11.5E: Exercícios para a Seção 11.5

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Nos exercícios 1 a 8, determine a equação da parábola usando as informações fornecidas.

1) Foco$(4,0)$ e diretriz$x=−4$

Resposta: $y^2=16x$

2) Foco$(0,−3)$ e diretriz$y=3$

3) Foco$(0,0.5)$ e diretriz$y=−0.5$

Resposta: $x^2=2y$

4) Foco$(2,3)$ e diretriz$x=−2$

5) Foco$(0,2)$ e diretriz$y=4$

Resposta: $x^2=−4(y−3)$

6) Foco$(−1,4)$ e diretriz$x=5$

7) Foco$(−3,5)$ e diretriz$y=1$

Resposta: $(x+3)^2=8(y−3)$

8) Foco$\left(\frac{5}{2},−4\right)$ e diretriz$x=\frac{7}{2}$

Nos exercícios 9 a 16, determine a equação da elipse usando as informações fornecidas.

9) Extremidades do eixo principal em$(4,0),\;(−4,0)$ e focos localizados em$(2,0),\;(−2,0)$

Resposta: $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$

10) Extremidades do eixo principal em$(0,5),\;(0,−5)$ e focos localizados em$(0,3),\;(0,−3)$

11) Extremidades do eixo principal em$(0,2),\;(0,−2)$ e focos localizados em$(3,0),\;(−3,0)$

Resposta: $\dfrac{x^2}{13}+\dfrac{y^2}{4}=1$

12) Extremidades do eixo principal em$(−3,3),\;(7,3)$ e focos localizados em$(−2,3),\;(6,3)$

13) Extremidades do eixo principal em$(−3,5),\;(−3,−3)$ e focos localizados em$(−3,3),\;(−3,−1)$

Resposta: $\dfrac{(y−1)^2}{16}+\dfrac{(x+3)^2}{12}=1$

14) Extremidades do eixo principal em$(0,0),\;(0,4)$ e focos localizados em$(5,2),\;(−5,2)$

15) Focos localizados$(2,0),\;(−2,0)$ e excentricidade de$\frac{1}{2}$

Resposta: $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$

16) Focos localizados$(0,−3),\;(0,3)$ e excentricidade de$\frac{3}{4}$

Nos exercícios 17 a 24, determine a equação da hipérbole usando as informações fornecidas.

17) Vértices localizados em$(5,0),\;(−5,0)$ e focos localizados em$(6,0),\;(−6,0)$

Resposta: $\frac{x^2}{25}−\frac{y^2}{11}=1$

18) Vértices localizados em$(0,2),\;(0,−2)$ e focos localizados em$(0,3),\;(0,−3)$

19) Extremidades do eixo conjugado localizado em$(0,3),\;(0,−3)$ e focos localizados$(4,0),\;(−4,0)$

Resposta: $\dfrac{x^2}{7}−\dfrac{y^2}{9}=1$

20) Vértices localizados em$(0,1),\;(6,1)$ e foco localizado em$(8,1)$

21) Vértices localizados em$(−2,0),\;(−2,−4)$ e foco localizado em$(−2,−8)$

Resposta: $\dfrac{(y+2)^2}{4}−\dfrac{(x+2)^2}{32}=1$

22) Extremidades do eixo conjugado localizado em$(3,2),\;(3,4)$ e foco localizado em$(3,7)$

23) Focos localizados$(6,−0),\;(6,0)$ e excentricidade de$3$

Resposta: $\dfrac{x^2}{4}−\dfrac{y^2}{32}=1$

24)$(0,10),\;(0,−10)$ e excentricidade de 2,5

Nos exercícios 25 a 30, considere as seguintes equações polares de cônicas. Determine a excentricidade e identifique a cônica.

25)$r=\dfrac{−1}{1+\cos θ}$

Resposta: $e=1,$parábola

26)$r=\dfrac{8}{2−\sin θ}$

27)$r=\dfrac{5}{2+\sin θ}$

Resposta: $e=\frac{1}{2},$elipse

28)$r=\dfrac{5}{−1+2\sin θ}$

29)$r=\dfrac{3}{2−6\sin θ}$

Resposta: $e=3$, hipérbole

30)$r=\dfrac{3}{−4+3\sin θ}$

Nos exercícios 31 a 34, encontre uma equação polar da cônica com foco na origem e excentricidade e diretriz conforme dada.

31) Diretriz:$x=4;\; e=\frac{1}{5}$

Resposta: $r=\dfrac{4}{5+\cos θ}$

32) Diretriz:$x=−4;\; e=5$

3) Diretriz:$y=2; \; e=2$

Resposta: $r=\dfrac{4}{1+2\sin θ}$

34) Diretriz:$y=−2;\; e=\frac{1}{2}$

Nos exercícios 35 a 51, esboce o gráfico de cada cônica.

(35)$r=\dfrac{1}{1+\sin θ}$

Resposta: $Gráfico de uma parábola aberta com o centro na origem.$

36)$r=\dfrac{1}{1−\cos θ}$

37)$r=\dfrac{4}{1+\cos θ}$

Resposta: $Gráfico de uma parábola aberta à esquerda com o centro próximo à origem.$

38)$r=\dfrac{10}{5+4\sin θ}$

39)$r=\dfrac{15}{3−2\cos θ}$

Resposta: $Gráfico de uma elipse com centro próximo (8, 0), eixo maior horizontal e aproximadamente 18 e eixo menor ligeiramente maior que 12.$

40)$r=\dfrac{32}{3+5\sin θ}$

41)$r(2+\sin θ)=4$

Resposta: $Gráfico de um círculo com centro próximo (0, −1,5) e raio próximo de 2,5.$

(42)$r=\dfrac{3}{2+6\sin θ}$

43)$r=\dfrac{3}{−4+2\sin θ}$

Resposta: $Gráfico de um círculo com centro (0, −0,5) e raio 1.$

44)$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$

45)$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1$

Resposta: $Gráfico de uma elipse com centro na origem e com eixo maior vertical e de comprimento 8 e eixo menor de comprimento 4.$

(46)$4x^2+9y^2=36$

47)$25x^2−4y^2=100$

Resposta: $Gráfico de uma hipérbole com o centro da origem e com as duas metades abertas à esquerda e à direita. Os vértices estão no eixo x em ± 2.$

48)$\dfrac{x^2}{16}−\dfrac{y^2}{9}=1$

49)$x^2=12y$

Resposta: $Gráfico de uma parábola com vértice de origem e abertura.$

50)$y^2=20x$

51)$12x=5y^2$

Resposta: $Gráfico de uma parábola com vértice de origem e aberto à direita.$

Para as equações dos exercícios 52 a 57, determine qual das seções cônicas está descrita.

52)$xy=4$

53)$x^2+4xy−2y^2−6=0$

Resposta: Hyperbole

54)$x^2+2\sqrt{3}xy+3y^2−6=0$

55)$x^2−xy+y^2−2=0$

Resposta: Elipse

(56)$34x^2−24xy+41y^2−25=0$

57)$52x^2−72xy+73y^2+40x+30y−75=0$

Resposta: Elipse

58) O espelho do farol de um automóvel tem uma seção transversal parabólica, com a lâmpada no foco. Em um esquema, a equação da parábola é dada como$x^2=4y$. Em quais coordenadas você deve colocar a lâmpada?

59) Uma antena parabólica tem a forma de um parabolóide da revolução. O receptor deve estar localizado no foco. Se o prato tiver 12 pés de diâmetro na abertura e 4 pés de profundidade no centro, onde o receptor deve ser colocado?

Resposta: No ponto 2,25 pés acima do vértice.

60) Considere a antena parabólica do problema anterior. Se o prato tiver 8 pés de diâmetro na abertura e 2 pés de profundidade, onde devemos colocar o receptor?

61) Um holofote tem a forma de um parabolóide da revolução. Uma fonte de luz está localizada a 1 pé da base ao longo do eixo de simetria. Se a abertura do holofote tiver 3 pés de diâmetro, encontre a profundidade.

Resposta: $0.5625$pés

62) As galerias sussurrantes são salas projetadas com tetos elípticos. Uma pessoa parada em um foco pode sussurrar e ser ouvida por uma pessoa parada no outro foco porque todas as ondas sonoras que atingem o teto são refletidas para a outra pessoa. Se uma galeria sussurrante tiver um comprimento de 120 pés e os focos estiverem localizados a 30 pés do centro, encontre a altura do teto no centro.

63) Uma pessoa está a 8 pés da parede mais próxima em uma galeria sussurrante. Se essa pessoa está em um foco e o outro está a 80 pés de distância, qual é o comprimento e a altura no centro da galeria?

Resposta: O comprimento é de 96 pés e a altura é de aproximadamente 26,53 pés.

Nos exercícios 64 a 67, determine a forma da equação polar da órbita dado o comprimento do eixo principal e a excentricidade das órbitas dos cometas ou planetas. A distância é dada em unidades astronômicas (AU).

64) Cometa Halley: comprimento do eixo maior =$35.88,$ excentricidade =$0.967$

65) Cometa Hale-Bopp: comprimento do eixo principal =$525.91,$ excentricidade =$0.995$

Resposta: $r=\dfrac{2.616}{1+0.995\cos θ}$

66) Marte: comprimento do eixo maior =$3.049,$ excentricidade =$0.0934$

67) Júpiter: comprimento do eixo maior =$10.408,$ excentricidade =$0.0484$

Resposta: $r=\dfrac{5.192}{1+0.0484\cos θ}$