11.6: Exercícios de revisão do capítulo 11

Last updated
Save as PDF

Page ID: 187871

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$ \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} $

$ \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} $

$ \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} $

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$ \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} $

$ \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} $

$ \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} $

$ \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} $

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}$

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$ $\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$ $\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$ $\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$ $\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$ $\newcommand{\evec}{\mathbf e}$ $\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$ $\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$ $\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$ $\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$ $\newcommand{\svec}{\mathbf s}$ $\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$ $\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$ $\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$ $\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$ $\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$ $\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$ $\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$ $\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$ $\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$ $\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$ $\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$ $\newcommand{\real}{\mathbb R}$ $\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$ $\newcommand{\bcal}{\cal B}$ $\newcommand{\ccal}{\cal C}$ $\newcommand{\scal}{\cal S}$ $\newcommand{\wcal}{\cal W}$ $\newcommand{\ecal}{\cal E}$ $\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$ $\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$ $\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$ $\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$ $\newcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\col}{\text{Col}}$ $\renewcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$ $\newcommand{\var}{\text{Var}}$ $\newcommand{\corr}{\text{corr}}$ $\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$ $\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$ $\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$ $\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$ $\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$ $\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$ $\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$ $\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$ $\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$ $\newcommand{\lt}{<}$ $\newcommand{\gt}{>}$ $\newcommand{\amp}{&}$ $\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta com uma prova ou um contra-exemplo.

1) As coordenadas retangulares do ponto$\left(4,\frac{5π}{6}\right)$ são$\left(2\sqrt{3},−2\right).$

2) As equações$x=\cosh(3t), \; y=2\sinh(3t)$ representam uma hipérbole.

Responda: É verdade

3) O comprimento do arco da espiral dado por$r=\dfrac{θ}{2}$ for$0≤θ≤3π$ é de$\frac{9}{4}π^3$ unidades.

4) Dado$x=f(t)$ e$y=g(t)$, se$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{dy}{dx}$, então$f(t)=g(t)+C,$ onde$C$ é uma constante.

Responda: Falso. Imagine$y=t+1, \; x=−t+1.$

Nos exercícios 5 a 8, esboce a curva paramétrica e elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.

5)$x=1+t, \; y=t^2−1, \quad −1≤t≤1$

6)$x=e^t, \; y=1−e^{3t}, \quad 0≤t≤1$

Responda

$y=1−x^3$

$Gráfico de uma curva começando em (1, 0) e diminuindo até o quarto quadrante.$

7)$x=\sin θ, \; y=1−\csc θ, \quad 0≤θ≤2π$

8)$x=4\cos ϕ, \; y=1−\sin ϕ, \quad 0≤ϕ≤2π$

Responda

$\dfrac{x^2}{16}+(y−1)^2=1$

$Gráfico de uma elipse com centro (0, 1), eixo maior horizontal e de comprimento 8 e eixo menor de comprimento 2.$

Nos exercícios 9 a 10, esboce a curva polar e determine que tipo de simetria existe, se houver.

9)$r=4\sin\left(\frac{θ}{3}\right)$

10)$r=5\cos(5θ)$

Responda

Simétrico em relação ao eixo polar

$Gráfico de uma rosa de cinco pétalas com pétala inicial em θ = 0.$

Nos exercícios 11 a 12, encontre a equação polar para a curva dada como uma equação cartesiana.

11)$x+y=5$

12)$y^2=4+x^2$

Responda: $r^2=\dfrac{4}{\sin^2θ−\cos^2θ}$

Nos exercícios 13 a 14, encontre a equação da reta tangente à curva dada. Faça um gráfico da função e de sua linha tangente.

13)$x=\ln(t),\; y=t^2−1, \; t=1$

14)$r=3+\cos(2θ), \; θ=\frac{3π}{4}$

Responda

$y=\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{5}\left(x+\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$

$Gráfico de uma figura em forma de amendoim, com interceptos y em ±2 e x interceptos em ±4. A reta tangente ocorre no segundo quadrante.$

15) Encontre$\dfrac{dy}{dx}, \; \dfrac{dx}{dy},$ e$\dfrac{d^2x}{dy^2}$ de$y=(2+e^{−t}), \; x=1−\sin t$

Nos exercícios 16 a 17, encontre a área da região.

16)$x=t^2, \; y=\ln(t), \quad 0≤t≤e$

Responda: $\dfrac{e^2}{2}\text{ units}^2$

17)$r=1−\sin θ$ no primeiro quadrante

Nos exercícios 18 a 19, determine o comprimento do arco da curva ao longo do intervalo determinado.

18)$x=3t+4, \; y=9t−2, \quad 0≤t≤3$

Responda: $9\sqrt{10}$unidades

19)$r=6\cos θ,\quad 0≤θ≤2π.$ Verifique sua resposta por geometria.

Nos exercícios 20 a 22, encontre a equação cartesiana que descreve as formas dadas.

20) Uma parábola com foco$(2,−5)$ e diretriz$x=6$

Responda: $(y+5)^2=−8x+32$

21) Uma elipse com um comprimento de eixo maior de 10 e focos em$(−7,2)$ e$(1,2)$

22) Uma hipérbole com vértices em$(3,−2)$$(−5,−2)$ e e focos em$(−2,−6)$ e$(−2,4)$

Responda: $\dfrac{(y+1)^2}{16}−\dfrac{(x+2)^2}{9}=1$

Nos exercícios 23 a 25, determine a excentricidade e identifique a cônica. Esboce a cônica.

23)$r=\dfrac{6}{1+3\cos θ}$

24)$r=\dfrac{4}{3−2\cos θ}$

Responda

$e=\frac{2}{3}$, elipse

$Gráfico de uma elipse com centro próximo (1,5, 0), eixo maior próximo de 5 e horizontal e eixo menor quase 4.$

25)$r=\dfrac{7}{5−5\cos θ}$

26) Determine a equação cartesiana que descreve a órbita de Plutão, a órbita mais excêntrica ao redor do Sol. O comprimento do eixo principal é 39,26 UA e o eixo menor é 38,07 UA. Qual é a excentricidade?

Responda: $\dfrac{y^2}{19.03^2}+\dfrac{x^2}{19.63^2}=1, \quad e=0.2447$

27) O cometa C/1980 E1 foi observado em 1980. Dada uma excentricidade$1.057$ e um periélio (ponto de aproximação mais próximo do Sol) de$3.364$ AU, encontre as equações cartesianas que descrevem a trajetória do cometa. Temos a garantia de ver esse cometa novamente? (Dica: considere o Sol em um ponto$(0,0)$.)