10.2: Propriedades da série Power

Objetivos de

• Combine séries de potência por adição ou subtração.
• Crie uma nova série de potências multiplicando por uma potência da variável ou uma constante, ou por substituição.
• Multiplique duas séries de potência.
• Diferencie e integre séries de potência termo a termo.

Na seção anterior sobre séries de potências e funções, mostramos como representar determinadas funções usando séries de potências. Nesta seção, discutimos como as séries de potência podem ser combinadas, diferenciadas ou integradas para criar novas séries de potência. Esse recurso é particularmente útil por alguns motivos. Primeiro, ele nos permite encontrar representações de séries de potências para determinadas funções elementares, escrevendo essas funções em termos de funções com séries de potências conhecidas. Por exemplo, dada a representação da série de potência para$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$, podemos encontrar uma representação da série de potência para$f′(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}$. Em segundo lugar, ser capaz de criar séries de potências nos permite definir novas funções que não podem ser escritas em termos de funções elementares. Esse recurso é particularmente útil para resolver equações diferenciais para as quais não há solução em termos de funções elementares.

Combinando a série Power

Se tivermos duas séries de potências com o mesmo intervalo de convergência, podemos adicionar ou subtrair as duas séries para criar uma nova série de potências, também com o mesmo intervalo de convergência. Da mesma forma, podemos multiplicar uma série de potências por uma potência de$x$ ou calcular uma série de potência em$x^m$ para um número inteiro positivo$m$ para criar uma nova série de potências. Ser capaz de fazer isso nos permite encontrar representações de séries de potência para determinadas funções usando representações de séries de potência de outras funções. Por exemplo, como conhecemos a representação da série de potências para$f(x)=\frac{1}{1−x}$, podemos encontrar representações de séries de potência para funções relacionadas, como

$$y=\dfrac{3x}{1−x^2} \nonumber$$

e

$$y=\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}. \nonumber$$

Em Nota$\PageIndex{1}$, declaramos os resultados relativos à adição ou subtração de séries de potências, composição de uma série de potências e multiplicação de uma série de potências por uma potência da variável. Para simplificar, declaramos o teorema para séries de potências centrado em$x=0$. Resultados semelhantes são válidos para séries de potência centradas em$x=a$.

Nota:$\PageIndex{1}$: Combining Power Series

Suponha que as duas séries$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ de potências$\displaystyle\sum_{n=0}^∞d_nx^n$ converjam para as funções$f$ e$g$, respectivamente, em um intervalo comum$I$.

1. A série de potência$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n±d_nx^n)$ converge para$f±g$ on$I$.
2. Para qualquer número inteiro$m≥0$ e qualquer número real$b$, a série de potência$\displaystyle \sum_{n=0}^∞bx^m_nx^n$ converge para$bx^mf(x)$ on$I$.
3. Para qualquer número inteiro$m≥0$ e qualquer número real$b$, a série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(bx^m)^n$ converge$f(bx^m)$ para tudo$x$ o que$bx^m$ está em$I$.

Prova

Nós provamos$i$. No caso da série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n+d_nx^n)$. Suponha isso$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ e$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ converja para as funções$f$ e$g$, respectivamente, no intervalo$I$. $x$Seja um ponto$I$ e deixe$S_N(x)$ e$T_N(x)$ denote a enésima soma parcial da série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ e$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$, respectivamente. Em seguida, a sequência${S_N(x)}$ converge para$f(x)$ e a sequência${T_N(x)}$ converge para$g(x)$. Além disso, a N ésima soma parcial de$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n+d_nx^n)$ é

$$\begin{align*} \sum_{n=0}^N(c_nx^n+d_nx^n) =\sum_{n=0}^Nc_nx^n+\sum_{n=0}^Nd_nx^n\\[4pt] =S_N(x)+T_N(x).\end{align*}$$

Porque

$$\begin{align*} \lim_{N→∞}(S_N(x)+T_N(x)) =\lim_{N→∞}S_N(x)+\lim_{N→∞}T_N(x)\\[4pt] =f(x)+g(x), \end{align*}$$

concluímos que a série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n+d_nx^n)$ converge para$f(x)+g(x).$

□

Examinamos produtos de séries de potências em um teorema posterior. Primeiro, mostramos várias aplicações do Note e como encontrar o intervalo de convergência de uma série de potências dado o intervalo de convergência de uma série de potências relacionada.

Exemplo$\PageIndex{1}$: Combining Power Series

Suponha que$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ seja uma série de potências cujo intervalo de convergência seja$(−1,1)$, e suponha que$\displaystyle \sum_{n=0}^∞b_nx^n$ seja uma série de potências cujo intervalo de convergência seja$(−2,2).$

1. Encontre o intervalo de convergência da série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(a_nx^n+b_nx^n).$
2. Encontre o intervalo de convergência da série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n3^nx^n.$

Solução

1. Como o intervalo$(−1,1)$ é um intervalo comum de convergência da série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ e$\displaystyle \sum_{n=0}^∞b_nx^n$, o intervalo de convergência da série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(a_nx^n+b_nx^n)$ é$(−1,1)$.
2. Como$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ é uma série de potências centrada em zero com raio de convergência,$1,$ ela converge para todos$x$ no intervalo.$(−1,1).$ Por nota, a série $$\sum_{n=0}^∞a_n3^nx^n=\sum_{n=0}^∞a_n(3x)^n \nonumber$$ converge se$3x$ estiver no intervalo$(−1,1)$. Portanto, a série converge para todos$x$ no intervalo$\left(−\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right).$

Exercício$\PageIndex{1}$

Suponha que$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ tenha um intervalo de convergência de$(−1,1)$. Encontre o intervalo de convergência de$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n(\dfrac{x}{2})^n$.

Dica

Encontre os valores de$x$ tal que$\dfrac{x}{2}$ está no intervalo$(−1,1).$

Resposta

O intervalo de convergência é$(−2,2).$

No próximo exemplo, mostramos como usar o Note e a série de potências para uma função f para construir séries de potências para funções relacionadas$f$ a. Especificamente, consideramos funções relacionadas à função$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ e usamos o fato de que

$$\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n=1+x+x^2+x^3+\ldots \nonumber$$

para$|x|<1.$

Exemplo$\PageIndex{2}$: Constructing Power Series from Known Power Series

Use a representação da série de potência para$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ combinada com o Note para construir uma série de potência para cada uma das seguintes funções. Encontre o intervalo de convergência da série de potências.

1. $f(x)=\dfrac{3x}{1+x^2}$
2. $f(x)=\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}$

Solução

a. Primeiro escreva$f(x)$ como

$$f(x)=3x\left(\dfrac{1}{1−(−x^2)}\right). \nonumber$$

Usando a representação da série de potência para$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ e as partes ii. e iii. de Nota, descobrimos que uma representação da série de potência para$f$ é dada por

$$\sum_{n=0}^∞3x(−x^2)^n=\sum_{n=0}^∞3(−1)^nx^{2n+1}. \nonumber$$

Como o intervalo de convergência da série para$\dfrac{1}{1−x}$ é$(−1,1)$, o intervalo de convergência para essa nova série é o conjunto de números reais$x$ tal que$∣x^2∣<1$. Portanto, o intervalo de convergência é$(−1,1).$

b. Para encontrar a representação da série de potências, use frações parciais para escrever$f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x−3)}$ como a soma de duas frações. Nós temos

$$\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}=\dfrac{−1/2}{x−1}+\dfrac{1/2}{x−3}=\dfrac{1/2}{1−x}−\dfrac{1/2}{3−x}=\dfrac{1/2}{1−x}−\dfrac{1/6}{1−\dfrac{x}{3}}. \nonumber$$

Primeiro, usando a parte ii. do Note, obtemos

$$\dfrac{1/2}{1−x}=\sum_{n=0}^∞\dfrac{1}{2}x^n \quad\text{for } |x|<1. \nonumber$$

Então, usando as partes ii. e iii. do Note, temos

$$\dfrac{1/6}{1−x/3}=\sum_{n=0}^∞\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{x}{3}\right)^n \quad\text{for } |x|<3. \nonumber$$

Como estamos combinando essas duas séries de potências, o intervalo de convergência da diferença deve ser o menor desses dois intervalos. Usando esse fato e a parte i. de Note, temos

$$\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}=\sum_{n=0}^∞\left(\dfrac{1}{2}−\dfrac{1}{6⋅3^n}\right)x^n \nonumber$$

onde está o intervalo de convergência$(−1,1)$.

Exercício$\PageIndex{}2$

Use a série for$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ on$|x|<1$ para construir uma série para$\dfrac{1}{(1−x)(x−2)}.$ Determinar o intervalo de convergência.

Dica

Use frações parciais para reescrever$\dfrac{1}{(1−x)(x−2)}$ como a diferença de duas frações.

Resposta

$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\left(−1+\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)x^n$. O intervalo de convergência é$(−1,1)$.

No exemplo$\PageIndex{2}$, mostramos como encontrar séries de potência para determinadas funções. No exemplo,$\PageIndex{3}$ mostramos como fazer o oposto: dada uma série de potências, determine qual função ela representa.

Exemplo$\PageIndex{3}$: Finding the Function Represented by a Given Power Series

Considere a série de potências$\displaystyle \sum_{n=0}^∞2^nx^n.$ Encontre a função f representada por esta série. Determine o intervalo de convergência da série.

Solução

Escrevendo a série dada como

$$\sum_{n=0}^∞2^nx^n=\sum_{n=0}^∞(2x)^n, \nonumber$$

podemos reconhecer esta série como a série de potência para

$$f(x)=\dfrac{1}{1−2x}. \nonumber$$

Como esta é uma série geométrica, a série converge se e somente se$|2x|<1.$ Portanto, o intervalo de convergência é$\left(−\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).$

Exercício$\PageIndex{3}$

Encontre a função representada pela série de potências$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\dfrac{1}{3^n}x^n$.

Determine seu intervalo de convergência.

Dica

Escreva$\dfrac{1}{3^n}x^n=\left(\dfrac{x}{3}\right)^n$.

Resposta

$f(x)=\dfrac{3}{3−x}.$O intervalo de convergência é$(−3,3)$.

Lembre-se das perguntas feitas na abertura do capítulo sobre qual é a melhor maneira de receber pagamentos dos ganhos da loteria. Agora, revisamos essas perguntas e mostramos como usar séries para comparar valores de pagamentos ao longo do tempo com um pagamento fixo atual. Calcularemos quanto valem os pagamentos futuros em termos dos dólares atuais, supondo que tenhamos a capacidade de investir os ganhos e gerar juros. O valor dos pagamentos futuros em termos dos dólares atuais é conhecido como o valor presente desses pagamentos.

Exemplo$\PageIndex{4}$: Present Value of Future Winnings

Suponha que você ganhe na loteria e tenha as três opções a seguir:

• Receba 20 milhões de dólares hoje;
• Receba 1,5 milhão de dólares por ano nos próximos 20 anos; ou
• Receba 1 milhão de dólares por ano indefinidamente (sendo repassado aos seus herdeiros).

Qual é o melhor negócio, supondo que a taxa de juros anual seja de 5%? Respondemos a isso trabalhando com a seguinte sequência de perguntas.

1. Quanto valem os 1,5 milhão de dólares recebidos anualmente ao longo de 20 anos em termos dos dólares atuais, assumindo uma taxa de juros anual de 5%?
2. Use a resposta à parte a. para encontrar uma fórmula geral para o valor atual dos pagamentos de$C$ dólares recebidos a cada ano nos próximos n anos, assumindo uma taxa de juros média anual$r$.
3. Encontre uma fórmula para o valor atual se os pagamentos anuais de$C$ dólares continuarem indefinidamente, assumindo uma taxa de juros média anual$r$.
4. Use a resposta da parte c. para determinar o valor atual de 1 milhão de dólares pagos anualmente indefinidamente.
5. Use suas respostas às partes a. e d. para determinar qual das três opções é a melhor.

Figura$\PageIndex{1}$: (crédito: modificação da obra de Robert Huffstutter, Flickr)

Solução

a. Considere o pagamento de 1,5 milhão de dólares feito no final do primeiro ano. Se você pudesse receber esse pagamento hoje, em vez de daqui a um ano, poderá investir esse dinheiro e ganhar 5% de juros. Portanto, o valor atual desse dinheiro$P_1$ satisfaz$P_1(1+0.05)=1.5$ milhões de dólares. Concluímos que

$P_1=\dfrac{1.5}{1.05}=$1.429$milhões de dólares.

Da mesma forma, considere o pagamento de 1,5 milhão de dólares feito no final do segundo ano. Se você pudesse receber esse pagamento hoje, poderia investir esse dinheiro por dois anos, ganhando 5% de juros, compostos anualmente. Portanto, o valor atual desse dinheiro$P_2$ satisfaz$P_2(1+0.05)^2=1.5$ milhões de dólares. Concluímos que

$P_2=1.5(1.05)^2=$1.361$milhões de dólares.

O valor dos pagamentos futuros hoje é a soma dos valores atuais$P_1,P_2,…,P_{20}$ de cada um desses pagamentos anuais. O valor atual$P_k$ satisfaz

$P_k=\dfrac{1.5}{(1.05)^k}$.

Portanto,

$P=\dfrac{1.5}{1.05}+\dfrac{1.5}{(1.05)^2}+\ldots+\dfrac{1.5}{(1.05)^{20}}=$18.693$milhões de dólares.

b. Usando o resultado da parte a. vemos que o valor atual P de dólares C pagos anualmente ao longo de n anos, assumindo uma taxa de juros anual r, é dado por

$P=\dfrac{C}{1+r}+\dfrac{C}{(1+r)^2}+\ldots+\dfrac{C}{(1+r)^n}$dólares.

c. Usando o resultado da parte b. vemos que o valor presente de uma anuidade que continua indefinidamente é dado pela série infinita

$$P=\sum_{n=0}^∞\dfrac{C}{(1+r)^{n+1}}.\nonumber$$

Podemos ver o valor atual como uma série de potências em$r$, que converge tanto quanto$\Bigg|\dfrac{1}{1+r}\Bigg|<1$. Desde então$r>0$, esta série converge. Reescrevendo a série como

$$P=\dfrac{C}{(1+r)}\sum_{n=0}^∞\left(\dfrac{1}{1+r}\right)^n,\nonumber$$

reconhecemos esta série como a série de potência para

$f(r)=\dfrac{1}{1−\left(\dfrac{1}{1+r}\right)}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{r}{1+r}\right)}=\dfrac{1+r}{r}$.

Concluímos que o valor atual dessa anuidade é

$P=\dfrac{C}{1+r}⋅\dfrac{1+r}{r}=\dfrac{C}{r}.$

d. Do resultado à parte c. concluímos que o valor atual$P$ de$C=1$ milhões de dólares pagos todos os anos indefinidamente, assumindo uma taxa de juros anual$r=0.05$, é dado por

$P=\dfrac{1}{0.05}=20$milhões de dólares.

e. Da parte a. vemos que receber $1,5 milhão de dólares ao longo de 20 anos vale $18,693 milhões de dólares em dólares atuais. Da parte d. vemos que receber $1 milhão de dólares por ano indefinidamente vale $20 milhões de dólares em dólares atuais. Portanto, receber um pagamento fixo de $20 milhões de dólares hoje ou receber $1 milhão de dólares indefinidamente tem o mesmo valor presente.

Multiplicação de séries de potência

Também podemos criar novas séries de potência multiplicando as séries de potência. Ser capaz de multiplicar duas séries de potência fornece outra maneira de encontrar representações de séries de potência para funções. A forma como os multiplicamos é semelhante à forma como multiplicamos os polinômios. Por exemplo, suponha que queremos multiplicar

$$\sum_{n=0}^∞c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots \nonumber$$

e

$$\sum_{n=0}^∞d_nx^n=d_0+d+1x+d_2x^2+\ldots. \nonumber$$

Parece que o produto deve satisfazer

$$\left(\sum_{n=0}^∞c_nx^n\right)\left(\sum_{n=−0}^∞d_nx^n\right)=(c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots)⋅(d_0+d_1x+d_2x^2+\ldots)=c_0d^0+(c_1d^0+c_0d^1)x+(c_2d^0+c_1d^1+c_0d^2)x^2+\ldots. \nonumber$$

No Note, declaramos o resultado principal em relação à multiplicação de séries de potências, mostrando que, se$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ convergirem em um intervalo comum$I$, podemos multiplicar a série dessa maneira, e a série resultante também converge no intervalo$I$.

Multiplicando a série Power

Suponha que a série de potências$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ e a$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ converjam para$f$ e$g$, respectivamente, em um intervalo comum$I$. Deixe

$$e_n=c_0d_n+c_1d_{n−1}+c_2d_{n−2}+\ldots+c_{n−1}d_1+c_nd_0=\sum_{k=0}^nc_kd_{n−k}. \nonumber$$

Então

$$\left(\sum_{n=0}^∞c_nx^n\right)\left(\sum_{n=0}^∞d_nx^n\right)=\sum_{n=0}^∞e_nx^n \nonumber$$

e

$$\sum_{n=0}^∞e_nx^n \text{ converges to }f(x)⋅g(x) \text{ on } I. \nonumber$$

A série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞e_nx^n$ é conhecida como o produto Cauchy da série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ e.

Omitimos a prova desse teorema, pois ele está além do nível deste texto e normalmente é abordado em um curso mais avançado. Agora fornecemos um exemplo desse teorema encontrando a representação da série de potências para

$$f(x)=\dfrac{1}{(1−x)(1−x^2)} \nonumber$$

usando as representações da série de potência para

$$y=\dfrac{1}{1−x} \text{ and } y=\dfrac{1}{1−x^2} \nonumber$$ .

Exemplo$\PageIndex{5}$: Multiplying Power Series

Multiplique a representação da série de potências

$$\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n=1+x+x^2+x^3+\ldots \nonumber$$

para$|x|<1$ com a representação da série de potência

$$\dfrac{1}{1−x^2}=\sum_{n=0}^∞\big(x^2\big)^n=1+x^2+x^4+x^6+\ldots \nonumber$$

$|x|<1$para construir uma série de potências para$f(x)=\dfrac{1}{(1−x)(1−x^2)}$ no intervalo$(−1,1)$.

Solução

Precisamos multiplicar

$$(1+x+x^2+x^3+\ldots)(1+x^2+x^4+x^6+\ldots).\nonumber$$

Escrevendo os primeiros termos, vemos que o produto é dado por

$$(1+x^2+x^4+x^6+\ldots)+(x+x^3+x^5+x^7+\ldots)+(x^2+x^4+x^6+x^8+\ldots)+(x^3+x^5+x^7+x^9+\ldots)=1+x+(1+1)x^2+(1+1)x^3+(1+1+1)x^4+(1+1+1)x^5+\ldots=1+x+2x^2+2x^3+3x^4+3x^5+\ldots.\nonumber$$

Como a série para$y=\dfrac{1}{1−x}$ e$y=\dfrac{1}{1−x^2}$ ambas convergem no intervalo$(−1,1)$, a série do produto também converge no intervalo$(−1,1)$.

Exercício$\PageIndex{4}$

Multiplique a série$\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n$ por si só para construir uma série para$\dfrac{1}{(1−x)(1−x)}.$

Dica

Multiplique os primeiros termos de$(1+x+x^2+x^3+\ldots)(1+x+x^2+x^3+\ldots)$

Resposta

$1+2x+3x^2+4x^3+\ldots$

Diferenciando e integrando séries de energia

Considere uma série de potências$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots$ que converge em algum intervalo$I$ e$f$ seja a função definida por essa série. Aqui, abordamos duas questões sobre$f$.

• É$f$ diferenciável e, em caso afirmativo, como determinamos a derivada$f′$?
• Como avaliamos a integral indefinida$∫f(x)\,dx$?

Sabemos que, para um polinômio com um número finito de termos, podemos calcular a derivada diferenciando cada termo separadamente. Da mesma forma, podemos avaliar a integral indefinida integrando cada termo separadamente. Aqui, mostramos que podemos fazer a mesma coisa para séries de potência convergente. Ou seja, se

$$f(x)=c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots \nonumber$$

converge em algum intervalo I, então

$$f′(x)=c_1+2c_2x+3c_3x^2+\ldots \nonumber$$

e

$$∫f(x)\,dx=C+c_0x+c_1\dfrac{x^2}{2}+c_2\dfrac{x^3}{3}+\ldots. \nonumber$$

Avaliar a derivada e a integral indefinida dessa maneira é chamada de diferenciação termo a termo de uma série de potências e integração termo a termo de uma série de potências, respectivamente. A capacidade de diferenciar e integrar séries de potência termo a termo também nos permite usar representações de séries de potência conhecidas para encontrar representações de séries de potência para outras funções. Por exemplo, dada a série de potência para$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$, podemos diferenciar termo a termo para encontrar a série de potência para$f′(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}$. Da mesma forma, usando a série de potências para$g(x)=\dfrac{1}{1+x}$, podemos integrar termo a termo para encontrar a série de potência para$G(x)=\ln(1+x)$, uma antiderivada de g. Mostramos como fazer isso em Exemplo$\PageIndex{6}$ e Exemplo$\PageIndex{7}$. Primeiro, declaramos o Note, que fornece o principal resultado em relação à diferenciação e integração de séries de potência.

Diferenciação e integração termo a prazo para Power Series

Suponha que a série de potência$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ converja no intervalo$(a−R,a+R)$ para alguns$R>0$. Seja f a função definida pela série

$$f(x)=\sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n=c_0+c_1(x−a)+c_2(x−a)^2+c_3(x−a)^3+\ldots \nonumber$$

para$|x−a|<R$. Então f é diferenciável no intervalo$(a−R,a+R)$ e podemos encontrar$f′$ diferenciando a série termo a termo:

$$f′(x)=\sum_{n=1}^∞ n c_n(x−a)^n−1=c_1+2c_2(x−a)+3c_3(x−a)^2+\ldots \nonumber$$

para$|x−a|<R.$ Além disso, para descobrir$∫f(x)\,dx$, podemos integrar a série termo a termo. A série resultante converge$(a−R,a+R),$ e temos

$$∫f(x)\,dx=C+\sum_{n=0}^∞c_n\dfrac{(x−a)^{n+1}}{n+1}=C+c_0(x−a)+c_1\dfrac{(x−a)^2}{2}+c_2\dfrac{(x−a)^3}{3}+\ldots \nonumber$$

para$|x−a|<R.$

A prova desse resultado está além do escopo do texto e é omitida. Observe que, embora o Note garanta o mesmo raio de convergência quando uma série de potência é diferenciada ou integrada termo a termo, ele não diz nada sobre o que acontece nos pontos finais. É possível que as séries de potência diferenciadas e integradas tenham um comportamento diferente nos pontos finais do que a série original. Vemos esse comportamento nos próximos exemplos.

Exemplo$\PageIndex{6}$: Differentiating Power Series

1. Use a representação da série de potência $$f(x)=\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n=1+x+x^2+x^3+\ldots \nonumber$$ $|x|<1$ para para encontrar uma representação da série de potência para $$g(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2} \nonumber$$ no intervalo$(−1,1).$ Determine se a série resultante converge nas extremidades.
2. Use o resultado da parte a. para avaliar a soma da série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\dfrac{n+1}{4^n}$.

Solução

a. Como$g(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}$ é a derivada de$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$, podemos encontrar uma representação da série de potência para g diferenciando a série de potência para f termo a termo. O resultado é

$$g(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}=\dfrac{d}{\,dx}(\dfrac{1}{1−x})=\sum_{n=0}^∞\dfrac{d}{\,dx}(x^n)=\dfrac{d}{\,dx}(1+x+x^2+x^3+\ldots)=0+1+2x+3x^2+4x^3+\ldots=\sum_{n=0}^∞(n+1)x^n \nonumber$$

para$|x|<1.$

Note$\PageIndex{1}$ que não garante nada sobre o comportamento desta série nos pontos finais. Testando os endpoints usando o teste de divergência, descobrimos que a série diverge em ambos os pontos finais$x=±1$. Observe que esse é o mesmo resultado encontrado em Example.

b. Da parte a. sabemos que

$$\sum_{n=0}^∞(n+1)x^n=\dfrac{1}{(1−x)^2}. \nonumber$$

Portanto,

\ [\ begin {align*}\ sum_ {n=0} ^∞\ dfrac {n+1} {4^n} &=\ sum_ {n=0} ^∞ (n+1)\ left (\ dfrac {1} {4}\ direita) ^n\\ [4pt]
&=\ dfrac {1} {\ left (1−\ dfrac {1} {4}\ direita) ^2}\\ [4pt]
&=\ dfrac {1} {\ left (\ dfrac {3} {4}\ direita) ^2}\\ [4pt]
& =\ dfrac {16} {9}\ end {align*}\]

Exercício$\PageIndex{5}$

Diferencie a série$\dfrac{1}{(1−x)^2}=\sum_{n=0}^∞(n+1)x^n$ termo a termo para encontrar uma representação da série de potência para$\dfrac{2}{(1−x)^3}$ no intervalo$(−1,1)$.

Dica

Escreva os primeiros termos e aplique a regra de potência.

Resposta

$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(n+2)(n+1)x^n$

Exemplo$\PageIndex{7}$: Integrating Power Series

Para cada uma das seguintes funções f, encontre uma representação da série de potência para f integrando a série de potência para$f′$ e encontre seu intervalo de convergência.

1. $f(x)=\ln(1+x)$
2. $f(x)=\tan^{−1}x$

Solução:

a. Pois$f(x)=\ln(1+x)$, a derivada é$f′(x)=\dfrac{1}{1+x}$. Nós sabemos disso

$$\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{1}{1−(−x)}=\sum_{n=0}^∞(−x)^n=1−x+x^2−x^3+\ldots\nonumber$$

para$|x|<1$. Para encontrar uma série de potência para$f(x)=\ln(1+x)$, integramos a série termo a termo.

$$∫f′(x)\,dx=∫(1−x+x^2−x^3+\ldots)\,dx=C+x−\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}−\dfrac{x^4}{4}+\ldots\nonumber$$

Uma vez que$f(x)=\ln(1+x)$ é uma antiderivada de$\dfrac{1}{1+x}$, resta resolver a constante$C$. Desde então$\ln(1+0)=0$, nós temos$C=0$. Portanto, uma representação de série de potência para$f(x)=\ln(1+x)$ é

$$\ln(1+x)=x−\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}−\dfrac{x^4}{4}+\ldots=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n} \text{ for } |x|<1.\nonumber$$

Note$\PageIndex{1}$ que não garante nada sobre o comportamento dessa série de potências nos pontos finais. No entanto, verificando os pontos finais, descobrimos que$x=1$ na série está a série harmônica alternada, que converge. Além disso, em$x=−1$, a série é a série harmônica, que diverge. É importante observar que, embora essa série converja para$x=1$, o Note não garante que a série realmente converja para$\ln(2)$. Na verdade, a série converge para$\ln(2)$, mas mostrar esse fato requer técnicas mais avançadas. (O teorema de Abel, abordado em textos mais avançados, trata desse ponto mais técnico.) O intervalo de convergência é$(−1,1]$.

b. A derivada de$f(x)=\tan^{−1}x$ é$f′(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$. Nós sabemos disso

$\displaystyle \dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{1}{1−(−x^2)}=\sum_{n=0}^∞(−x^2)^n=1−x^2+x^4−x^6+\ldots$

para$|x|<1$. Para encontrar uma série de potência para$f(x)=\tan^{−1}x$, integramos essa série termo a termo.

$$∫f′(x)\,dx=∫(1−x^2+x^4−x^6+\ldots)\,dx=C+x−\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}−\dfrac{x^7}{7}+\ldots \nonumber$$

Desde então$\tan^{−1}(0)=0$, nós temos$C=0$. Portanto, uma representação de série de potência para$f(x)=\tan^{−1}x$ é

$$\tan^{−1}x=x−\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}−\dfrac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\nonumber$$

para$|x|<1$. Novamente,$\PageIndex{1}$ o Note não garante nada sobre a convergência dessa série nos pontos finais. No entanto, verificando os pontos finais e usando o teste de séries alternadas, descobrimos que a série converge em$x=1$$x=−1$ e. Conforme discutido na parte a., usando o teorema de Abel, pode-se mostrar que a série realmente converge para$\tan^{−1}(1)$ e$\tan^{−1}(−1)$ em$x=1$ e$x=−1$, respectivamente. Assim, o intervalo de convergência é$[−1,1]$.

Exercício$\PageIndex{6}$

Integre a série de energia$\displaystyle \ln(1+x)=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n}$ termo a termo para avaliar$\displaystyle ∫\ln(1+x)\,dx.$

Dica

Use o fato de que$\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)n}$ é uma antiderivada de$\dfrac{x^n}{n}$.

Resposta

$\displaystyle \sum_{n=2}^∞\dfrac{(−1)^nx^n}{n(n−1)}$

Até este ponto, mostramos várias técnicas para encontrar representações de séries de potência para funções. No entanto, como sabemos que essas séries de potência são únicas? Ou seja, dada uma função$f$ e uma série de potências para$f$ at$a$, é possível que exista uma série de potência diferente para$f$ at a que poderíamos ter encontrado se tivéssemos usado uma técnica diferente? A resposta a essa pergunta é não. Esse fato não deve parecer surpreendente se pensarmos nas séries de potências como polinômios com um número infinito de termos. Intuitivamente, se

$$c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots=d_0+d_1x+d_2x^2+\ldots \nonumber$$

para todos os valores$x$ em algum intervalo aberto I cerca de zero, então os coeficientes$c_n$ devem ser iguais$d_n$ a$n≥0$. Agora declaramos esse resultado formalmente.

Exclusividade da série Power

Seja$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ e$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_n(x−a)^n$ seja duas séries de potências convergentes, tais que

$$\sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n=\sum_{n=0}^∞d_n(x−a)^n \nonumber$$

para todos os x em um intervalo aberto contendo$a$. Então,$c_n=d_n$ para todos$n≥0$.

Prova

Deixe

$$\begin{align*} f(x) =c_0+c_1(x−a)+c_2(x−a)^2+c_3(x−a)^3+\ldots \\ =d_0+d_1(x−a)+d_2(x−a)^2+d_3(x−a)^3+\ldots. \end{align*}$$

Então,$f(a)=c_0=d_0.$ por nota, podemos diferenciar as duas séries termo a termo. Portanto,

$$\begin{align*}f′(x) =c_1+2c_2(x−a)+3c_3(x−a)^2+\ldots \\ =d_1+2d_2(x−a)+3d_3(x−a)^2+\ldots,\end{align*}$$

e, portanto, da$f′(a)=c_1=d_1.$ mesma forma,

$$\begin{align*} f''(x) =2c_2+3⋅2c_3(x−a)+\ldots \\ =2d_2+3⋅2d_3(x−a)+\ldots\end{align*}$$

implica isso$f''(a)=2c_2=2d_2,$ e, portanto,$c_2=d_2$. De forma mais geral, para qualquer número inteiro$n≥0,f^{(n)} (a)=n!c_n=n!d_n,$ e, consequentemente,$c_n=d_n$ para todos$n≥0.$

□

Nesta seção, mostramos como encontrar representações de séries de potência para determinadas funções usando várias operações algébricas, diferenciação ou integração. Neste ponto, no entanto, ainda estamos limitados quanto às funções para as quais podemos encontrar representações de séries de potências. A seguir, mostramos como encontrar representações de séries de potência para muitas outras funções introduzindo a série Taylor.

Conceitos chave

• Dadas duas séries de potências$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ e$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ que convergem para funções$f$ e$g$ em um intervalo comum$I$, a soma e a diferença das duas séries convergem para$f±g$, respectivamente, em$I$. Além disso, para qualquer número real$b$ e inteiro$m≥0$, a série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞bx^mc_nx^n$ converge para$bx^mf(x)$ e a série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(bx^m)^n$ converge para$f(bx^m)$ sempre que$bx^m$ estiver no intervalo$I$.
• Dadas duas séries de potências que convergem em um intervalo,$(−R,R),$ o produto de Cauchy das duas séries de potências converge no intervalo$(−R,R)$.
• Dada uma série de potências que converge para uma função$f$ em um intervalo$(−R,R)$, a série pode ser diferenciada termo a termo e a série resultante converge para$f′$ on$(−R,R)$. A série também pode ser integrada termo a termo e a série resultante converge para$∫f(x)\,dx$ on$(−R,R)$.

Glossário

diferenciação termo a prazo de uma série de potências

uma técnica para avaliar a derivada de uma série de potências$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ avaliando a derivada de cada termo separadamente para criar a nova série de potências$\displaystyle \sum_{n=1}^∞nc_n(x−a)^{n−1}$

integração termo a prazo de uma série de potências

uma técnica para integrar uma série de potências$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ integrando cada termo separadamente para criar a nova série de potências$\displaystyle C+\sum_{n=0}^∞c_n\dfrac{(x−a)^{n+1}}{n+1}$