11: Equações paramétricas e coordenadas polares
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As equações paramétricas definem um grupo de quantidades como funções de uma ou mais variáveis independentes chamadas parâmetros. As equações paramétricas são comumente usadas para expressar as coordenadas dos pontos que compõem um objeto geométrico, como uma curva ou superfície. Nesse caso, as equações são chamadas coletivamente de representação paramétrica ou parametrização. O sistema de coordenadas polares é um sistema de coordenadas bidimensional no qual cada ponto em um plano é determinado por uma distância de um ponto de referência e um ângulo de uma direção de referência. O ponto de referência (análogo à origem de um sistema cartesiano) é chamado de polo, e o raio do polo na direção de referência é o eixo polar. A distância do polo é chamada de coordenada radial ou raio, e o ângulo é chamado de coordenada angular, ângulo polar ou azimute
- 11.0: Prelúdio de equações paramétricas e coordenadas polares
- Neste capítulo, também estudamos equações paramétricas, que nos fornecem uma maneira conveniente de descrever curvas ou estudar a posição de uma partícula ou objeto em duas dimensões em função do tempo. Usaremos equações paramétricas e coordenadas polares para descrever muitos tópicos posteriormente neste texto.
- 11.1: Equações paramétricas
- Nesta seção, examinamos equações paramétricas e seus gráficos. No sistema de coordenadas bidimensional, as equações paramétricas são úteis para descrever curvas que não são necessariamente funções. O parâmetro é uma variável independente da qual x e y dependem e, à medida que o parâmetro aumenta, os valores de x e y traçam um caminho ao longo de uma curva plana.
- 11.2: Cálculo de curvas paramétricas
- Agora que introduzimos o conceito de curva parametrizada, nossa próxima etapa é aprender como trabalhar com esse conceito no contexto do cálculo. Por exemplo, se soubermos a parametrização de uma determinada curva, é possível calcular a inclinação de uma reta tangente à curva? E quanto ao comprimento do arco da curva? Ou a área abaixo da curva?
- 11.3: Coordenadas polares
- O sistema de coordenadas retangulares (ou plano cartesiano) fornece um meio de mapear pontos para pares ordenados e pares ordenados para pontos. Isso é chamado de mapeamento individual de pontos no plano para pares ordenados. O sistema de coordenadas polares fornece um método alternativo de mapeamento de pontos para pares ordenados. Nesta seção, vemos que, em algumas circunstâncias, as coordenadas polares podem ser mais úteis do que as coordenadas retangulares.
- 11.4: Área e comprimento do arco em coordenadas polares
- No sistema de coordenadas retangulares, a integral definida fornece uma forma de calcular a área sob uma curva. Em particular, se tivermos uma função y=f (x) definida de x=a a x=b onde f (x) >0 nesse intervalo, a área entre a curva e o eixo x é dada por A=f (x) dx. Esse fato, junto com a fórmula para avaliar essa integral, está resumido no Teorema Fundamental do Cálculo. Nesta seção, estudamos fórmulas análogas para área e comprimento do arco no sistema de coordenadas polares.
- 11.5: Seções cônicas
- As seções cônicas recebem esse nome porque podem ser geradas pela interseção de um plano com um cone. Um cone tem duas partes de formato idêntico chamadas nappes. As seções cônicas são geradas pela interseção de um plano com um cone. Se o plano for paralelo ao eixo de revolução (eixo y), a seção cônica é uma hipérbole. Se o plano for paralelo à linha geradora, a seção cônica é uma parábola. Se o plano for perpendicular ao eixo de revolução, a seção cônica é um círculo.