10.0: Série Prelude to Power

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Ao ganhar na loteria, às vezes, um indivíduo tem a opção de receber os ganhos em um único pagamento ou receber pagamentos menores em intervalos de tempo fixos. Por exemplo, você pode ter a opção de receber 20 milhões de dólares hoje ou receber 1,5 milhão de dólares por ano nos próximos 20 anos. Qual é o melhor negócio? Certamente 1,5 milhão de dólares em 20 anos equivale a 30 milhões de dólares. No entanto, receber os 20 milhões de dólares hoje permitiria que você investisse o dinheiro.

Uma fotografia mostra uma superfície plana coberta com notas de $100. — Figura$\PageIndex{1}$: Se você ganhar na loteria, você ganha mais dinheiro recebendo um pagamento fixo ou aceitando pagamentos fixos ao longo do tempo? (crédito: modificação da obra de Robert Huffstutter, Flickr)

Como alternativa, e se você tivesse a garantia de receber 1 milhão de dólares por ano indefinidamente (estendendo-se aos seus herdeiros) ou receber 20 milhões de dólares hoje. Qual seria o melhor negócio? Para responder a essas perguntas, você precisa saber como usar séries infinitas para calcular o valor dos pagamentos periódicos ao longo do tempo em termos dos dólares atuais.

Uma série infinita da forma

\[\sum_{n=0}^∞c_nx^n \nonumber \]

é conhecida como série de potências. Como os termos contêm a variável$x$, as séries de potências podem ser usadas para definir funções. Eles podem ser usados para representar determinadas funções, mas também são importantes porque nos permitem escrever funções que não podem ser expressas de outra forma a não ser como “polinômios infinitos”. Além disso, as séries de potência podem ser facilmente diferenciadas e integradas, sendo úteis na resolução de equações diferenciais e na integração de funções complicadas. Uma série infinita também pode ser truncada, resultando em um polinômio finito que podemos usar para aproximar valores funcionais. As séries Power têm aplicações em uma variedade de campos, incluindo física, química, biologia e economia. Como veremos neste capítulo, representar funções usando séries de potências nos permite resolver problemas matemáticos que não podem ser resolvidos com outras técnicas.

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