11.4E: Exercícios para a Seção 11.4

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Nos exercícios 1 a 13, determine uma integral definida que represente a área.

1) Região delimitada por\(r=4\)

2) Região delimitada por\(r=3\sin θ\)

Responda: \(\displaystyle\frac{9}{2}∫^π_0\sin^2θ\,dθ\)

3) Região no primeiro quadrante dentro do cardióide\(r=1+\sin θ\)

4) Região cercada por uma pétala de\(r=8\sin(2θ)\)

Responda: \(\displaystyle\frac{3}{2}∫^{π/2}_0\sin^2(2θ)\,dθ\)

5) Região cercada por uma pétala de\(r=cos(3θ)\)

6) Região abaixo do eixo polar e delimitada por\(r=1−\sin θ\)

Responda: \(\displaystyle\frac{1}{2}∫^{2π}_π(1−\sin θ)^2\,dθ\)

7) Região no primeiro quadrante delimitada por\(r=2−\cos θ\)

8) Região delimitada pelo circuito interno de\(r=2−3\sin θ\)

Responda: \(\displaystyle∫^{π/2}_{\sin^{−1}(2/3)}(2−3\sin θ)^2\,dθ\)

9) Região delimitada pelo circuito interno de\(r=3−4\cos θ\)

10) Região delimitada por\(r=1−2\cos θ\) e fora do circuito interno

Responda: \(\displaystyle∫^π_0(1−2\cos θ)^2\,dθ−∫^{π/3}_0(1−2\cos θ)^2\,dθ\)

11) Região comum a\(r=3\sin θ\) e\(r=2−\sin θ\)

12) Região comum a\(r=2\) e\(r=4\cos θ\)

Responda: \(\displaystyle4∫^{π/3}_0\,dθ+16∫^{π/2}_{π/3}(\cos^2θ)\,dθ\)

13) Região comum a\(r=3\cos θ\) e\(r=3\sin θ\)

Nos exercícios 14 a 26, encontre a área da região descrita.

14) Encerrado por\(r=6\sin θ\)

Responda: \(9π\text{ units}^2\)

15) Acima do eixo polar delimitado por\(r=2+\sin θ\)

16) Abaixo do eixo polar e delimitado por\(r=2−\cos θ\)

Responda: \(\frac{9π}{4}\text{ units}^2\)

17) Encerrado por uma pétala de\(r=4\cos(3θ)\)

18) Encerrado por uma pétala de\(r=3\cos(2θ)\)

Responda: \(\frac{9π}{8}\text{ units}^2\)

19) Encerrado por\(r=1+\sin θ\)

20) Encerrado pelo circuito interno de\(r=3+6\cos θ\)

Responda: \(\frac{18π−27\sqrt{3}}{2}\text{ units}^2\)

21) Encerrado por\(r=2+4\cos θ\) e fora do circuito interno

22) Interior comum de\(r=4\sin(2θ)\) e\(r=2\)

Responda: \(\frac{4}{3}(4π−3\sqrt{3})\text{ units}^2\)

23) Interior comum de\(r=3−2\sin θ\) e\(r=−3+2\sin θ\)

24) Interior comum de\(r=6\sin θ\) e\(r=3\)

Responda: \(\frac{3}{2}(4π−3\sqrt{3})\text{ units}^2\)

25) Dentro\(r=1+\cos θ\) e fora\(r=\cos θ\)

26) Interior comum de\(r=2+2\cos θ\) e\(r=2\sin θ\)

Responda: \((2π−4)\text{ units}^2\)

Nos exercícios 27 a 30, encontre uma integral definida que represente o comprimento do arco.

27)\(r=4\cos θ\) no intervalo\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)

28)\(r=1+\sin θ\) no intervalo\(0≤θ≤2π\)

Responda: \(\displaystyle∫^{2π}_0\sqrt{(1+\sin θ)^2+\cos^2θ}\,dθ\)

29)\(r=2\sec θ\) no intervalo\(0≤θ≤\frac{π}{3}\)

30)\(r=e^θ\) no intervalo\(0≤θ≤1\)

Responda: \(\displaystyle\sqrt{2}∫^1_0e^θ\,dθ\)

Nos exercícios 31 a 35, determine o comprimento da curva ao longo do intervalo determinado.

31)\(r=6\) no intervalo\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)

32)\(r=e^{3θ}\) no intervalo\(0≤θ≤2\)

Responda: \(\frac{\sqrt{10}}{3}(e^6−1)\)unidades

33)\(r=6\cos θ\) no intervalo\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)

34)\(r=8+8\cos θ\) no intervalo\(0≤θ≤π\)

Responda: \(32\)unidades

35)\(r=1−\sin θ\) no intervalo\(0≤θ≤2π\)

Nos exercícios 36 a 40, use os recursos de integração de uma calculadora para aproximar o comprimento da curva.

36) [T]\(r=3θ\) no intervalo\(0≤θ≤\frac{π}{2}\)

Responda: \(6.238\)unidades

37) [T]\(r=\dfrac{2}{θ}\) no intervalo\(π≤θ≤2π\)

38) [T]\(r=\sin^2\left(\frac{θ}{2}\right)\) no intervalo\(0≤θ≤π\)

Responda: \(2\)unidades

39) [T]\(r=2θ^2\) no intervalo\(0≤θ≤π\)

40) [T]\(r=\sin(3\cos θ)\) no intervalo\(0≤θ≤π\)

Resposta: \(4.39\)unidades

Nos exercícios 41 a 43, use a fórmula familiar da geometria para encontrar a área da região descrita e, em seguida, confirme usando a integral definida.

41)\(r=3\sin θ\) no intervalo\(0≤θ≤π\)

42)\(r=\sin θ+\cos θ\) no intervalo\(0≤θ≤π\)

Resposta: \(A=π\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{π}{2}\text{ units}^2\)e\(\displaystyle\frac{1}{2}∫^π_0(1+2\sin θ\cos θ)\,dθ=\frac{π}{2}\text{ units}^2\)

43)\(r=6\sin θ+8\cos θ\) no intervalo\(0≤θ≤π\)

Nos exercícios 44 a 46, use a fórmula familiar da geometria para encontrar o comprimento da curva e, em seguida, confirme usando a integral definida.

44)\(r=3\sin θ\) no intervalo\(0≤θ≤π\)

Resposta: \(C=2π\left(\frac{3}{2}\right)=3π\)unidades e\(\displaystyle∫^π_03\,dθ=3π\) unidades

45)\(r=\sin θ+\cos θ\) no intervalo\(0≤θ≤π\)

46)\(r=6\sin θ+8\cos θ\) no intervalo\(0≤θ≤π\)

Resposta: \(C=2π(5)=10π\)unidades e\(\displaystyle∫^π_010\,dθ=10π\) unidades

47) Verifique se\(y=r\sin θ=f(θ)\sin θ\), se então\(\dfrac{dy}{dθ}=f'(θ)\sin θ+f(θ)\cos θ.\)

Nos exercícios 48 a 56, determine a inclinação de uma reta tangente a uma curva polar\(r=f(θ)\). Deixe\(x=r\cos θ=f(θ)\cos θ\) e\(y=r\sin θ=f(θ)\sin θ\), então a equação polar agora\(r=f(θ)\) está escrita em forma paramétrica.

48) Use a definição da derivada\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dθ}{dx/dθ}\) e a regra do produto para derivar a derivada de uma equação polar.

Resposta: \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{f′(θ)\sin θ+f(θ)\cos θ}{f′(θ)\cos θ−f(θ)\sin θ}\)

49)\(r=1−\sin θ; \; \left(\frac{1}{2},\frac{π}{6}\right)\)

50)\(r=4\cos θ; \; \left(2,\frac{π}{3}\right)\)

Resposta: A inclinação é\(\frac{1}{\sqrt{3}}\).

51)\(r=8\sin θ; \; \left(4,\frac{5π}{6}\right)\)

52)\(r=4+\sin θ; \; \left(3,\frac{3π}{2}\right)\)

Resposta: A inclinação é 0.

53)\(r=6+3\cos θ; \; (3,π)\)

54)\(r=4\cos(2θ);\) pontas das folhas

Resposta: \((4,0),\)No declive é indefinido. Em\(\left(−4,\frac{π}{2}\right)\), a inclinação é 0.

55)\(r=2\sin(3θ);\) pontas das folhas

(56)\(r=2θ; \; \left(\frac{π}{2},\frac{π}{4}\right)\)

Resposta: A inclinação é indefinida em\(θ=\frac{π}{4}\).

57) Encontre os pontos no intervalo\(−π≤θ≤π\) em que o cardióide\(r=1−\cos θ\) tem uma linha tangente vertical ou horizontal.

58) Para o cardióide,\(r=1+\sin θ,\) encontre a inclinação da reta tangente quando\(θ=\frac{π}{3}\).

Resposta: Inclinação = −1.

Nos exercícios 59 - 62, encontre a inclinação da reta tangente à curva polar dada no ponto dado pelo valor de\(θ\).

(59)\(r=3\cos θ,\; θ=\frac{π}{3}\)

60)\(r=θ, \; θ=\frac{π}{2}\)

Resposta: A inclinação é\(\frac{−2}{π}\).

61)\(r=\ln θ, \; θ=e\)

62) [T] Use a tecnologia:\(r=2+4\cos θ\) em\(θ=\frac{π}{6}\)

Resposta: Resposta da calculadora: −0,836.

Nos exercícios 63 a 66, encontre os pontos nos quais as seguintes curvas polares têm uma linha tangente horizontal ou vertical.

63)\(r=4\cos θ\)

64)\(r^2=4\cos(2θ)\)

Resposta: Tangente horizontal em\(\left(±\sqrt{2},\frac{π}{6}\right), \; \left(±\sqrt{2},−\frac{π}{6}\right)\).

65)\(r=2\sin(2θ)\)

6) O cardióide\(r=1+\sin θ\)

Resposta: Tangentes horizontais em tangentes\(\frac{π}{2},\, \frac{7π}{6},\, \frac{11π}{6}.\)
verticais em\(\frac{π}{6},\, \frac{5π}{6}\) e também no pólo\((0,0)\).

67) Mostre que a curva\(r=\sin θ\tan θ\) (chamada de cissoide de Diocles) tem a linha\(x=1\) como assíntota vertical.