônica alternada (que converge)? É uma série p ou série geométrica? Em caso afirmativo, verifique a potência\( p\) ou\( r\) a proporção para determinar se a série converge.
- É uma série alternada? Estamos interessados na convergência absoluta ou apenas na convergência? Se estivermos interessados apenas em saber se a série converge, aplique o teste de série alternada. Se estivermos interessados na convergência absoluta, prossiga para a etapa\( 3\), considerando a série de valores absolutos\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|.\)
- A série é semelhante a uma série p ou série geométrica? Se sim, experimente o teste de comparação ou o teste de comparação de limites.
- Os termos da série contêm um fatorial ou uma potência? Se os termos forem poderes,\( a_n=(b_n)^n,\) tente primeiro o teste raiz. Caso contrário, tente primeiro o teste de proporção.
- Use o teste de divergência. Se esse teste não fornecer nenhuma informação, experimente o teste integral.
Visite este site para obter mais informações sobre testes de séries de convergência, além de informações gerais sobre sequências e séries.
Para cada uma das séries a seguir, determine qual teste de convergência é o melhor a ser usado e explique por quê. Em seguida, determine se a série converge ou diverge. Se a série for uma série alternada, determine se ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
- \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^2+2n}{n^3+3n^2+1}\)
- \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(−1)^{n+1}(3n+1)}{n!}\)
- \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{e^n}{n^3}\)
- \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{3^n}{(n+1)^n}\)
Solução
a. Etapa 1. A série não é uma série p ou uma série geométrica.
Etapa 2. A série não é alternada.
Etapa 3. Para valores grandes de\( n\), aproximamos a série pela expressão
\( \frac{n^2+2n}{n^3+3n^2+1}≈\frac{n^2}{n^3}=\frac{1}{n}.\)
Portanto, parece razoável aplicar o teste de comparação ou o teste de comparação de limites usando a série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞1/n\). Usando o teste de comparação de limites, vemos que
\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{(n^2+2n)/(n^3+3n^2+1)}{1/n}=\lim_{n→∞}\frac{n^3+2n^2}{n^3+3n^2+1}=1.\)
Desde a série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞1/n\)
diverge, esta série também diverge.
b. Etapa 1. A série não é uma série familiar.
Etapa 2. A série é alternada. Como estamos interessados na convergência absoluta, considere a série
\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{3n}{(n+1)!}.\)
Etapa 3. A série não é semelhante a uma série p ou série geométrica.
Etapa 4. Como cada termo contém um fatorial, aplique o teste de proporção. Nós vemos isso
\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{(3(n+1))/(n+1)!}{(3n+1)/n!}=\lim_{n→∞}\frac{3n+3}{(n+1)!}⋅\frac{n!}{3n+1}=\lim_{n→∞}\frac{3n+3}{(n+1)(3n+1)}=0.\)
Portanto, essa série converge e concluímos que a série original converge absolutamente e, portanto, converge.
c. Etapa 1. A série não é uma série familiar.
Etapa 2. Não é uma série alternada.
Etapa 3. Não há uma série óbvia com a qual comparar essa série.
Etapa 4. Não há fatorial. Existe um poder, mas não é uma situação ideal para o teste de raiz.
Etapa 5. Para aplicar o teste de divergência, calculamos que
\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{e^n}{n^3}=∞.\)
Portanto, pelo teste de divergência, a série diverge.
d. Etapa 1. Esta série não é uma série familiar.
Etapa 2. Não é uma série alternada.
Etapa 3. Não há uma série óbvia com a qual comparar essa série.
Etapa 4. Como cada termo é uma potência de n, podemos aplicar o teste raiz. Desde
\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sqrt[n]{(\frac{3}{n+1})^n}=\lim_{n→∞}\frac{3}{n+1}=0,\)
pelo teste raiz, concluímos que a série converge.
Para a série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{2^n}{3^n+n}\), determine qual teste de convergência é o melhor para usar e explique por quê.
- Dica
-
A série é semelhante à série geométrica\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\frac{2}{3}\right)^n\).
- Responda
-
O teste de comparação porque\( \dfrac{2^n}{3^n+n}<\dfrac{2^n}{3^n}\) para todos os números inteiros positivos\( n\). O teste de comparação de limites também pode ser usado.
Na tabela, resumimos os testes de convergência e quando cada um pode ser aplicado. Observe que, embora o teste de comparação, o teste de comparação de limites e o teste integral exijam que\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) a série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) tenha termos não negativos, se tiver termos negativos, esses testes podem ser aplicados\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|\) para testar a convergência absoluta.
| Série ou teste | Conclusões | Comentários |
|---|---|---|
|
Teste de divergência Para qualquer série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\), avalie\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n\). |
Se\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0\) sim, o teste é inconclusivo. | Esse teste não pode provar a convergência de uma série. |
| Se sim\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n≠0\), a série diverge. | ||
|
Série geométrica \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}ar^{n−1}\) |
Se\( |r|<1\), a série converge para\( a/(1−r)\). | Qualquer série geométrica pode ser reindexada para ser escrita na forma\( a+ar+ar^2+⋯\), onde\( a\) é o termo inicial e r é a proporção. |
| Se\( |r|≥1,\) a série divergir. | ||
|
Série P \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p}\) |
Se sim\( p>1\), a série converge. | \( p=1\)Pois, temos a série harmônica\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}1/n\). |
| Se sim\( p≤1\), a série diverge. | ||
|
Teste de comparação Para\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n \) com termos não negativos, compare com uma série conhecida\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\). |
Se\( a_n≤b_n\) para todos\( n≥N\) e\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) converge, então\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge. | Normalmente usado para uma série semelhante a uma\( p\) série geométrica ou. Às vezes, pode ser difícil encontrar uma série apropriada. |
| Se\( a_n≥b_n\) para todos\( n≥N\) e\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) diverge, então\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) diverge. | ||
|
Teste de comparação de limites Para\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) com termos positivos, compare com uma série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) avaliando \( L=\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}.\) |
Se\( L\) é um número real e\( L≠0\), então\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\),\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) ambos convergem ou ambos divergem. | Normalmente usado para uma série semelhante a uma\( p\) série geométrica ou. Geralmente é mais fácil de aplicar do que o teste de comparação. |
| Se\( L=0\) e\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) convergir, então\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge. | ||
| Se\( L=∞\) e\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) diverge, então\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) diverge. | ||
|
Teste integral Se existe uma função positiva, contínua e decrescente de\( f\) tal forma que,\( a_n=f(n)\) para todos\( n≥N\), avalie\( \displaystyle ∫^∞_Nf(x)dx.\) |
\( ∫^∞_Nf(x)dx\)e\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) ambos convergem ou ambos divergem. | Limitado às séries para as quais a função f correspondente pode ser facilmente integrada. |
|
Séries alternadas \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}b_n\)ou\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^nb_n\) |
Se for\( b_{n+1}≤b_n\) para todos\( n≥1\) e\( b_n→0\), então a série converge. | Só se aplica a séries alternadas. |
|
Teste de proporção Para qualquer série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) com termos diferentes de zero, deixe\(\displaystyle ρ=\lim_{n→∞}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) |
Se sim\( 0≤ρ<1\), a série converge absolutamente. | Freqüentemente usado para séries envolvendo fatoriais ou exponenciais. |
| Se\( ρ>1\) ou\( ρ=∞\), a série diverge. | ||
| Se\( ρ=1\) sim, o teste é inconclusivo. | ||
|
Teste de raiz Para qualquer série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\), deixe\( \displaystyle ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}\). |
Se sim\( 0≤ρ<1\), a série converge absolutamente. | Frequentemente usado para séries em que\( |a_n|=(b_n)^n\). |
| Se\( ρ>1\) ou\( ρ=∞\), a série diverge. | ||
| Se\( ρ=1\) sim, o teste é inconclusivo. |
Existem dezenas de séries que convergem para\( π\) or an algebraic expression containing \( π\). Here we look at several examples and compare their rates of convergence. By rate of convergence, we mean the number of terms necessary for a partial sum to be within a certain amount of the actual value. The series representations of \( π\) in the first two examples can be explained using Maclaurin series, which are discussed in the next chapter. The third example relies on material beyond the scope of this text.
1. A série
\[π=4\sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n+1}}{2n−1}=4−\frac{4}{3}+\frac{4}{5}−\frac{4}{7}+\frac{4}{9}−⋯ \nonumber \]
foi descoberto por Gregory e Leibniz no final\( 1600s\). This result follows from the Maclaurin series for \( f(x)=\tan^{−1}x\). We will discuss this series in the next chapter.
a. Prove que esta série converge.
b. Avalie as somas parciais\( S_n\) for \( n=10,20,50,100.\)
c. Use a estimativa do restante para séries alternadas para obter um limite para o erro\( R_n\).
d. Qual é o menor valor de\( N\) that guarantees \( |R_N|<0.01\)? Evaluate \( S_N\).
2. A série
\[π=6\sum^∞_{n=0}\frac{(2n)!}{2^{4n+1}(n!)^2(2n+1)}=6\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2⋅3}\left(\frac{1}{2}\right)^3+\frac{1⋅3}{2⋅4⋅5}⋅\left(\frac{1}{2}\right)^5+\frac{1⋅3⋅5}{2⋅4⋅6⋅7}\left(\frac{1}{2}\right)^7+⋯\right) \nonumber \]
foi atribuído a Newton no final\( 1600s\). The proof of this result uses the Maclaurin series for \( f(x)=\sin^{−1}x\).
a. Prove que a série converge.
b. Avalie as somas parciais\( S_n\) for \( n=5,10,20.\)
c. Comparar\(S_n\) com\( π\) for \( n=5,10,20\) and discuss the number of correct decimal places.
3. A série
\[\frac{1}{π}=\frac{\sqrt{8}}{9801}\sum_{n=0}^∞\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4396^{4n}} \nonumber \]
foi descoberto por Ramanujan no início\( 1900s\). William Gosper, Jr., used this series to calculate \( π\) to an accuracy of more than \( 17\) million digits in the \( mid-1980s\). At the time, that was a world record. Since that time, this series and others by Ramanujan have led mathematicians to find many other series representations for \( π\) and \( 1/π\).
a. Prove que esta série converge.
b. Avalie o primeiro termo desta série. Compare esse número com o valor de\( π\) from a calculating utility. To how many decimal places do these two numbers agree? What if we add the first two terms in the series?
c. Investigue a vida de Srinivasa Ramanujan\( (1887–1920)\) and write a brief summary. Ramanujan is one of the most fascinating stories in the history of mathematics. He was basically self-taught, with no formal training in mathematics, yet he contributed in highly original ways to many advanced areas of mathematics.
Conceitos-chave
- Para o teste de proporção, consideramos\[ρ=\lim_{n→∞}∣\frac{a_{n+1}}{a_n}∣. \nonumber \] If\( ρ<1\), a série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge absolutamente. Se sim\( ρ>1\), a série diverge. \( ρ=1\)Em caso afirmativo, o teste não fornece nenhuma informação. Esse teste é útil para séries cujos termos envolvem fatoriais.
- Para o teste raiz, consideramos\[ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}. \nonumber \] If\( ρ<1\), a série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge absolutamente. Se sim\( ρ>1\), a série diverge. \( ρ=1\)Em caso afirmativo, o teste não fornece nenhuma informação. O teste raiz é útil para séries cujos termos envolvem poderes.
- Para uma série semelhante a uma série geométrica ou série p, considere um dos testes de comparação.
Glossário
- teste de proporção
- para uma série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) com termos diferentes de zero, seja\( \displaystyle ρ=\lim_{n→∞}|a_{n+1}/a_n|\); if\( 0≤ρ<1\), a série converge absolutamente; if\( ρ>1\), a série diverge; if\( ρ=1\), o teste é inconclusivo
- teste de raiz
- para uma série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n,\) let\( \displaystyle ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}\); if\( 0≤ρ<1\), a série converge absolutamente; if\( ρ>1\), a série diverge; if\( ρ=1\), o teste é inconclusivo