12.6E: Exercícios para a Seção 12.6

Para os exercícios 1 a 6, esboce e descreva a superfície cilíndrica da equação dada.

1) [T]\( x^2+z^2=1\)

Resposta

A superfície é um cilindro com as réguas paralelas\(y\) ao eixo.

2) [T]\( x^2+y^2=9\)

3) [T]\( z=\cos\left(\frac{π}{2}+x\right)\)

Resposta

A superfície é um cilindro com réguas paralelas ao\(y\) eixo Y.

4) [T]\( z=e^x\)

5) [T]\( z=9−y^2\)

Resposta

A superfície é um cilindro com réguas paralelas ao\(x\) eixo Y.

6) [T]\( z=\ln x\)

Para os exercícios 7 a 10, o gráfico de uma superfície quádrica é fornecido.

a. Especifique o nome da superfície quádrica.

b. Determine o eixo de simetria da superfície quádrica.

7)

Resposta

a. Cilindro; b. O\(x\) eixo -

8)

9)

Resposta

a. Hiperbolóide de duas folhas; b. O\(x\) eixo -

10)

Para os exercícios 11 a 16, combine a superfície quádrica dada com sua equação correspondente na forma padrão.

uma.\( \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}−\dfrac{z^2}{12}=1\)

b.\( \dfrac{x^2}{4}−\dfrac{y^2}{9}−\dfrac{z^2}{12}=1\)

c.\( \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{z^2}{12}=1\)

d.\( z^2=4x^2+3y^2\)

e.\( z=4x^2−y^2\)

f.\( 4x^2+y^2−z^2=0\)

11) Hiperbolóide de duas folhas

Resposta

b.

12) Elipsoide

13) Parabolóide elíptico

Resposta

d.

14) Parabolóide hiperbólico

15) Hiperbolóide de uma folha

Resposta

uma.

16) Cone elíptico

Para os exercícios 17 a 28, reescreva a equação dada da superfície quádrica na forma padrão. Identifique a superfície.

17)\( −x^2+36y^2+36z^2=9\)

Resposta

\( −\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{\frac{1}{4}}+\dfrac{z^2}{\frac{1}{4}}=1,\)hiperbolóide de uma folha com o\(x\) eixo -como eixo de simetria

18)\( −4x^2+25y^2+z^2=100\)

19)\( −3x^2+5y^2−z^2=10\)

Resposta

\( −\dfrac{x^2}{\frac{10}{3}}+\dfrac{y^2}{2}−\dfrac{z^2}{10}=1,\)hiperbolóide de duas folhas com o\(y\) eixo -como eixo de simetria

20)\( 3x^2−y^2−6z^2=18\)

21)\( 5y=x^2−z^2\)

Resposta

\( y=−\dfrac{z^2}{5}+\dfrac{x^2}{5},\)parabolóide hiperbólico com o\(y\) eixo -como eixo de simetria

22)\( 8x^2−5y^2−10z=0\)

23)\( x^2+5y^2+3z^2−15=0\)

Resposta

\( \dfrac{x^2}{15}+\dfrac{y^2}{3}+\dfrac{z^2}{5}=1,\)elipsoide

24)\( 63x^2+7y^2+9z^2−63=0\)

25)\( x^2+5y^2−8z^2=0\)

Resposta

\( \dfrac{x^2}{40}+\dfrac{y^2}{8}−\dfrac{z^2}{5}=0,\)cone elíptico com o\(z\) eixo -como eixo de simetria

26)\( 5x^2−4y^2+20z^2=0\)

27)\( 6x=3y^2+2z^2\)

Resposta

\( x=\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{z^2}{3},\)parabolóide elíptico com o\(x\) eixo -como eixo de simetria

28)\( 49y=x^2+7z^2\)

Para os exercícios 29 a 34, encontre o traço da superfície quádrica dada no plano especificado de coordenadas e desenhe-o.

29) [T]\( x^2+z^2+4y=0, \quad z=0\)

Resposta

Parábola\( y=−\frac{x^2}{4},\)

30) [T]\( x^2+z^2+4y=0,\quad x=0\)

31) [T]\( −4x^2+25y^2+z^2=100,\quad x=0\)

Resposta

Elipse\( \dfrac{y^2}{4}+\dfrac{z^2}{100}=1,\)

32) [T]\( −4x^2+25y^2+z^2=100,\quad y=0\)

33) [T]\( x^2+\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{z^2}{100}=1,\quad x=0\)

Resposta

Elipse\( \dfrac{y^2}{4}+\dfrac{z^2}{100}=1,\)

34) [T]\( x^2−y−z^2=1,\quad y=0\)

35) Use o gráfico da superfície quádrica dada para responder às perguntas.

a. Especifique o nome da superfície quádrica.

b. Qual das equações—\( 16x^2+9y^2+36z^2=3600, \; 9x^2+36y^2+16z^2=3600,\) ou\( 36x^2+9y^2+16z^2=3600\) —corresponde ao gráfico?

c. Use b. para escrever a equação da superfície quádrica na forma padrão.

Resposta

a. Elipsoide
b. A terceira equação
c.\( \dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{400}+\dfrac{z^2}{225}=1\)

36) Use o gráfico da superfície quádrica dada para responder às perguntas.

a. Especifique o nome da superfície quádrica.

b. Qual das equações—\( 36z=9x^2+y^2, \; 9x^2+4y^2=36z\), ou\( −36z=−81x^2+4y^2\) —corresponde ao gráfico acima?

c. Use b. para escrever a equação da superfície quádrica na forma padrão.

Para os exercícios 37 a 42, a equação de uma superfície quádrica é dada.

a. Use o método de completar o quadrado para escrever a equação na forma padrão.

b. Identifique a superfície.

37)\( x^2+2z^2+6x−8z+1=0\)

Resposta

a.\(\dfrac{(x+3)^2}{16}+\dfrac{(z−2)^2}{8}=1\)
b. Cilindro centrado em\( (−3,2)\) com réguas paralelas ao\(y\) eixo -

38)\( 4x^2−y^2+z^2−8x+2y+2z+3=0\)

39)\( x^2+4y^2−4z^2−6x−16y−16z+5=0\)

Resposta

a.\(\dfrac{(x−3)^2}{4}+(y−2)^2−(z+2)^2=1\)
b. Hiperbolóide de uma folha centrada em\( (3,2,−2),\) com o\(z\) eixo -como seu eixo de simetria

40)\( x^2+z^2−4y+4=0\)

41)\( x^2+\dfrac{y^2}{4}−\dfrac{z^2}{3}+6x+9=0\)

Resposta

a.\((x+3)^2+\dfrac{y^2}{4}−\dfrac{z^2}{3}=0\)
b. Cone elíptico centrado em\( (−3,0,0),\) com o\(z\) eixo -como seu eixo de simetria

(42)\( x^2−y^2+z^2−12z+2x+37=0\)

43) Escreva a forma padrão da equação do elipsóide centrada na origem que passa pelos pontos\( A(2,0,0),\, B(0,0,1),\) e\( C\left(12,\sqrt{11},\frac{1}{2}\right).\)

Resposta

\( \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}+z^2=1\)

44) Escreva a forma padrão da equação do elipsóide centrada no ponto\( P(1,1,0)\) que passa pelos pontos\( A(6,1,0),\, B(4,2,0)\)\( C(1,2,1)\) e.

45) Determine os pontos de interseção do cone elíptico\( x^2−y^2−z^2=0\) com a linha de equações simétricas\( \dfrac{x−1}{2}=\dfrac{y+1}{3}=z.\)

Resposta

\( (1,−1,0)\)e\( \left(\frac{13}{3},4,\frac{5}{3}\right)\)

46) Determine os pontos de interseção do hiperbolóide parabólico\( z=3x^2−2y^2\) com a linha das equações paramétricas\( x=3t,\;y=2t,\;z=19t\), onde\( t∈R.\)

47) Encontre a equação da superfície quádrica com pontos\( P(x,y,z)\) equidistantes do ponto\( Q(0,−1,0)\) e do plano da equação\( y=1.\) Identifique a superfície.

Resposta

\( x^2+z^2+4y=0,\)parabolóide elíptico

48) Encontre a equação da superfície quádrica com pontos\( P(x,y,z)\) equidistantes do ponto\( Q(0,2,0)\) e do plano da equação\( y=−2.\) Identifique a superfície.

49) Se a superfície de um refletor parabólico for descrita pela equação,\( 400z=x^2+y^2,\) encontre o ponto focal do refletor.

Resposta

\( (0,0,100)\)

50) Considere o refletor parabólico descrito pela equação\( z=20x^2+20y^2.\) Encontre seu ponto focal.

51) Mostre que a superfície quádrica se\( x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz+x+y+z=0\) reduz a dois planos paralelos.

52) Mostre que a superfície quádrica se\( x^2+y^2+z^2−2xy−2xz+2yz−1=0\) reduz a dois planos paralelos passando.

53) [T] A interseção entre cilindro\( (x−1)^2+y^2=1\) e esfera\( x^2+y^2+z^2=4\) é chamada de curva de Viviani.

a. Resolva o sistema que consiste nas equações das superfícies para encontrar a equação da curva de interseção. (Dica: Encontre\( x\) e\( y\) em termos de\( z\).)

b. Use um sistema computacional de álgebra (CAS) ou Calcplot3d para visualizar a curva de interseção na esfera\( x^2+y^2+z^2=4\).

Resposta

a.\(x=2−\dfrac{z^2}{2}, \quad y=±\dfrac{z}{2}\sqrt{4−z^2},\) onde\( z∈[−2,2];\)

b.

54) O hiperbolóide de uma folha\( 25x^2+25y^2−z^2=25\) e o cone elíptico\( −25x^2+75y^2+z^2=0\) são representados na figura a seguir junto com suas curvas de interseção. Identifique as curvas de interseção e encontre suas equações (Dica: Encontre y no sistema que consiste nas equações das superfícies).

55) [T] Use um CAS ou Calcplot3d para criar a interseção entre o cilindro\( 9x^2+4y^2=18\) e o elipsóide\( 36x^2+16y^2+9z^2=144\) e encontre as equações das curvas de interseção.

Resposta

duas elipses de equações\( \dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{\frac{9}{2}}=1\) em planos\( z=±2\sqrt{2}\)

56) [T] Um esferóide é um elipsóide com dois semieixos iguais. Por exemplo, a equação de um esferóide com o eixo z como eixo de simetria é dada por\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\), onde\( a\) e\( c\) são números reais positivos. O esferóide é chamado de oblato se\( c<a\) e prolato para\( c>a\).

a. A córnea do olho é aproximada como um esferóide prolato com um eixo que é o olho, onde\( a=8.7mm\)\( c=9.6mm\) e. Escreva a equação do esferóide que modela a córnea e esboce a superfície.

b. Dê dois exemplos de objetos com formas de esferóide de prolato.

57) [T] Na cartografia, a Terra é aproximada por um esferóide oblato em vez de uma esfera. Os raios no equador e nos pólos são aproximadamente\( 3963\) mi e\( 3950\) mi, respectivamente.

a. Escreva a equação na forma padrão do elipsóide que representa a forma da Terra. Suponha que o centro da Terra esteja na origem e que o traço formado pelo plano\( z=0\) corresponda ao equador.

b. Esboce o gráfico.

c. Encontre a equação da curva de interseção da superfície com\( z=1000\) o plano paralelo ao\(xy\) plano. A curva de interseção é chamada de paralela.

d. Encontre a equação da curva de interseção da superfície com o plano\( x+y=0\) que passa pelo\(z\) eixo -. A curva de interseção é chamada de meridiano.

Resposta

uma.\(\dfrac{x^2}{3963^2}+\dfrac{y^2}{3963^2}+\dfrac{z^2}{3950^2}=1\)

b.

c. A curva de interseção é a elipse da equação\( \dfrac{x^2}{3963^2}+\dfrac{y^2}{3963^2}=\dfrac{(2950)(4950)}{3950^2}\) e a interseção é uma elipse.
d. A curva de interseção é a elipse da equação\( \dfrac{2y^2}{3963^2}+\dfrac{z^2}{3950^2}=1.\)

58) [T] Um conjunto de ímãs de acrobacias vibrantes (ou “ovos de cascavel”) inclui dois ímãs cintilantes, polidos e superfortes em forma de esferóide, conhecidos pelo entretenimento infantil. Cada ímã tem uma\( 1.625\) polegada de comprimento e uma\( 0.5\) polegada de largura no meio. Ao jogá-los no ar, eles criam um zumbido à medida que se atraem.

a. Escreva a equação do esferóide de prolato centrada na origem que descreve a forma de um dos ímãs.

b. Escreva as equações dos esferóides de prolato que modelam a forma dos ímãs de acrobacias vibrantes. Use um CAS ou CalcPlot3D para criar os gráficos.

59) [T] Uma superfície em forma de coração é dada pela equação\( (x^2+\frac{9}{4}y^2+z^2−1)^3−x^2z^3−\frac{9}{80}y^2z^3=0.\)

a. Use um CAS ou CalcPlot3d para representar graficamente a superfície que modela essa forma.

b. Determine e esboce o traço da superfície em forma\(xz\) de coração no plano.

Resposta

uma.

b. A curva de interseção é\( (x^2+z^2−1)^3−x^2z^3=0.\)

60) [T] O toróide do anel simétrico em torno do\(z\) eixo -é um tipo especial de superfície em topologia e sua equação é dada por\( (x^2+y^2+z^2+R^2−r^2)^2=4R^2(x^2+y^2)\), onde\( R>r>0\). Os números\( R\) e\( r\) são chamados são os raios maiores e menores, respectivamente, da superfície. A figura a seguir mostra um toróide em anel para o qual\( R=2\)\( r=1\) e.

a. Escreva a equação do toróide do anel com\( R=2\) e e\( r=1\), e use um CAS ou Calcplot3d para representar graficamente a superfície. Compare o gráfico com a figura dada.

b. Determine a equação e esboce o traço do toróide do anel a partir de a. no\(xy\) plano -.

c. Dê dois exemplos de objetos com formas de toróide em forma de anel.

Colaboradores

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