12.6: Superfícies quádricas

objetivos de aprendizagem

• Identifique um cilindro como um tipo de superfície tridimensional.
• Reconheça as principais características dos elipsoides, parabolóides e hiperbolóides.
• Use traços para desenhar as interseções das superfícies quádricas com os planos coordenados.

Estamos explorando vetores e operações vetoriais no espaço tridimensional e desenvolvemos equações para descrever linhas, planos e esferas. Nesta seção, usamos nosso conhecimento de planos e esferas, que são exemplos de figuras tridimensionais chamadas superfícies, para explorar uma variedade de outras superfícies que podem ser representadas graficamente em um sistema de coordenadas tridimensional.

Identificando cilindros

A primeira superfície que examinaremos é o cilindro. Embora a maioria das pessoas pense imediatamente em um cachimbo oco ou em um canudo de refrigerante ao ouvir a palavra cilindro, aqui usamos o amplo significado matemático do termo. Como vimos, as superfícies cilíndricas não precisam ser circulares. Um duto de aquecimento retangular é um cilindro, assim como um tapete de ioga enrolado, cuja seção transversal é em forma de espiral.

No plano de coordenadas bidimensional, a equação$x^2+y^2=9$ descreve um círculo centrado na origem com raio$3$. No espaço tridimensional, essa mesma equação representa uma superfície. Imagine cópias de um círculo empilhado um sobre o outro centrado no$z$ eixo -( Figura$\PageIndex{1}$), formando um tubo oco. Podemos então construir um cilindro a partir do conjunto de linhas paralelas ao$z$ eixo -que passa pelo círculo$x^2+y^2=9$ no$xy$ plano -, conforme mostrado na figura. Dessa forma, qualquer curva em um dos planos coordenados pode ser estendida para se tornar uma superfície.

Figura$\PageIndex{1}$: No espaço tridimensional, o gráfico da equação$x^2+y^2=9$ é um cilindro com raio$3$$z$ centrado no eixo. Ele continua indefinidamente nas direções positiva e negativa.

Definição: cilindros e réguas

Um conjunto de linhas paralelas a uma determinada linha passando por uma determinada curva é conhecido como superfície cilíndrica ou cilindro. As linhas paralelas são chamadas de decisões.

A partir dessa definição, podemos ver que ainda temos um cilindro no espaço tridimensional, mesmo que a curva não seja um círculo. Qualquer curva pode formar um cilindro, e as réguas que compõem o cilindro podem ser paralelas a qualquer linha dada (Figura$\PageIndex{2}$).

Figura$\PageIndex{2}$: No espaço tridimensional, o gráfico da equação$z=x^3$ é um cilindro ou uma superfície cilíndrica com réguas paralelas ao$y$ eixo.

Exemplo$\PageIndex{1}$: Graphing Cylindrical Surfaces

Esboce os gráficos das seguintes superfícies cilíndricas.

1. $x^2+z^2=25$
2. $z=2x^2−y$
3. $y=\sin x$

Solução

a. A variável$y$ pode assumir qualquer valor sem limite. Portanto, as linhas que governam essa superfície são paralelas ao$y$ eixo y. A interseção dessa superfície com o$xz$ plano -forma um círculo centrado na origem com o raio$5$ (veja a Figura$\PageIndex{3}$).

Figura$\PageIndex{3}$: O gráfico da equação$x^2+z^2=25$ é um cilindro com raio$5$$y$ centrado no eixo.

b. Nesse caso, a equação contém todas as três variáveis —$x,y,$ e$z$ — portanto, nenhuma das variáveis pode variar arbitrariamente. A maneira mais fácil de visualizar essa superfície é usar um utilitário de computação gráfica (Figura$\PageIndex{4}$).

Figura$\PageIndex{4}$

c. Nessa equação, a variável$z$ pode assumir qualquer valor sem limite. Portanto, as linhas que compõem essa superfície são paralelas ao$z$ eixo y. A interseção dessa superfície com o plano xy contorna a curva$y=\sin x$ (Figura$\PageIndex{5}$).

Figura$\PageIndex{5}$: O gráfico da equação$y=\sin x$ é formado por um conjunto de linhas paralelas ao$z$ eixo -passando pela curva$y=\sin x$ no$xy$ plano.

Exercício$\PageIndex{1}$:

Desenhe ou use uma ferramenta gráfica para visualizar o gráfico da superfície cilíndrica definida pela equação$z=y^2$.

Dica

A variável$x$ pode assumir qualquer valor sem limite.

Responda

Ao desenhar superfícies, vimos que é útil esboçar a interseção da superfície com um plano paralelo a um dos planos coordenados. Essas curvas são chamadas de traços. Podemos vê-los no gráfico do cilindro na Figura$\PageIndex{6}$.

Definição: traços

Os traços de uma superfície são as seções transversais criadas quando a superfície cruza um plano paralelo a um dos planos coordenados.

Os traços são úteis para desenhar superfícies cilíndricas. Para um cilindro em três dimensões, porém, apenas um conjunto de traços é útil. Observe, na Figura$\PageIndex{6}$, que o traço do gráfico de$z=\sin x$ no plano xz é útil na construção do gráfico. O traço no plano xy, no entanto, é apenas uma série de linhas paralelas, e o traço no plano yz é simplesmente uma linha.

Figura$\PageIndex{6}$: (a) Essa é uma visão do gráfico da equação$z=\sin x$. (b) Para encontrar o traço do gráfico no$xz$ plano -, defina$y=0$. O traço é simplesmente uma onda senoidal bidimensional.

As superfícies cilíndricas são formadas por um conjunto de linhas paralelas. No entanto, nem todas as superfícies em três dimensões são construídas de forma tão simples. Agora exploramos superfícies mais complexas, e os traços são uma ferramenta importante nesta investigação.

Superfícies quadricas

Aprendemos sobre superfícies em três dimensões descritas por equações de primeira ordem; esses são planos. Alguns outros tipos comuns de superfícies podem ser descritos por equações de segunda ordem. Podemos ver essas superfícies como extensões tridimensionais das seções cônicas que discutimos anteriormente: a elipse, a parábola e a hipérbole. Chamamos esses gráficos de superfícies quádricas.

Definição: Superfícies quádricas e seções cônicas

Superfícies quádricas são os gráficos de equações que podem ser expressos na forma

$$Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Jz+K=0. \nonumber$$

Quando uma superfície quádrica cruza um plano coordenado, o traçado é uma seção cônica.

Um elipsóide é uma superfície descrita por uma equação da forma$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1.$ Definida$x=0$ para ver o traço do elipsóide no plano yz. Para ver os traços nos$xz$ planos$xy$ - e -, defina$z=0$ e$y=0$, respectivamente. Observe que, se$a=b$, o traço no$xy$ plano -é um círculo. Da mesma forma$a=c$, se, o traço no$xz$ plano -é um círculo e, se$b=c$, então o traço no$yz$ plano -é um círculo. Uma esfera, então, é um elipsoide com$a=b=c.$

Exemplo$\PageIndex{2}$: Sketching an Ellipsoid

Esboce o elipsoide

$$\dfrac{x^2}{2^2}+\dfrac{y^2}{3^2}+\dfrac{z^2}{5^2}=1. \nonumber$$

Solução

Comece desenhando os traços. Para encontrar o traço no plano xy, defina$z=0: \dfrac{x^2}{2^2}+\dfrac{y^2}{3^2}=1$ (Figura$\PageIndex{7}$). Para encontrar os outros traços, primeiro defina$y=0$ e depois defina$x=0.$

Figura$\PageIndex{7}$: (a) Este gráfico representa o traço da equação$\dfrac{x^2}{2^2}+\dfrac{y^2}{3^2}+\dfrac{z^2}{5^2}=1$ no$xy$ plano -, quando definimos$z=0$. (b) Quando definimos$y=0$, obtemos o traço do elipsóide no$xz$ plano -, que é uma elipse. (c) Quando definimos$x=0$, obtemos o traço do elipsóide no$yz$ plano C, que também é uma elipse.

Agora que sabemos como são os traços desse sólido, podemos esboçar a superfície em três dimensões (Figura$\PageIndex{8}$).

Figura$\PageIndex{8}$: (a) Os traços fornecem uma estrutura para a superfície. (b) O centro desse elipsoide é a origem.

O traço de um elipsoide é uma elipse em cada um dos planos coordenados. No entanto, isso não precisa ser o caso de todas as superfícies quádricas. Muitas superfícies quádricas têm traços que são diferentes tipos de seções cônicas, e isso geralmente é indicado pelo nome da superfície. Por exemplo, se uma superfície pode ser descrita por uma equação da forma

$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z}{c} \nonumber$$

então chamamos essa superfície de parabolóide elíptico. O traço no plano xy é uma elipse, mas os traços no plano xz e no plano yz são parábolas (Figura$\PageIndex{9}$). Outros parabolóides elípticos podem ter outras orientações simplesmente trocando as variáveis para nos dar uma variável diferente no termo linear da equação$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{y}{b}$ ou$\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x}{a}$.

Figura$\PageIndex{9}$: Essa superfície quádrica é chamada de parabolóide elíptico.

Exemplo$\PageIndex{3}$: Identifying Traces of Quadric Surfaces

Descreva os traços do parabolóide elíptico$x^2+\dfrac{y^2}{2^2}=\dfrac{z}{5}$.

Solução

Para encontrar o traço no$xy$ plano -,$z=0: x^2+\dfrac{y^2}{2^2}=0.$ defina O traço no plano$z=0$ é simplesmente um ponto, a origem. Como um único ponto não nos diz qual é a forma, podemos subir o$z$ eixo -até um plano arbitrário para encontrar a forma de outros traços da figura.

O traço no plano$z=5$ é o gráfico da equação$x^2+\dfrac{y^2}{2^2}=1$, que é uma elipse. No$xz$ plano -, a equação se torna$z=5x^2$. O traço é uma parábola nesse plano e em qualquer plano com a equação$y=b$.

Em planos paralelos ao$yz$ plano -, os traços também são parábolas, como podemos ver na Figura$\PageIndex{10}$.

Figura$\PageIndex{10}$: (a) O parabolóide$x^2+\dfrac{y^2}{2^2}=\dfrac{z}{5}$. (b) O traço no avião$z=5$. (c) O traço no$xz$ plano. (d) O traço no$yz$ plano.

Exercício$\PageIndex{2}$:

Um hiperbolóide de uma folha é qualquer superfície que possa ser descrita com uma equação da forma$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}−\dfrac{z^2}{c^2}=1$. Descreva os traços do hiperbolóide de uma folha dada pela equação$\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{2^2}−\dfrac{z^2}{5^2}=1.$

Dica

Para encontrar os traços nos planos de coordenadas, defina cada variável como zero individualmente.

Responda

Os traços paralelos ao$xy$ plano -são elipses e os traços paralelos aos$yz$ planos$xz$ - e -são hipérboles. Especificamente, o traço no$xy$ plano -é elipse,$\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1,$ o traço no$xz$ plano -é hipérbole$\dfrac{x^2}{3^2}−\dfrac{z^2}{5^2}=1,$ e o traço no$yz$ plano -é hipérbole$\dfrac{y^2}{2^2}−\dfrac{z^2}{5^2}=1$ (veja a figura a seguir).

Os hiperbolóides de uma folha têm algumas propriedades fascinantes. Por exemplo, eles podem ser construídos usando linhas retas, como na escultura na Figura$\PageIndex{11a}$. Na verdade, as torres de resfriamento de usinas nucleares geralmente são construídas na forma de um hiperbolóide. Os construtores são capazes de usar vigas de aço retas na construção, o que torna as torres muito fortes e usam relativamente pouco material (Figura$\PageIndex{11b}$).

Figura$\PageIndex{11}$: (a) Uma escultura em forma de hiperbolóide pode ser construída com linhas retas. (b) As torres de resfriamento para usinas nucleares geralmente são construídas na forma de um hiperbolóide.

Exemplo$\PageIndex{4}$: Chapter Opener: Finding the Focus of a Parabolic Reflector

A energia que atinge a superfície de um refletor parabólico é concentrada no ponto focal do refletor (Figura$\PageIndex{12}$). Se a superfície de um refletor parabólico for descrita pela equação,$\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{100}=\dfrac{z}{4},$ onde está o ponto focal do refletor?

Figura$\PageIndex{12}$: A energia reflete no refletor parabólico e é coletada no ponto focal. (crédito: modificação da CGP Grey, Wikimedia Commons)

Solução

Como z é a primeira variável de potência, o eixo do refletor corresponde ao$z$ eixo -. Os coeficientes do$x^2$ and $y^2$ are equal, so the cross-section of the paraboloid perpendicular to the $z$ eixo -são um círculo. Podemos considerar um traço no plano xz ou no plano yz; o resultado é o mesmo. Configuração$y=0$, the trace is a parabola opening up along the $z$ do eixo -, com equação padrão$x^2=4pz$, where $p$ is the focal length of the parabola. In this case, this equation becomes $x^2=100⋅\dfrac{z}{4}=4pz$ or $25=4p$. So p is $6.25$ m, which tells us that the focus of the paraboloid is $6.25$ m up the axis from the vertex. Because the vertex of this surface is the origin, the focal point is $(0,0,6.25).$

Dezessete superfícies quádricas padrão podem ser derivadas da equação geral

$$Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Jz+K=0. \nonumber$$

As figuras a seguir resumem as mais importantes.

Figura$\PageIndex{13}$: Características das superfícies quádricas comuns: elipsoide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas.

Figura$\PageIndex{14}$: Características das superfícies quádricas comuns: cone elíptico, parabolóide elíptico, parabolóide hiperbólico.

Exemplo$\PageIndex{5}$: Identifying Equations of Quadric Surfaces

Identifique as superfícies representadas pelas equações dadas.

1. $16x^2+9y^2+16z^2=144$
2. $9x^2−18x+4y^2+16y−36z+25=0$

Solução

a. Os$z$ termos$x,y,$ e estão todos ao quadrado e são todos positivos, então isso provavelmente é um elipsoide. No entanto, vamos colocar a equação na forma padrão de um elipsóide só para ter certeza. Nós temos

$$16x^2+9y^2+16z^2=144. \nonumber$$

Dividindo por 144 dá

$$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}+\dfrac{z^2}{9}=1. \nonumber$$

Então, isso é, na verdade, um elipsoide, centrado na origem.

b. Primeiro notamos que o$z$ termo é elevado apenas à primeira potência, então este é um parabolóide elíptico ou um parabolóide hiperbólico. Também observamos que existem$x$ termos e$y$ termos que não são quadrados, portanto, essa superfície quádrica não está centrada na origem. Precisamos completar o quadrado para colocar essa equação em uma das formas padrão. Nós temos

$$\begin{align*} 9x^2−18x+4y^2+16y−36z+25 =0 \\[4pt] 9x^2−18x+4y^2+16y+25 =36z \\[4pt] 9(x^2−2x)+4(y^2+4y)+25 =36z \\[4pt] 9(x^2−2x+1−1)+4(y^2+4y+4−4)+25 =36z \\[4pt] 9(x−1)^2−9+4(y+2)^2−16+25 =36z \\[4pt] 9(x−1)^2+4(y+2)^2 =36z \\[4pt] \dfrac{(x−1)^2}{4}+\dfrac{(y−2)^2}{9} =z. \end{align*}$$

Este é um parabolóide elíptico centrado em$(1,2,0).$

Exercício$\PageIndex{3}$

Identifique a superfície representada pela equação$9x^2+y^2−z^2+2z−10=0.$

Dica

Veja os sinais e poderes do$x,y$, e$z$ os termos

Responda

Hiperbolóide de uma folha, centrado em$(0,0,1)$.

Conceitos-chave

• Um conjunto de linhas paralelas a uma determinada linha passando por uma determinada curva é chamado de cilindro ou superfície cilíndrica. As linhas paralelas são chamadas de decisões.
• A interseção de uma superfície tridimensional e um plano é chamada de traço. Para encontrar o traço nos planos $xy$$yz$-, - ou$xz$ -, defina$z=0,x=0,$ ou$y=0,$ respectivamente.
• As superfícies quádricas são superfícies tridimensionais com traços compostos por seções cônicas. Cada superfície quádrica pode ser expressa com uma equação da forma

$$Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Jz+K=0. \nonumber$$

• Para esboçar o gráfico de uma superfície quádrica, comece desenhando os traços para entender a estrutura da superfície.
• Superfícies quádricas importantes estão resumidas nas figuras$\PageIndex{13}$$\PageIndex{14}$ e.

Glossário

cilindro

um conjunto de linhas paralelas a uma determinada linha passando por uma determinada curva

elipsoide

uma superfície tridimensional descrita por uma equação da forma$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$; todos os traços dessa superfície são elipses

cone elíptico

uma superfície tridimensional descrita por uma equação da forma$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}−\dfrac{z^2}{c^2}=0$; traços dessa superfície incluem elipses e linhas que se cruzam

parabolóide elíptico

uma superfície tridimensional descrita por uma equação da forma$z=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}$; traços dessa superfície incluem elipses e parábolas

hiperbolóide de uma folha

uma superfície tridimensional descrita por uma equação da forma,$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}−\dfrac{z^2}{c^2}=1;$ os traços dessa superfície incluem elipses e hipérboles.

hiperbolóide de duas folhas

uma superfície tridimensional descrita por uma equação da forma$\dfrac{z^2}{c^2}−\dfrac{x^2}{a^2}−\dfrac{y^2}{b^2}=1$; traços dessa superfície incluem elipses e hipérboles

superfícies quádricas

superfícies em três dimensões com a propriedade de que os traços da superfície sejam seções cônicas (elipses, hipérboles e parábolas)

decisões

linhas paralelas que compõem uma superfície cilíndrica

vestígio

a interseção de uma superfície tridimensional com um plano coordenado