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10.5: Exercícios de revisão do capítulo 10

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    Verdadeiro ou falso? Nos exercícios 1 a 4, justifique sua resposta com uma prova ou um contra-exemplo.

    1) Se o raio de convergência para uma série de potência\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n\) for\(5\), então o raio de convergência para a série também\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞na_nx^{n−1}\) é\(5\).

    Resposta
    É verdade

    2) A série de potência pode ser usada para mostrar que a derivada de\(e^x\) é\(e^x\). (Dica: lembre-se disso\(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^∞\frac{1}{n!}x^n.\))

    3) Para valores pequenos de\(x,\)\(\sin x ≈ x.\)

    Resposta
    É verdade

    4) O raio de convergência para a série Maclaurin de\(f(x)=3^x\) é\(3\).

    Nos exercícios 5 a 8, determine o raio de convergência e o intervalo de convergência para a série dada.

    5)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞n^2(x−1)^n\)

    Resposta
    ROC:\(1\); COI:\((0,2)\)

    6)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{x^n}{n^n}\)

    7)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{3nx^n}{12^n}\)

    Resposta
    ROC:\(12;\) COI:\((−16,8)\)

    8)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{2^n}{e^n}(x−e)^n\)

    Nos exercícios 9 a 10, encontre a representação da série de potências para a função dada. Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência para essa série.

    9)\(f(x)=\dfrac{x^2}{x+3}\)

    Resposta
    \(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{3^{n+1}}x^n;\)ROC:\(3\); COI:\((−3,3)\)

    10)\(f(x)=\dfrac{8x+2}{2x^2−3x+1}\)

    Nos exercícios 11 a 12, encontre a série de potências para a função dada usando diferenciação ou integração termo a termo.

    11)\(f(x)=\tan^{−1}(2x)\)

    Resposta
    integração:\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{2n+1}(2x)^{2n+1}\)

    12)\(f(x)=\dfrac{x}{(2+x^2)^2}\)

    Nos exercícios 13 a 14, avalie a expansão da série Taylor do grau quatro para a função dada no ponto especificado. Qual é o erro na aproximação?

    13)\(f(x)=x^3−2x^2+4, \quad a=−3\)

    Resposta
    \(p_4(x)=(x+3)^3−11(x+3)^2+39(x+3)−41;\)exato

    14)\(f(x)=e^{1/(4x)}, \quad a=4\)

    Nos exercícios 15 a 16, encontre a série de Maclaurin para a função dada.

    15)\(f(x)=\cos(3x)\)

    Resposta
    \(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n(3x)^{2n}}{2n!}\)

    16)\(f(x)=\ln(x+1)\)

    Nos exercícios 17 a 18, encontre a série de Taylor no valor dado.

    17)\(f(x)=\sin x, \quad a=\frac{π}{2}\)

    Resposta
    \(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{(2n)!}\left(x−\frac{π}{2}\right)^{2n}\)

    18)\(f(x)=\dfrac{3}{x},\quad a=1\)

    Nos exercícios 19 a 20, encontre a série Maclaurin para a função dada.

    19)\(f(x)=e^{−x^2}−1\)

    Resposta
    \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^n}{n!}x^{2n}\)

    20)\(f(x)=\cos x−x\sin x\)

    Nos exercícios 21 a 23, encontre a série Maclaurin para\(F(x)=∫^x_0f(t)dt\) integrando a série Maclaurin\(f(x)\) termo a termo.

    21)\(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\)

    Resposta
    \(\displaystyle F(x)=\sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{(2n+1)(2n+1)!}x^{2n+1}\)

    22)\(f(x)=1−e^x\)

    23) Use séries de potência para provar a fórmula de Euler:\(e^{ix}=cosx+isinx\)

    Resposta
    As respostas podem variar.

    Os exercícios 24 a 26 consideram problemas de pagamento de anuidades.

    24) Para anuidades com um valor atual de\($1\) milhões, calcule os pagamentos anuais dados ao longo dos\(25\) anos assumindo taxas de juros de\(1\%,5\%\), e\(10\%.\)

    25) Um ganhador da loteria tem uma anuidade que tem um valor atual de\($10\) milhões. Qual taxa de juros eles precisariam para viver com pagamentos anuais perpétuos\($250,000\)?

    Resposta
    \(2.5\%\)

    26) Calcular o valor presente necessário de uma anuidade para apoiar os pagamentos anuais de\($15,000\) dados ao longo de\(25\) anos, assumindo taxas de juros de\(1\%,5\%\), e\(10\%.\)