9.6E: Exercícios para a Seção 9.6

Nos exercícios 1 a 11, use o teste de proporção para determinar se cada série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge ou diverge. Indique se o teste de proporção é inconclusivo.

1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n!}\)

Resposta

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0.\)Converge pelo teste de proporção.

2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{10^n}{n!}\)

3)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n^2}{2^n}\)

Resposta

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{2}\left(\frac{n+1}{n}\right)^2=\frac{1}{2}<1.\)Converge pelo teste de proporção.

4)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n^{10}}{2^n}\)

5)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(n!)^3}{(3n)!}\)

Resposta

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{27}<1.\)Converge pelo teste de proporção.

6)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^{3n}(n!)^3}{(3n)!}\)

7)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(2n)!}{n^{2n}}\)

Resposta

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4}{e^2}<1.\)Converge pelo teste de proporção.

8)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(2n)!}{(2n)^n}\)

9)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n!}{(n/e)^n}\)

Resposta

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=1.\)O teste de proporção é inconclusivo.

10)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(2n)!}{(n/e)^{2n}}\)

11)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(2^nn!)^2}{(2n)^{2n}}\)

Resposta

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{1}{e^2}<1.\)Converge pelo teste de proporção.

Nos exercícios 12 a 21, use o teste raiz para determinar se\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge, onde\(a_n\) é o seguinte.

12)\(\displaystyle a_k=\left(\frac{k−1}{2k+3}\right)^k\)

13)\(\displaystyle a_k=\left(\frac{2k^2−1}{k^2+3}\right)^k\)

Resposta

\(\displaystyle \lim_{k\to \infty} (a_k)^{1/k}=2>1.\)Diverge pelo teste raiz.

14)\(\displaystyle a_n=\frac{(\ln n)^{2n}}{n^n}\)

15)\(\displaystyle a_n=n/2^n\)

Responda

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} (a_n)^{1/n}=1/2<1.\)Converge pelo teste raiz.

16)\(\displaystyle a_n=n/e^n\)

17)\(\displaystyle a_k=\frac{k^e}{e^k}\)

Responda

\(\displaystyle \lim_{k\to \infty} (a_k)^{1/k}=1/e<1.\)Converge pelo teste raiz.

18)\(\displaystyle a_k=\frac{π^k}{k^π}\)

19)\(\displaystyle a_n=\left(\frac{1}{e}+\frac{1}{n}\right)^n\)

Responda

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} a^{1/n}_n=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{e}+\frac{1}{n}=\frac{1}{e}<1.\)Converge pelo teste raiz.

20)\(\displaystyle a_k=\frac{1}{(1+\ln k)^k}\)

21)\(\displaystyle a_n=\frac{(\ln(1+\ln n))^n}{(\ln n)^n}\)

Responda

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} a^{1/n}_n= \lim_{n\to \infty} \frac{(\ln(1+\ln n))}{(\ln n)}=0\)pela regra do L'Hôpital. Converge pelo teste raiz.

Nos exercícios 22 a 28, use o teste de proporção ou o teste raiz, conforme apropriado, para determinar se a série\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞a_k\) com determinados termos\(a_k\) converge ou indique se o teste é inconclusivo.

22)\(\displaystyle a_k=\frac{k!}{1⋅3⋅5⋯(2k−1)}\)

23)\(\displaystyle a_k=\frac{2⋅4⋅6⋯2k}{(2k)!}\)

Responda

\(\displaystyle \lim_{k\to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k}= \lim_{k\to \infty} \frac{1}{2k+1}=0.\)Converge pelo teste de proporção.

24)\(\displaystyle a_k=\frac{1⋅4⋅7⋯(3k−2)}{3^kk!}\)

25)\(\displaystyle a_n=\left(1−\frac{1}{n}\right)^{n^2}\)

Responda

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} (a_n)^{1/n}=1/e.\)Converge pelo teste raiz.

26)\(\displaystyle a_k=\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+⋯+\frac{1}{2k}\right)^k\quad \Big(\) Dica: Compare\(a^{1/k}_k\) com\(\displaystyle ∫^{2k}_k\frac{dt}{t}.\Big)\)

27)\(\displaystyle a_k=\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+⋯+\frac{1}{3k}\right)^k\)

Responda

\(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a^{1/k}_k=\ln(3)>1.\)Diverge pelo teste raiz.

28)\(\displaystyle a_n=\left(n^{1/n}−1\right)^n\)

Nos exercícios 29 a 30, use o teste de proporção para determinar se\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge ou indique se o teste de proporção é inconclusivo.

29)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{3^{n^2}}{2^{n^3}}\)

Responda

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|= \lim_{n\to \infty} \frac{3^{2n+1}}{2^{3n^2+3n+1}}=0.\)Converge pelo teste de proporção.

30)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^{n^2}}{n^nn!}\)

Nos exercícios 31, use os testes de comparação de raiz e limite para determinar se\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge.

31)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{x^n_n}\) onde\(x_{n+1}=\frac{1}{2}x_n+\dfrac{1}{x_n}, x_1=1\) (Dica: Encontre o limite de\({x_n}\).)

Responda

Converge pelo teste raiz e pelo teste de comparação de limites desde então\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} x_n=\sqrt{2}\).

Nos exercícios 32 a 43, use um teste apropriado para determinar se a série converge.

32)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n+1}{n^3+n^2+n+1}\)

33)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n+1}(n+1)}{n^3+3n^2+3n+1}\)

Responda

Converge absolutamente por comparação de limites com \(p\)−series,\(p=2.\)

34)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(n+1)^2}{n^3+(1.1)^n}\)

35)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(n−1)^n}{(n+1)^n}\)

Responda

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=1/e^2≠0\). A série diverge pelo Teste de Divergência.

36)\(\displaystyle a_n=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n\)\(\Big(\) Dica:\(\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)^{n^2}≈e.\Big)\)

37)\(\displaystyle a_k=1/2^{\sin^2k}\)

Responda

Os termos não tendem a zero:\(a_k≥1/2,\) já que\(\sin^2x≤1.\)

38)\(\displaystyle a_k=2^{−\sin(1/k)}\)

39)\(\displaystyle a_n=1/(^{n+2}_n)\) onde\( (^n_k)=\frac{n!}{k!(n−k)!}\)

Responda

\(a_n=\dfrac{2}{(n+1)(n+2)},\)que converge em comparação com \(p\)−series for\(p=2\).

40)\(\displaystyle a_k=1/(^{2k}_k)\)

41)\(\displaystyle a_k=2^k/(^{3k}_k)\)

Responda

\(a_k=\dfrac{2^k1⋅2⋯k}{(2k+1)(2k+2)⋯3k}≤(2/3)^k\)converge em comparação com séries geométricas.

42)\(\displaystyle a_k=\left(\frac{k}{k+\ln k}\right)^k\quad\Big(\) Dica:\(a_k=\left(1+\dfrac{\ln k}{k}\right)^{−(k/\ln k)\ln k}≈e^{−\ln k}.\Big)\)

43)\(\displaystyle a_k=\left(\frac{k}{k+\ln k}\right)^{2k}\quad\Big(\) Dica:\(a_k=\left(1+\dfrac{\ln k}{k}\right)^{−(k/\ln k)\ln k^2}.\Big)\)

Responda

\(a_k≈e^{−\ln k^2}=1/k^2.\)A série converge por comparação de limites com \(p\)−series,\(p=2.\)

As séries dos exercícios 44 - 47 convergem pelo teste de proporção. Use soma por partes\(\displaystyle \sum_{k=1}^na_k(b_{k+1}−b_k)=[a_{n+1}b_{n+1}−a_1b_1]−\sum_{k=1}^nb_{k+1}(a_{k+1}−a_k),\) para encontrar a soma de uma determinada série.

44)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{k}{2^k}\) (Dica: Pegue\(a_k=k\)\(b_k=2^{1−k}\) e.)

45)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{k}{c^k},\) onde\(c>1\) (Dica: Pegue\(a_k=k\)\(b_k=c^{1−k}/(c−1)\) e.)

Responda

Se\(b_k=c^{1−k}/(c−1)\) e\(a_k=k\), então\(b_{k+1}−b_k=−c^{−k}\) e\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{k}{c^k}=a_1b_1+\frac{1}{c−1}\sum_{k=1}^∞c^{−k}=\frac{c}{(c−1)^2}.\)

46)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n^2}{2^n}\)

47)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(n+1)^2}{2^n}\)

Responda

\(\displaystyle 6+4+1=11\)

O\(k^{\text{th}}\) termo de cada uma das séries a seguir tem um fator\(x^k\). Encontre o intervalo\(x\) para o qual o teste de proporção implica que a série converge.

48)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{x^k}{k^2}\)

49)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{x^{2k}}{k^2}\)

Responda

\( |x|≤1\)

50)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{x^{2k}}{3^k}\)

51)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{x^k}{k!}\)

Responda

\( |x|<∞\)

52) Existe um número\(p\) desse tipo que\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^n}{n^p}\) converge?

53) Deixe\( 0<r<1.\) para quais números\(p\) reais\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞n^pr^n\) convergem?

Responda

Todos os números reais\(p\) pelo teste de proporção.

54) Suponha que\(\displaystyle \lim_{n→∞}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=p.\) para quais valores de\(p\) devem\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞2^na_n\) convergir?

55) Suponha que\(\displaystyle \lim_{n→∞}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=p.\) para quais valores\(r>0\) de convergem\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞r^na_n\) garantidamente?

Responda

\( r<1/p\)

56) Suponha que,\(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| ≤(n+1)^p\) para todos\(n=1,2,…\),\(p\) esteja um número real fixo. Para quais valores de\(p\) é\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞n!a_n\) garantido a convergência?

57) Para quais valores de\(r>0\), se houver,\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞r^{\sqrt{n}}\) convergem? \(\Big(\)Dica:\(\displaystyle sum_{n=1}^∞a_n=\sum_{k=1}^∞\sum_{n=k^2}^{(k+1)^2−1}a_n.\Big)\)

Responda

\(0<r<1.\)Observe que os testes de proporção e raiz são inconclusivos. Usando a dica, há\(2k\) termos\(r^\sqrt{n}\) para\( k^2≤n<(k+1)^2\), e para\(r<1\) cada termo é pelo menos\(r^k\). Assim,\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞r^{\sqrt{n}}=\sum_{k=1}^∞\sum_{n=k^2}^{(k+1)^2−1}r^{\sqrt{n}} ≥\sum_{k=1}^∞2kr^k,\) que converge pelo teste de proporção para\(r<1\). \(r≥1\)Pois a série diverge pelo teste de divergência.

58) Suponha isso\( \left|\dfrac{a_{n+2}}{a_n}\right| ≤r<1\) para todos\(n\). Você pode concluir que isso\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge?

59) Seja\(a_n=2^{−[n/2]}\) onde\( [x]\) é o maior número inteiro menor ou igual\(x\) a. Determine se\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge e justifique sua resposta.

Responda

Um tem\(\displaystyle a_1=1, a_2=a_3=1/2,…a_{2n}=a_{2n+1}=1/2^n\). O teste de proporção não se aplica porque\(\displaystyle a_{n+1}/a_n=1\)\(\displaystyle n\) é uniforme. No entanto\(\displaystyle a_{n+2}/a_n=1/2,\), a série converge de acordo com o exercício anterior. Obviamente, a série é apenas uma série geométrica duplicada.

Os exercícios avançados a seguir usam um teste de proporção generalizada para determinar a convergência de algumas séries que surgem em aplicações específicas quando os testes deste capítulo, incluindo o teste de proporção e raiz, não são poderosos o suficiente para determinar sua convergência. O teste afirma que se\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_{2n}}{a_n}<1/2\), então\(\displaystyle \sum a_n\) converge, enquanto se\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_{2n+1}}{a_n}>1/2\), então\(\displaystyle \sum a_n\) diverge.

60) Deixe\(\displaystyle a_n=\frac{1}{4}\frac{3}{6}\frac{5}{8}⋯\frac{2n−1}{2n+2}=\frac{1⋅3⋅5⋯(2n−1)}{2^n(n+1)!}\). Explique por que o teste de proporção não pode determinar a convergência de\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\). Use o fato de que\(\displaystyle 1−1/(4k)\) está aumentando\(\displaystyle k\) para estimar\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_{2n}}{a_n}\).

61) Vamos\(\displaystyle a_n=\frac{1}{1+x}\frac{2}{2+x}⋯\frac{n}{n+x}\frac{1}{n}=\frac{(n−1)!}{(1+x)(2+x)⋯(n+x).}\) mostrar isso\(a_{2n}/a_n≤e^{−x/2}/2\). Para quais\(x>0\) o teste de razão generalizada implica convergência de\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\)? (Dica: escreva\(2a_{2n}/a_n\) como um produto de\(n\) fatores, cada um menor que\(1/(1+x/(2n)).)\)

Responda

\(\displaystyle a_{2n}/a_n=\frac{1}{2}⋅\frac{n+1}{n+1+x}\frac{n+2}{n+2+x}⋯\frac{2n}{2n+x}.\)O inverso do\(\displaystyle kth\) fator é\(\displaystyle (n+k+x)/(n+k)>1+x/(2n)\) então que o produto é menor do que\(\displaystyle (1+x/(2n))^{−n}≈e^{−x/2}.\) Assim para\(\displaystyle x>0, \frac{a_{2n}}{a_n}≤\frac{1}{2}e^{−x/2}\). A série converge para\(\displaystyle x>0\).

62) Vamos\(a_n=\dfrac{n^{\ln n}}{(\ln n)^n}.\) mostrar isso\( \dfrac{a_{2n}}{a_n}→0\) como\(n→∞.\)