11.6: Exercícios de revisão do capítulo 11

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta com uma prova ou um contra-exemplo.

1) As coordenadas retangulares do ponto$\left(4,\frac{5π}{6}\right)$ são$\left(2\sqrt{3},−2\right).$

2) As equações$x=\cosh(3t), \; y=2\sinh(3t)$ representam uma hipérbole.

Responda: É verdade

3) O comprimento do arco da espiral dado por$r=\dfrac{θ}{2}$ for$0≤θ≤3π$ é de$\frac{9}{4}π^3$ unidades.

4) Dado$x=f(t)$ e$y=g(t)$, se$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{dy}{dx}$, então$f(t)=g(t)+C,$ onde$C$ é uma constante.

Responda: Falso. Imagine$y=t+1, \; x=−t+1.$

Nos exercícios 5 a 8, esboce a curva paramétrica e elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.

5)$x=1+t, \; y=t^2−1, \quad −1≤t≤1$

6)$x=e^t, \; y=1−e^{3t}, \quad 0≤t≤1$

Responda

$y=1−x^3$

$Gráfico de uma curva começando em (1, 0) e diminuindo até o quarto quadrante.$

7)$x=\sin θ, \; y=1−\csc θ, \quad 0≤θ≤2π$

8)$x=4\cos ϕ, \; y=1−\sin ϕ, \quad 0≤ϕ≤2π$

Responda

$\dfrac{x^2}{16}+(y−1)^2=1$

$Gráfico de uma elipse com centro (0, 1), eixo maior horizontal e de comprimento 8 e eixo menor de comprimento 2.$

Nos exercícios 9 a 10, esboce a curva polar e determine que tipo de simetria existe, se houver.

9)$r=4\sin\left(\frac{θ}{3}\right)$

10)$r=5\cos(5θ)$

Responda

Simétrico em relação ao eixo polar

$Gráfico de uma rosa de cinco pétalas com pétala inicial em θ = 0.$

Nos exercícios 11 a 12, encontre a equação polar para a curva dada como uma equação cartesiana.

11)$x+y=5$

12)$y^2=4+x^2$

Responda: $r^2=\dfrac{4}{\sin^2θ−\cos^2θ}$

Nos exercícios 13 a 14, encontre a equação da reta tangente à curva dada. Faça um gráfico da função e de sua linha tangente.

13)$x=\ln(t),\; y=t^2−1, \; t=1$

14)$r=3+\cos(2θ), \; θ=\frac{3π}{4}$

Responda

$y=\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{5}\left(x+\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$

$Gráfico de uma figura em forma de amendoim, com interceptos y em ±2 e x interceptos em ±4. A reta tangente ocorre no segundo quadrante.$

15) Encontre$\dfrac{dy}{dx}, \; \dfrac{dx}{dy},$ e$\dfrac{d^2x}{dy^2}$ de$y=(2+e^{−t}), \; x=1−\sin t$

Nos exercícios 16 a 17, encontre a área da região.

16)$x=t^2, \; y=\ln(t), \quad 0≤t≤e$

Responda: $\dfrac{e^2}{2}\text{ units}^2$

17)$r=1−\sin θ$ no primeiro quadrante

Nos exercícios 18 a 19, determine o comprimento do arco da curva ao longo do intervalo determinado.

18)$x=3t+4, \; y=9t−2, \quad 0≤t≤3$

Responda: $9\sqrt{10}$unidades

19)$r=6\cos θ,\quad 0≤θ≤2π.$ Verifique sua resposta por geometria.

Nos exercícios 20 a 22, encontre a equação cartesiana que descreve as formas dadas.

20) Uma parábola com foco$(2,−5)$ e diretriz$x=6$

Responda: $(y+5)^2=−8x+32$

21) Uma elipse com um comprimento de eixo maior de 10 e focos em$(−7,2)$ e$(1,2)$

22) Uma hipérbole com vértices em$(3,−2)$$(−5,−2)$ e e focos em$(−2,−6)$ e$(−2,4)$

Responda: $\dfrac{(y+1)^2}{16}−\dfrac{(x+2)^2}{9}=1$

Nos exercícios 23 a 25, determine a excentricidade e identifique a cônica. Esboce a cônica.

23)$r=\dfrac{6}{1+3\cos θ}$

24)$r=\dfrac{4}{3−2\cos θ}$

Responda

$e=\frac{2}{3}$, elipse

$Gráfico de uma elipse com centro próximo (1,5, 0), eixo maior próximo de 5 e horizontal e eixo menor quase 4.$

25)$r=\dfrac{7}{5−5\cos θ}$

26) Determine a equação cartesiana que descreve a órbita de Plutão, a órbita mais excêntrica ao redor do Sol. O comprimento do eixo principal é 39,26 UA e o eixo menor é 38,07 UA. Qual é a excentricidade?

Responda: $\dfrac{y^2}{19.03^2}+\dfrac{x^2}{19.63^2}=1, \quad e=0.2447$

27) O cometa C/1980 E1 foi observado em 1980. Dada uma excentricidade$1.057$ e um periélio (ponto de aproximação mais próximo do Sol) de$3.364$ AU, encontre as equações cartesianas que descrevem a trajetória do cometa. Temos a garantia de ver esse cometa novamente? (Dica: considere o Sol em um ponto$(0,0)$.)