Skip to main content
Global

9.7: Exercícios de revisão do capítulo 9

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    188379

    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta com uma prova ou um contra-exemplo.

    1) Se\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0,\) então\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge.

    Resposta
    falso

    2) Se\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n≠0,\) então\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) diverge.

    3) Se\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|\) convergir, então\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge.

    Resposta
    verdade

    4) Se\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞2^na_n\) convergir, então\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞(−2)^na_n\) converge.

    A sequência é limitada, monótona e convergente ou divergente? Se for convergente, encontre o limite.

    5)\(a_n=\dfrac{3+n^2}{1−n}\)

    Resposta
    ilimitado, não monótono, divergente

    6)\(a_n=\ln\left(\frac{1}{n}\right)\)

    7)\(a_n=\dfrac{\ln(n+1)}{\sqrt{n+1}}\)

    Resposta
    limitado, monótono, convergente,\(0\)

    8)\(a_n=\dfrac{2^{n+1}}{5^n}\)

    9)\(a_n=\dfrac{\ln(\cos n)}{n}\)

    Resposta
    ilimitado, não monótono, divergente

    A série é convergente ou divergente?

    10)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2+5n+4}\)

    11)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\)

    Resposta
    diverge

    12)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^n}{n^4}\)

    13)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{e^n}{n!}\)

    Resposta
    converge

    14)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞n^{−(n+1/n)}\)

    A série é convergente ou divergente? Se convergente, é absolutamente convergente?

    15)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^n}{\sqrt{n}}\)

    Resposta
    converge, mas não absolutamente

    16)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^nn!}{3^n}\)

    17)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^nn!}{n^n}\)

    Resposta
    converge absolutamente

    18)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\sin\left(\frac{nπ}{2}\right)\)

    19)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\cos(πn)e^{−n}\)

    Resposta
    converge absolutamente

    Avalie.

    20)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^{n+4}}{7^n}\)

    21)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{(n+1)(n+2)}\)

    Resposta
    \(\frac{1}{2}\)

    22) Uma lenda da Índia conta que um matemático inventou o xadrez para um rei. O rei gostou tanto do jogo que permitiu que o matemático exigisse qualquer pagamento. O matemático pediu um grão de arroz para o primeiro quadrado no tabuleiro de xadrez, dois grãos de arroz para o segundo quadrado no tabuleiro de xadrez e assim por diante. Encontre uma expressão exata para o pagamento total (em grãos de arroz) solicitado pelo matemático. Supondo que haja\(30,000\) grãos de arroz em\(1\) libras e\(2000\) libras em\(1\) tonelada, quantas toneladas de arroz o matemático tentou receber?

    Os problemas a seguir consideram um modelo populacional simples da mosca doméstica, que pode ser exibido pela fórmula recursiva\(x_{n+1}=bx_n\), onde\(x_n\) é a população de moscas domésticas em geração\(n\) e\(b\) é o número médio de filhotes por mosca doméstica que sobrevivem até a próxima geração. Suponha uma população inicial\(x_0\).

    23) Descubra\(\displaystyle \lim_{n→∞}x_n\) se\(b>1, \;b<1\), e\(b=1.\)

    Resposta
    \(∞, \; 0, \; x_0\)

    24) Encontre uma expressão para\(\displaystyle S_n=\sum_{i=0}^nx_i\) em termos de\(b\)\(x_0\) e. O que isso representa fisicamente?

    25) Se\(b=\frac{3}{4}\) e\(x_0=100\), encontre\(S_{10}\) e\(\displaystyle \lim_{n→∞}S_n\)

    Resposta
    \(\displaystyle S_{10}≈383, \quad \lim_{n→∞}S_n=400\)

    26) Para quais valores a série\(b\) convergirá e divergirá? Para o que a série converge?