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10: Série Power

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    Uma série de potência (em uma variável) é uma série infinita. Qualquer polinômio pode ser facilmente expresso como uma série de potências em torno de qualquer centro c, embora a maioria dos coeficientes seja zero, já que uma série de potências tem infinitos termos por definição. Pode-se ver as séries de potências como “polinômios de grau infinito”, embora as séries de potências não sejam polinômios. O conteúdo deste capítulo do Textmap é complementado pelo Mapa de Texto de Cálculo de Guichard.

    • 10.0: Série Prelude to Power
      As séries de potências podem ser usadas para definir funções e elas nos permitem escrever funções que não podem ser expressas de outra forma a não ser como “polinômios infinitos”. Uma série infinita também pode ser truncada, resultando em um polinômio finito que podemos usar para aproximar valores funcionais. Representar funções usando séries de potências nos permite resolver problemas matemáticos que não podem ser resolvidos com outras técnicas.
    • 10.1: Séries e funções de potência
      Uma série de potência é um tipo de série com termos que envolvem uma variável. Mais especificamente, se a variável for x, todos os termos da série envolvem potências de x. Como resultado, uma série de potências pode ser considerada um polinômio infinito. As séries Power são usadas para representar funções comuns e também para definir novas funções. Nesta seção, definimos séries de potência e mostramos como determinar quando uma série de potência converge e quando ela diverge. Também mostramos como representar certas funções usando energia
    • 10.2: Propriedades da série Power
      As séries Power podem ser combinadas, diferenciadas ou integradas para criar novas séries de potência. Esse recurso é particularmente útil por alguns motivos. Primeiro, ele nos permite encontrar representações de séries de potências para determinadas funções elementares, escrevendo essas funções em termos de funções com séries de potências conhecidas. Em segundo lugar, ele nos permite definir novas funções que não podem ser escritas em termos de funções elementares. Esse recurso é particularmente útil para resolver equações diferenciais.
    • 10.3: Série Taylor e Maclaurin
      Aqui, discutimos representações de séries de potência para outros tipos de funções. Em particular, abordamos as seguintes questões: Quais funções podem ser representadas por séries de potências e como encontramos essas representações? Se pudermos encontrar uma representação de série de potência para uma função específica ff e a série convergir em algum intervalo, como podemos provar que a série realmente converge para f?
    • 10.4: Trabalhando com a série Taylor
      Nesta seção, mostramos como usar essas séries de Taylor para derivar séries de Taylor para outras funções. Em seguida, apresentamos duas aplicações comuns de séries de potência. Primeiro, mostramos como as séries de potências podem ser usadas para resolver equações diferenciais. Em segundo lugar, mostramos como as séries de potências podem ser usadas para avaliar integrais quando a antiderivada do integrando não pode ser expressa em termos de funções elementares.
    • 10.5: Exercícios de revisão do capítulo 10

    Miniatura: O gráfico mostra a função\(\displaystyle y=sinx\) e os polinômios de Maclaurin\(\displaystyle p_1,p_3\)\(\displaystyle p_5\) e. (CC BY-SA 3.0; OpenStax).