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11.2E: Exercícios para a Seção 11.2

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    Nos exercícios 1 a 4, cada conjunto de equações paramétricas representa uma linha. Sem eliminar o parâmetro, encontre a inclinação de cada linha.

    1)\(x=3+t,\quad y=1−t\)

    2)\( x=8+2t, \quad y=1\)

    Responda
    \(m=0\)

    3)\( x=4−3t, \quad y=−2+6t\)

    4)\( x=−5t+7, \quad y=3t−1\)

    Responda
    \(m= -\frac{3}{5}\)

    Nos exercícios 5 a 9, determine a inclinação da reta tangente e, em seguida, encontre a equação da reta tangente no valor dado do parâmetro.

    5)\( x=3\sin t,\quad y=3\cos t, \quad \text{for }t=\frac{π}{4}\)

    6)\( x=\cos t, \quad y=8\sin t, \quad \text{for }t=\frac{π}{2}\)

    Responda
    Inclinação\(=0; y=8.\)

    7)\( x=2t, \quad y=t^3, \quad \text{for } t=−1\)

    8)\( x=t+\dfrac{1}{t}, \quad y=t−\dfrac{1}{t}, \quad \text{for }t=1\)

    Responda
    A inclinação é indefinida;\( x=2\).

    9)\( x=\sqrt{t}, \quad y=2t, \quad \text{for }t=4\)

    Nos exercícios 10 a 13, encontre todos os pontos na curva que tenham a inclinação dada.

    10)\( x=4\cos t, \quad y=4\sin t,\) inclinação =\(0.5\)

    Solução
    \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = \dfrac{4\cos t}{-4\sin t} = - \cot t.\)
    Definindo essa derivada igual à que\(0.5,\) obtemos a equação,\(\tan t = -2.\)
    \( \tan t = -2 \implies \dfrac{y}{x} = -2 \implies y = -2x.\)
    Observe também que esse par de equações paramétricas representa o círculo.\(x^2 + y^2 = 16.\)
    Por substituição, descobrimos que essa curva tem um inclinação de\(0.5\) nos pontos:
    \(\left(\frac{4\sqrt{5}}{5},\frac{−8\sqrt{5}}{5}\right)\) e\(\left(\frac{-4\sqrt{5}}{5},\frac{8\sqrt{5}}{5}\right).\)

    11)\( x=2\cos t, \quad y=8\sin t,\) inclinação =\(−1\)

    12)\( x=t+\dfrac{1}{t}, \quad y=t−\dfrac{1}{t},\) inclinação =\(1\)

    Resposta
    Não há pontos possíveis; expressão indefinida.

    13)\( x=2+\sqrt{t}, \quad y=2−4t,\) inclinação =\(0\)

    Nos exercícios 14 a 16, escreva a equação da reta tangente em coordenadas cartesianas para o parâmetro dado\(t\).

    14)\( x=e^{\sqrt{t}}, \quad y=1−\ln t^2, \quad \text{for }t=1\)

    Resposta
    \( y=−\left(\frac{4}{e}\right)x+5\)

    15)\( x=t\ln t, \quad y=\sin^2t, \quad \text{for }t=\frac{π}{4}\)

    16)\( x=e^t, \quad y=(t−1)^2,\) em\((1,1)\)

    Resposta
    \( y=-2x+3\)

    17) Para\( x=\sin(2t), \quad y=2\sin t\) onde\( 0≤t<2π.\) Encontre todos os valores\(t\) nos quais existe uma linha tangente horizontal.

    18) Para\( x=\sin(2t), \quad y=2\sin t\) onde\( 0≤t<2π\). Encontre todos os valores\(t\) nos quais existe uma linha tangente vertical.

    Resposta
    Existe uma linha tangente vertical em\(t = \frac{π}{4},\frac{5π}{4},\frac{3π}{4},\frac{7π}{4}\)

    19) Encontre todos os pontos na curva\( x=4\cos(t), \quad y=4\sin(t)\) que tenham a inclinação de\( \frac{1}{2}\).

    20) Encontre\( \dfrac{dy}{dx}\) por\( x=\sin(t), \quad y=\cos(t)\).

    Resposta
    \( \dfrac{dy}{dx}=−\tan(t)\)

    21) Encontre a equação da reta tangente a\( x=\sin(t), \quad y=\cos(t)\) at\( t=\frac{π}{4}\).

    22) Para a curva,\( x=4t, \quad y=3t−2,\) encontre a inclinação e a concavidade da curva em\( t=3\).

    Resposta
    \( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3}{4}\)e\( \dfrac{d^2y}{dx^2}=0\), portanto, a curva não é côncava para cima nem côncava para baixo em\( t=3\). Portanto, o gráfico é linear e tem uma inclinação constante, mas não tem concavidade.

    23) Para a curva paramétrica cuja equação é\( x=4\cos θ, \quad y=4\sin θ\), encontre a inclinação e a concavidade da curva em\( θ=\frac{π}{4}\).

    24) Encontre a inclinação e a concavidade para a curva cuja equação está\( x=2+\sec θ, \quad y=1+2\tan θ\) em\( θ=\frac{π}{6}\).

    Resposta
    \( \dfrac{dy}{dx}=4, \quad \dfrac{d^2y}{dx^2}=−4\sqrt{3};\)a curva é côncava abaixo em\( θ=\frac{π}{6}\).

    25) Encontre todos os pontos na curva\( x=t+4, \quad y=t^3−3t\) em que existem tangentes verticais e horizontais.

    26) Encontre todos os pontos\( x=\sec θ, \quad y=\tan θ\) na curva nos quais existem tangentes horizontal e vertical.

    Resposta
    Sem tangentes horizontais. Tangentes verticais em\( (1,0)\)\((−1,0)\) e.

    Nos exercícios 27 a 29, encontre\( d^2y/dx^2\).

    27)\( x=t^4−1, \quad y=t−t^2\)

    28)\( x=\sin(πt), \quad y=\cos(πt)\)

    Resposta
    \( d^2y/dx^2 = −\sec^3(πt)\)

    29)\( x=e^{−t}, \quad y=te^{2t}\)

    Nos exercícios 30 a 31, encontre pontos na curva nos quais a reta tangente seja horizontal ou vertical.

    30)\( x=t(t^2−3), \quad y=3(t^2−3)\)

    Resposta
    Horizontal\( (0,−9)\);
    Vertical\( (±2,−6).\)

    31)\( x=\dfrac{3t}{1+t^3}, \quad y=\dfrac{3t^2}{1+t^3}\)

    Nos exercícios 32 a 34, encontre\( dy/dx\) o valor do parâmetro.

    32)\( x=\cos t,y=\sin t, \quad \text{for }t=\frac{3π}{4}\)

    Resposta
    \(dy/dx = 1\)

    33)\( x=\sqrt{t}, \quad y=2t+4,t=9\)

    34)\( x=4\cos(2πs), \quad y=3\sin(2πs), \quad \text{for }s=−\frac{1}{4}\)

    Resposta
    \(dy/dx = 0\)

    Nos exercícios 35 a 36, encontre o\( d^2y/dx^2\) ponto determinado sem eliminar o parâmetro.

    (35)\( x=\frac{1}{2}t^2, \quad y=\frac{1}{3}t^3, \quad \text{for }t=2\)

    36)\( x=\sqrt{t}, \quad y=2t+4, \quad \text{for }t=1\)

    Resposta
    \(d^2y/dx^2 = 4\)

    37) Encontre intervalos\(t\) nos quais a curva\( x=3t^2, \quad y=t^3−t\) é côncava para cima e côncava para baixo.

    38) Determine a concavidade da curva\( x=2t+\ln t, \quad y=2t−\ln t\).

    Resposta
    Côncavo para cima\( t>0\).

    39) Desenhe e encontre a área sob um arco do ciclóide\( x=r(θ−\sin θ), \quad y=r(1−\cos θ)\).

    40) Encontre a área delimitada pela curva\( x=\cos t, \quad y=e^t, \quad \text{for }0≤t≤\frac{π}{2}\) e pelas linhas\( y=1\)\( x=0\) e.

    Resposta
    \(1\text{ unit}^2\)

    41) Encontre a área delimitada pela elipse\( x=a\cos θ, \quad y=b\sin θ, \quad \text{for }0≤θ<2π.\)

    42) Encontre a área da região delimitada por\( x=2\sin^2θ, \quad y=2\sin^2θ\tan θ\), para\( 0≤θ≤\frac{π}{2}\).

    Resposta
    \( \frac{3π}{2}\text{ units}^2\)

    Nos exercícios 43 a 46, encontre a área das regiões delimitadas pelas curvas paramétricas e os valores indicados do parâmetro.

    43)\( x=2\cot θ, \quad y=2\sin^2θ, \quad \text{for }0≤θ≤π\)

    44) [T]\( x=2a\cos t−a\cos(2t), \quad y=2a\sin t−a\sin(2t), \quad \text{for }0≤t<2π\)

    Resposta
    \( 6πa^2\text{ units}^2\)

    45) [T]\( x=a\sin(2t), \quad y=b\sin(t), \quad \text{for }0≤t<2π\) (a “ampulheta”)

    46) [T]\( x=2a\cos t−a\sin(2t), \quad y=b\sin t, \quad \text{for }0≤t<2π\) (a “lágrima”)

    Resposta
    \( 2πab\text{ units}^2\)

    Nos exercícios 47 a 52, encontre o comprimento do arco da curva no intervalo indicado do parâmetro.

    47)\( x=4t+3, \quad y=3t−2, \quad \text{for }0≤t≤2\)

    48)\( x=\frac{1}{3}t^3, \quad y=\frac{1}{2}t^2, \quad \text{for }0≤t≤1\)

    Resposta
    \( s = \frac{1}{3}(2\sqrt{2}−1)\)unidades

    49)\( x=\cos(2t), \quad y=\sin(2t), \quad \text{for }0≤t≤\frac{π}{2}\)

    50)\( x=1+t^2, \quad y=(1+t)^3, \quad \text{for }0≤t≤1\)

    Resposta
    \(s = 7.075\)unidades

    51)\( x=e^t\cos t, \quad y=e^t\sin t, \quad \text{for }0≤t≤\frac{π}{2}\) (expresse a resposta como um decimal arredondado para três casas)

    52)\( x=a\cos^3θ, \quad y=a\sin^3θ\) no intervalo\( [0,2π)\) (o hipociclóide)

    Resposta
    \( s = 6a\)unidades

    53) Encontre o comprimento de um arco do ciclóide\( x=4(t−\sin t), \quad y=4(1−\cos t).\)

    54) Encontre a distância percorrida por uma partícula com a posição\( (x,y)\) que\(t\) varia no intervalo de tempo dado:\( x=\sin^2t, \quad y=\cos^2t, \quad \text{for }0≤t≤3π\).

    Resposta
    \( 6\sqrt{2}\)unidades

    55) Encontre o comprimento de um arco do ciclóide\( x=θ−\sin θ, \quad y=1−\cos θ\).

    56) Mostre que o comprimento total da elipse\( x=4\sin θ, \quad y=3\cos θ\) é\( \displaystyle L=16∫^{π/2}_0\sqrt{1−e^2\sin^2θ}\,dθ\), onde\( e=\frac{c}{a}\)\( c=\sqrt{a^2−b^2}\) e.

    57) Encontre o comprimento da curva\( x=e^t−t, \quad y=4e^{t/2}, \quad \text{for }−8≤t≤3.\)

    Nos exercícios 58 a 59, determine a área da superfície obtida girando a curva dada em torno do\(x\) eixo.

    (58)\( x=t^3, \quad y=t^2, \quad \text{for }0≤t≤1\)

    Resposta
    \( \dfrac{2π(247\sqrt{13}+64)}{1215}\text{ units}^2\)

    (59)\( x=a\cos^3θ, \quad y=a\sin^3θ, \quad \text{for }0≤θ≤\frac{π}{2}\)

    60) [T] Use um CAS para encontrar a área da superfície gerada pela rotação em\( x=t+t^3, \quad y=t−\frac{1}{t^2}, \quad \text{for }1≤t≤2\) torno do\(x\) eixo. (Responda com três casas decimais.)

    Resposta
    \(59.101\text{ units}^2\)

    61) Encontre a área da superfície obtida girando em\( x=3t^2, \quad y=2t^3, \quad \text{for }0≤t≤5\) torno\(y\) do eixo.

    62) Encontre a área da superfície gerada pela rotação em\( x=t^2, \quad y=2t, \quad \text{for }0≤t≤4\) torno do\(x\) eixo.

    Resposta
    \( \frac{8π}{3}(17\sqrt{17}−1) \text{ units}^2\)

    63) Encontre a área da superfície gerada pela rotação em\( x=t^2, \quad y=2t^2, \quad \text{for }0≤t≤1\) torno do\(y\) eixo.