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12.4E: Exercícios para a Seção 12.4

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Para os exercícios 1-4, os vetores\(\vecs{u}\) e e\(\vecs{v}\) são fornecidos.

    a. Encontre o produto cruzado\(\vecs{u}\times\vecs{v}\) dos vetores\(\vecs{u}\)\(\vecs{v}\) e. Expresse a resposta em forma de componente.

    b. Esboce os vetores\(\vecs{u}, \, \vecs{v}\),\(\vecs{u}\times\vecs{v}\) e.

    1)\(\quad \vecs{u}=⟨2,0,0⟩, \quad \vecs{v}=⟨2,2,0⟩\)

    Responda
    \(a. \vecs{u}\times\vecs{v}=⟨0,0,4⟩;\)

    \(b.\)

    2)\(\quad \vecs{u}=⟨3,2,−1⟩, \quad \vecs{v}=⟨1,1,0⟩\)

    3)\(\quad \vecs{u}=2\mathbf{\hat i}+3\mathbf{\hat j}, \quad \vecs{v}=\mathbf{\hat j}+2\mathbf{\hat k}\)

    Responda
    \( a. \vecs{u}\times\vecs{v}=⟨6,−4,2⟩;\)

    \(b.\)

    4)\(\quad \vecs{u}=2\mathbf{\hat j}+3\mathbf{\hat k}, \quad \vecs{v}=3\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat k}\)

    5) Simplifique\((\mathbf{\hat i}×\mathbf{\hat i}−2\mathbf{\hat i}×\mathbf{\hat j}−4\mathbf{\hat i}×\mathbf{\hat k}+3\mathbf{\hat j}×\mathbf{\hat k})×\mathbf{\hat i}.\)

    Responda
    \(−2\mathbf{\hat j}−4\mathbf{\hat k}\)

    6) Simplifique\(\mathbf{\hat j}×(\mathbf{\hat k}×\mathbf{\hat j}+2\mathbf{\hat j}×\mathbf{\hat i}−3\mathbf{\hat j}×\mathbf{\hat j}+5\mathbf{\hat i}×\mathbf{\hat k}).\)

    Nos exercícios 7-10,\(\vecs{v}\) são fornecidos vetores\(\vecs{u}\) e 2. Encontre o vetor unitário\(\vecs{w}\) na direção do vetor cruzado do produto\(\vecs{u}×\vecs{v}.\) Expresse sua resposta usando vetores unitários padrão.

    7)\(\quad \vecs{u}=⟨3,−1,2⟩, \quad \vecs{v}=⟨−2,0,1⟩\)

    Responda
    \(\vecs{w}=−\frac{\sqrt{6}}{18}\mathbf{\hat i}−\frac{7\sqrt{6}}{18}\mathbf{\hat j}−\frac{\sqrt{6}}{9}\mathbf{\hat k}\)

    8)\(\quad \vecs{u}=⟨2,6,1⟩, \quad \vecs{v}=⟨3,0,1⟩\)

    9)\(\quad \vecs{u}=\vecd{AB}, \quad \vecs{v}=\vecd{AC},\) onde\(A(1,0,1),\, B(1,−1,3)\), e\(C(0,0,5)\)

    Responda
    \(\vecs{w}=−\frac{4\sqrt{21}}{21}\mathbf{\hat i}−\frac{2\sqrt{21}}{21}\mathbf{\hat j}−\frac{\sqrt{21}}{21}\mathbf{\hat k}\)

    10)\(\quad \vecs{u}=\vecd{OP}, \quad \vecs{v}=\vecd{PQ},\) onde\(P(−1,1,0)\) e\(Q(0,2,1)\)

    11) Determine o número real de\(α\) forma que\(\vecs{u}\times\vecs{v}\) e\(\mathbf{\hat i}\) sejam ortogonais, onde\(\vecs{u}=3\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}−5\mathbf{\hat k}\) e\(\vecs{v}=4\mathbf{\hat i}−2\mathbf{\hat j}+α\mathbf{\hat k}.\)

    Responda
    \(α=10\)

    12)\(\vecs{u}\times\vecs{v}\) Mostre isso e\( 2\mathbf{\hat i}−14\mathbf{\hat j}+2\mathbf{\hat k}\) não pode ser ortogonal para nenhum número real α, onde\(\vecs{u}=\mathbf{\hat i}+7\mathbf{\hat j}−\mathbf{\hat k}\)\(\vecs{v}=α\mathbf{\hat i}+5\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k}\) e.

    13) Mostre que\(\vecs{u}\times\vecs{v}\) é ortogonal a\(\vecs{u}+\vecs{v}\) e\(\vecs{u}−\vecs{v}\), onde\(\vecs{u}\) e\(\vecs{v}\) são vetores diferentes de zero.

    14) Mostre que\(\vecs{v}\times\vecs{u}\) é ortogonal\( (\vecs{u}⋅\vecs{v})(\vecs{u}+\vecs{v})+\vecs{u}\), onde\(\vecs{u}\) e\(\vecs{v}\) são vetores diferentes de zero.

    15) Calcule o determinante\( \begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\1&−1&7\\2&0&3\end{vmatrix}\).

    Responda
    \( −3\mathbf{\hat i}+11\mathbf{\hat j}+2\mathbf{\hat k}\)

    16) Calcule o determinante\( \begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\0&3&−4\\1&6&−1\end{vmatrix}\).

    Para os exercícios 17-18, os vetores\(\vecs{u}\) e e\(\vecs{v}\) são fornecidos. Use a notação determinante para encontrar o vetor\(\vecs{w}\) ortogonal aos vetores\(\vecs{u}\)\(\vecs{v}\) e.

    17)\(\quad \vecs{u}=⟨−1, 0, e^t⟩, \quad \vecs{v}=⟨1, e^{−t}, 0⟩,\) onde\(t\) está um número real

    Responda
    \(\vecs{w}=⟨−1, e^t, −e^{−t}⟩\)

    18)\(\quad \vecs{u}=⟨1, 0, x⟩, \quad \vecs{v}=⟨\frac{2}{x},1, 0⟩,\) onde\(x\) é um número real diferente de zero

    19) Encontre o vetor\( (\vecs{a}−2\vecs{b})×\vecs{c},\) onde\( \vecs{a}=\begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\2&−1&5\\0&1&8\end{vmatrix}, \vecs{b}=\begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\0&1&1\\2&−1&−2\end{vmatrix},\) e\(\vecs{c}=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k}.\)

    Responda
    \( −26\mathbf{\hat i}+17\mathbf{\hat j}+9\mathbf{\hat k}\)

    20) Encontre o vetor\( \vecs{c}×(\vecs{a}+3\vecs{b}),\) onde\( \vecs{a}=\begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\5&0&9\\0&1&0\end{vmatrix}, \vecs{b}=\begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\0&−1&1\\7&1&−1\end{vmatrix},\) e\(\vecs{c}=\mathbf{\hat i}−\mathbf{\hat k}.\)

    21) [T] Use o produto cruzado\(\vecs{u}\times\vecs{v}\) para encontrar o ângulo agudo entre os vetores\(\vecs{u}\) e\(\vecs{v}\), onde\(\vecs{u}=\mathbf{\hat i}+2\mathbf{\hat j}\) e\(\vecs{v}=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat k}.\) expresse a resposta em graus arredondados para o número inteiro mais próximo.

    Responda
    \( 72°\)

    22) [T] Use o produto cruzado\(\vecs{u}\times\vecs{v}\) para encontrar o ângulo obtuso entre vetores\(\vecs{u}\) e\(\vecs{v}\), onde\(\vecs{u}=−\mathbf{\hat i}+3\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k}\) e\(\vecs{v}=\mathbf{\hat i}−2\mathbf{\hat j}.\) expresse a resposta em graus arredondados para o número inteiro mais próximo.

    23) Use o seno e o cosseno do ângulo entre dois vetores diferentes de zero\(\vecs u\) e\(\vecs v\) para provar a identidade de Lagrange:\(\|\vecs{u}\times\vecs{v}\|^2=\|\vecs{u}\|^2\|\vecs{v}\|^2−(\vecs{u}⋅\vecs{v})^2\).

    24) Verifique a identidade de Lagrange\(\|\vecs{u}\times\vecs{v}\|^2=\|\vecs{u}\|^2\|\vecs{v}\|^2−(\vecs{u}⋅\vecs{v})^2\) para vetores\(\vecs{u}=−\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}−2\mathbf{\hat k}\) e\(\vecs{v}=2\mathbf{\hat i}−\mathbf{\hat j}.\)

    25) Vetores diferentes de zero\(\vecs{u}\) e\(\vecs{v}\) são chamados de colineares se existir um escalar diferente de zero\(α\) tal\( \vecs{v}=α\vecs{u}\). \(\vecs{u}\)Mostre isso e\(\vecs{v}\) são colineares se e somente se\( \vecs{u}\times\vecs{v}=0.\)

    26) Vetores diferentes de zero\(\vecs{u}\) e\(\vecs{v}\) são chamados de colineares se existir um escalar diferente de zero\(α\) tal\( \vecs{v}=α\vecs{u}\). Mostre que vetores\( \vecd{AB}\) e\(\vecd{AC}\) são colineares, onde\(A(4,1,0), \, B(6,5,−2),\) e\(C(5,3,−1).\)

    27) Encontre a área do paralelogramo com lados adjacentes\(\vecs{u}=⟨3,2,0⟩\)\(\vecs{v}=⟨0,2,1⟩\) e.

    Responda
    \(7\)

    28) Encontre a área do paralelogramo com lados adjacentes\(\vecs{u}=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}\) e\(\vecs{v}=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat k}.\)

    29) Considere os pontos\(A(3,−1,2),\, B(2,1,5),\) e\(C(1,−2,−2).\)

    a. Encontre a área do paralelogramo\(ABCD\) com lados adjacentes\(\vecd{AB}\)\( \vecd{AC}\) e.

    b. Encontre a área do triângulo\(ABC\).

    c. Encontre a distância do ponto\(A\) à linha\(BC\).

    Responda
    a.\(5\sqrt{6};\) b.\(\frac{5\sqrt{6}}{2};\) c.\(\frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{59}} =\frac{5\sqrt{354}}{59} \)

    30) Considere os pontos\(A(2,−3,4),\, B(0,1,2),\) e\(C(−1,2,0).\)

    a. Encontre a área do paralelogramo\(ABCD\) com lados adjacentes\( \vecd{AB}\)\( \vecd{AC}\) e.

    b. Encontre a área do triângulo\(ABC\).

    c. Encontre a distância do ponto\(B\) à linha\(AC.\)

    Nos exercícios 31-32,\(\vecs{w}\) são fornecidos vetores\(\vecs{u}, \, \vecs{v}\) e 2.

    a. Encontre o produto escalar triplo\(\vecs{u}⋅(\vecs{v}×\vecs{w}).\)

    b. Encontre o volume do paralelepípedo com as bordas adjacentes\(\vecs{u},\,\vecs{v}\),\(\vecs{w}\) e.

    31)\(\quad \vecs{u}=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}, \quad \vecs{v}=\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k},\) e\(\quad \vecs{w}=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat k}\)

    Responda
    \( a. 2; \quad b. 2\)unidades 3

    32)\(\quad \vecs{u}=⟨−3,5,−1⟩, \quad \vecs{v}=⟨0,2,−2⟩,\) e\(\quad \vecs{w}=⟨3,1,1⟩\)

    33) Calcule os produtos escalares triplos\(\vecs{v}⋅(\vecs{u}×\vecs{w})\) e\(\vecs{w}⋅(\vecs{u}×\vecs{v}),\) onde\(\vecs{u}=⟨1,1,1⟩, \vecs{v}=⟨7,6,9⟩,\) e\(\vecs{w}=⟨4,2,7⟩.\)

    Responda
    \(\vecs{v}⋅(\vecs{u}×\vecs{w})=−1, \quad \vecs{w}⋅(\vecs{u}×\vecs{v})=1\)

    34) Calcule os produtos escalares triplos\(\vecs{w}⋅(\vecs{v}×\vecs{u})\) e\(\vecs{u}⋅(\vecs{w}×\vecs{v}),\) onde\(\vecs{u}=⟨4,2,−1⟩, \vecs{v}=⟨2,5,−3⟩,\) e\(\vecs{w}=⟨9,5,−10⟩.\)

    35) Encontre vetores\(\vecs{a},\, \vecs{b}\) e\(\vecs{c}\) com um produto escalar triplo dado pelo determinante\( \begin{vmatrix}1&2&3\\0&2&5\\8&9&2\end{vmatrix}\). Determine seu produto escalar triplo.

    Responda
    \(\vecs{a}=⟨1,2,3⟩, \quad \vecs{b}=⟨0,2,5⟩, \quad \vecs{c}=⟨8,9,2⟩; \quad \vecs{a}⋅(\vecs{b}×\vecs{c})=−9\)

    36) O produto escalar triplo dos vetores\(\vecs{a},\,\vecs{b}\), e\(\vecs{c}\) é dado pelo determinante\( \begin{vmatrix}0&−2&1\\0&1&4\\1&−3&7\end{vmatrix}\). Encontre o vetor\(\vecs{a}−\vecs{b}+\vecs{c}.\)

    37) Considere o paralelepípedo com bordas\( OA,OB,\) e\( OC\), onde\( A(2,1,0),B(1,2,0),\) e\( C(0,1,α).\)

    a. Encontre o número real de\( α>0\) forma que o volume do paralelepípedo seja a\( 3\) unidade 3.

    b. Para\( α=1,\) encontrar a altura\(h\) do vértice\(C\) do paralelepípedo. Esboce o paralelepípedo.

    Responda
    \( a. \, α=1; \quad b. \, h=1\)unidade,

    38) Considere pontos\( A(α,0,0),B(0,β,0),\) e\( C(0,0,γ)\), com\( α, β\), números reais\( γ\) positivos.

    a. Determine o volume do paralelepípedo com lados adjacentes\( \vecd{OA}, \vecd{OB},\)\( \vecd{OC}\) e.

    b. Encontre o volume do tetraedro com vértices\( O,A,B,\)\( C\) e. (Dica: O volume do tetraedro é igual\( 1/6\) ao volume do paralelepípedo.)

    c. Encontre a distância da origem até o plano determinado por\( A,B,\)\( C\) e. Esboce o paralelepípedo e o tetraedro.

    39) Seja\( u,v,\) e\( w\) seja vetores tridimensionais e\(c\) seja um número real. Prove as seguintes propriedades do produto cruzado.

    uma.\(\vecs u×\vecs u=\vecs 0\)

    b.\(\vecs u×(\vecs v+\vecs w)=(\vecs u×\vecs v)+(\vecs u×\vecs w)\)

    c.\( c(\vecs u×\vecs v)=(c\vecs u)×\vecs v=\vecs u×(c\vecs v)\)

    d.\( \vecs u⋅(\vecs u×\vecs v)=\vecs 0\)

    40) Mostre esses vetores\(\vecs u=⟨1,0,−8⟩,\,\vecs v=⟨0,1,6⟩\) e\(\vecs w=⟨−1,9,3⟩\) satisfaça as seguintes propriedades do produto cruzado.

    uma.\(\vecs u×\vecs u=\vecs 0\)

    b.\(\vecs u×(\vecs v+\vecs w)=(\vecs u×\vecs v)+(\vecs u×\vecs w)\)

    c.\( c(\vecs u×\vecs v)=(c\vecs u)×\vecs v=\vecs u×(c\vecs v)\)

    d.\(\vecs u⋅(\vecs u×\vecs v)=\vecs 0\)

    41) Vetores\(\vecs u,\,\vecs v\) diferentes de zero e\(\vecs w\) são considerados linearmente dependentes se um dos vetores for uma combinação linear dos outros dois. Por exemplo, existem dois números reais diferentes de zero\( α\) e\( β\) tal\(\vecs w=α\vecs u+β\vecs v\). Caso contrário, os vetores são chamados de independentes linearmente. Mostre isso\(\vecs u,\vecs v\) e\(\vecs w\) pode ser colocado no mesmo plano se e somente se forem lineares dependentes.

    42) Considere\(\vecs u=⟨1,4,−7⟩,\,\vecs v=⟨2,−1,4⟩,\,\vecs w=⟨0,−9,18⟩\) vetores e\(\vecs p=⟨0,−9,17⟩.\)

    a. Mostre isso\(\vecs u,\,\vecs v\) e\(\vecs w\) pode ser colocado no mesmo plano usando seu produto escalar triplo

    b. Mostre isso\(\vecs u,\,\vecs v\) e\(\vecs w\) pode ser colocado no mesmo plano usando a definição de que existem dois números reais diferentes de zero\( α\) e\( β\) tal que\( w=αu+βv.\)

    c. Mostre que\(\vecs u,\,\vecs v\), e\(\vecs p\) são linearmente independentes, ou seja, nenhum dos vetores é uma combinação linear dos outros dois.

    43) Considere pontos\( A(0,0,2), B(1,0,2), C(1,1,2),\) e\( D(0,1,2).\) os vetores\( \vecd{AB}, \vecd{AC},\) e\( \vecd{AD}\) linearmente dependentes (ou seja, um dos vetores é uma combinação linear dos outros dois)?

    Responda
    Sim,\( \vecd{AD}=α\vecd{AB}+β\vecd{AC},\) onde\( α=−1\) e\( β=1.\)

    44) Mostre que vetores\( \mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}, \mathbf{\hat i}−\mathbf{\hat j},\) e\( \mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k}\) são linearmente independentes, ou seja, existem dois números reais diferentes de zero\(α\) e\(β\) tal que\(\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k}=α(\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j})+β(\mathbf{\hat i}−\mathbf{\hat j}).\)

    45) Seja\(\vecs u=⟨u_1,u_2⟩\) e\(\vecs v=⟨v_1,v_2⟩\) seja vetores bidimensionais. O produto cruzado dos vetores\(\vecs u\) e não\(\vecs v\) está definido. No entanto, se os vetores forem considerados vetores tridimensionais\( \tilde{\vecs u}=⟨u_1,u_2,0⟩\) e\( \tilde{\vecs v}=⟨v_1,v_2,0⟩\), respectivamente, nesse caso, podemos definir o produto cruzado de\( \tilde{\vecs u}\)\( \tilde{\vecs v}\) e. Em particular, na notação determinante, o produto cruzado de\( \tilde{\vecs u}\) e\( \tilde{\vecs v}\) é dado por

    \( \tilde{\vecs u}×\tilde{\vecs v}=\begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\u_1&u_2&0\\v_1&v_2&0\end{vmatrix}\).

    Use esse resultado para calcular\( (\cos θ\,\mathbf{\hat i}+\sin θ\,\mathbf{\hat j})×(\sin θ\,\mathbf{\hat i}−\cos θ\,\mathbf{\hat j}),\) onde\( θ\) está um número real.

    Responda
    \( −\mathbf{\hat k}\)

    46) Considere os pontos\( P(2,1), Q(4,2),\) e\( R(1,2).\)

    a. Encontre a área do triângulo\( PQR\).

    b. Determine a distância do ponto\( R\) até a linha que passa por\( P\)\( Q\) e.

    47) Determine um vetor de magnitude\( 10\) perpendicular ao plano que passa pelo eixo x e ponto\( P(1,2,4).\)

    Responda
    \( ⟨0,±4\sqrt{5},2\sqrt{5}⟩\)

    48) Determine um vetor unitário perpendicular ao plano que passa pelo eixo z e pelo ponto\( A(3,1,−2).\)

    49) Considere\(\vecs u\)\(\vecs v\) dois vetores tridimensionais. Se a magnitude do vetor do produto cruzado\(\vecs u×\vecs v\) for\( k\) vezes maior que a magnitude do vetor\(\vecs u\), mostre que a magnitude de\(\vecs v\) é maior ou igual a\( k\), onde\( k\) é um número natural.

    50) [T] Suponha que as magnitudes de dois vetores diferentes\(\vecs u\) de zero\(\vecs v\) sejam conhecidas. A função\( f(θ)=‖\vecs u‖‖\vecs v‖\sin θ\) define a magnitude do vetor do produto cruzado,\(\vecs u×\vecs v,\) onde\( θ∈[0,π]\) está o ângulo entre\(\vecs u\)\(\vecs v\) e.

    a. Faça um gráfico da função\( f\).

    b. Encontre o mínimo e o máximo absolutos da função\( f\). Interprete os resultados.

    c. Se\( ‖\vecs u‖=5\) e\( ‖\vecs v‖=2\), determine o ângulo entre\(\vecs u\) e\(\vecs v\) se a magnitude de seu vetor de produto cruzado é igual\( 9\) a.

    51) Encontre todos os vetores\(\vecs w=⟨w_1,w_2,w_3⟩\) que satisfazem a equação\( ⟨1,1,1⟩×\vecs w=⟨−1,−1,2⟩.\) Dica: Você deve ser capaz de escrever todos os componentes de\(\vecs w\) em termos de uma das constantes\(w_1,w_2,\) ou\(w_3\).

    Responda
    Escrevendo todos os componentes em termos da constante\(w_3\), uma forma de representar esses vetores é:\(\vecs w=⟨w_3−1,w_3+1,w_3⟩,\) onde\( w_3\) está qualquer número real.
    Observe que poderíamos usar qualquer parâmetro que desejássemos aqui. Nós poderíamos definir\(w_3 = a\). Então também\(\vecs w=⟨a−1,a+1,a⟩\) representaria esses vetores.

    52) Resolva a equação\(\vecs w×⟨1,0,−1⟩=⟨3,0,3⟩,\) em que\(\vecs w=⟨w_1,w_2,w_3⟩\) é um vetor diferente de zero com uma magnitude de\( 3\).

    53) [T] Um mecânico usa uma chave de 12 polegadas para girar um parafuso. A chave faz um\( 30°\) ângulo com a horizontal. Se o mecânico aplicar uma força vertical de\( 10\) lb na alça da chave, qual é a magnitude do torque no ponto\( P\) (veja a figura a seguir)? Expresse a resposta em pés-libras arredondadas para duas casas decimais.

    Responda
    8,66 pés-lb

    54) [T] Um menino aciona os freios em uma bicicleta aplicando uma força descendente de 20 lb no pedal quando a manivela de 6 polegadas faz um\( 40°\) ângulo com a horizontal (veja a figura a seguir). Encontre o torque no ponto\( P\). Expresse sua resposta em pés-libras arredondadas para duas casas decimais.

    55) [T] Encontre a magnitude da força que precisa ser aplicada na extremidade de uma chave de 20 cm localizada na direção positiva do\(y\) eixo -se a força for aplicada na direção\( ⟨0,1,−2⟩\) e ela produzir um torque\( 100\) N·m no parafuso localizado na origem.

    Responda
    \(250\sqrt{5}\)N\(\approx 559\) N

    56) [T] Qual é a magnitude da força necessária para ser aplicada na extremidade de uma chave de 1 pé em um ângulo de\( 35°\) para produzir um torque de\( 20\) N·m?

    57) [T] O vetor de força que\(\vecs F\) atua sobre um próton com uma carga elétrica de\( 1.6×10^{−19}\,C\) (em coulombs) movendo-se em um campo magnético\(\vecs B\) onde o vetor de velocidade\(\vecs v\) é dado por\(\vecs F=1.6×10^{−19}(\vecs v×\vecs B)\) (aqui,\(\vecs v\) é expresso em metros por segundo,\(\vecs B\) está em tesla [T] e\(\vecs F\) está em Newtons [N]). Encontre a força que atua em um próton que se move no\(xy\) plano -em velocidade\(\vecs v=10^5\mathbf{\hat i}+10^5\mathbf{\hat j}\) (em metros por segundo) em um campo magnético dado por\(\vecs B=0.3\mathbf{\hat j}\).

    Responda
    \(\vecs F=4.8×10^{−15}\,kN\)

    58) [T] O vetor de força que\(\vecs F\) atua sobre um próton com uma carga elétrica de\( 1.6×10^{−19}\,C\) se mover em um campo magnético\(\vecs B\) onde o vetor de velocidade\(\vecs v\) é dado por\(\vecs F=1.6×10^{−19}(\vecs v×\vecs B)\) (aqui,\(\vecs v\) é expresso em metros por segundo\( T\),\(\vecs B\) em e\(\vecs F\) em\( N\)). Se a magnitude da força\(\vecs F\) atuando sobre um próton for\( 5.9×10^{−17}\,N\) e o próton estiver se movendo à velocidade de 300 m/seg no campo magnético\(\vecs B\) de magnitude 2,4 T, encontre o ângulo entre o vetor\(\vecs v\) de velocidade do próton e o campo magnético\(\vecs B\). Expresse a resposta em graus arredondados para o número inteiro mais próximo.

    59) [T] Considere\(\vecs r(t)=⟨\cos t,\,\sin t,\,2t⟩\) o vetor de posição de uma partícula no momento\( t∈[0,30]\), onde os componentes de\(\vecs r\) são expressos em centímetros e o tempo em segundos. \( \vecd{OP}\)Seja o vetor de posição da partícula após o\( 1\) segundo.

    a. Determine o vetor unitário\(\vecs B(t)\) (chamado vetor unitário binormal) que tem a direção do vetor do produto cruzado\(\vecs v(t)×\vecs a(t),\) onde\(\vecs v(t)\) e\(\vecs a(t)\) são o vetor de velocidade instantânea e, respectivamente, o vetor de aceleração da partícula após\( t\) segundos.

    b. Use um CAS para visualizar vetores\(\vecs v(1),\,\vecs a(1)\) e\(\vecs B(1)\) como vetores começando no ponto\( P\) junto com o caminho da partícula.

    Responda

    uma.\(\vecs B(t)=⟨\frac{2\sqrt{5}\sin t}{5},−\frac{2\sqrt{5}\cos t}{5},\frac{\sqrt{5}}{5}⟩;\)

    b.

    60) Um painel solar é montado no telhado de uma casa. O painel pode ser considerado posicionado nos pontos de coordenadas (em metros)\( A(8,0,0), B(8,18,0), C(0,18,8),\) e\( D(0,0,8)\) (veja a figura a seguir).

    a. Encontre o vetor\(\vecs n=\vecd{AB}×\vecd{AD}\) perpendicular à superfície dos painéis solares. Expresse a resposta usando vetores unitários padrão. Observe que a magnitude desse vetor deve nos dar a área do retângulo\(ABCD\).

    b. Suponha\(\vecs s=\frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{\hat i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{\hat j}+\frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{\hat k}\) pontos vetoriais unitários em direção ao Sol em uma determinada hora do dia e o fluxo de energia solar seja\(\vecs F=900\vecs s\) (em watts por metro quadrado [\( W/m^2\)]). Encontre a quantidade prevista de energia elétrica que o painel pode produzir, que é dada pelo produto escalar dos vetores\(\vecs F\) e\(\vecs n\) (expressa em watts).

    c. Determine o ângulo de elevação do Sol acima do painel solar. Expresse a resposta em graus arredondados para o número inteiro mais próximo. (Dica: o ângulo entre os vetores\(\vecs n\) e\(\vecs s\) e o ângulo de elevação são complementares.)