12: Vetores no espaço
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- Nov 1, 2022
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Uma quantidade que tem magnitude e direção é chamada de vetor. Os vetores têm muitas aplicações reais, incluindo situações que envolvem força ou velocidade. Por exemplo, considere as forças que atuam em um barco atravessando um rio. O motor do barco gera uma força em uma direção e a corrente do rio gera uma força em outra direção. Ambas as forças são vetores. Devemos levar em consideração a magnitude e a direção de cada força se quisermos saber para onde o barco irá.
- 12.1: Vetores no plano
- Ao medir uma força, como o empuxo dos motores do avião, é importante descrever não apenas a força dessa força, mas também a direção na qual ela é aplicada. Algumas quantidades, como ou força, são definidas em termos de tamanho (também chamado de magnitude) e direção. Uma quantidade que tem magnitude e direção é chamada de vetor.
- 12.2: Vetores em três dimensões
- Para expandir o uso de vetores para aplicações mais realistas, é necessário criar uma estrutura para descrever o espaço tridimensional. Esta seção apresenta uma extensão natural do plano coordenado cartesiano bidimensional em três dimensões.
- 12.3: O produto Dot
- Nesta seção, desenvolvemos uma operação chamada produto escalar, que nos permite calcular o trabalho no caso de o vetor de força e o vetor de movimento terem direções diferentes. O produto escalar nos diz essencialmente quanto do vetor de força é aplicado na direção do vetor de movimento. O produto escalar também pode nos ajudar a medir o ângulo formado por um par de vetores e a posição de um vetor em relação aos eixos coordenados.
- 12.4: O produto cruzado
- Nesta seção, desenvolvemos uma operação chamada produto cruzado, que nos permite encontrar um vetor ortogonal a dois vetores determinados. O cálculo do torque é uma aplicação importante de produtos cruzados, e examinaremos o torque com mais detalhes posteriormente na seção.
- 12.5: Equações de retas e planos no espaço
- Para escrever uma equação para uma reta, precisamos conhecer dois pontos na linha, ou devemos saber a direção da reta e pelo menos um ponto pelo qual a linha passa. Em duas dimensões, usamos o conceito de inclinação para descrever a orientação, ou direção, de uma linha. Em três dimensões, descrevemos a direção de uma linha usando um vetor paralelo à linha. Nesta seção, examinamos como usar equações para descrever linhas e planos no espaço.
- 12.6: Superfícies quádricas
- Estamos explorando vetores e operações vetoriais no espaço tridimensional e desenvolvemos equações para descrever linhas, planos e esferas. Nesta seção, usamos nosso conhecimento de planos e esferas, que são exemplos de figuras tridimensionais chamadas superfícies, para explorar uma variedade de outras superfícies que podem ser representadas graficamente em um sistema de coordenadas tridimensional.
- 12.7: Coordenadas cilíndricas e esféricas
- Nesta seção, examinamos duas maneiras diferentes de descrever a localização dos pontos no espaço, ambas baseadas em extensões de coordenadas polares. Como o nome sugere, as coordenadas cilíndricas são úteis para lidar com problemas envolvendo cilindros, como calcular o volume de um tanque de água redondo ou a quantidade de óleo que flui por um tubo. Da mesma forma, as coordenadas esféricas são úteis para lidar com problemas envolvendo esferas, como encontrar o volume de estruturas em cúpula.