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12.1E: Exercícios para a Seção 12.1

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Para os exercícios 1 a 10, considere os pontos\(P(−1,3), Q(1,5),\)\(R(−3,7)\) e. Determine os vetores solicitados e expresse cada um deles

    a. em forma de componente e

    b. usando vetores unitários padrão.

    1)\( \vecd{PQ}\)

    Responda
    a.\(\vecd{PQ}=⟨2,2⟩\)
    b.\(\vecd{PQ}=2\hat{\mathbf i}+2\hat{\mathbf j}\)

    2)\(\vecd{PR}\)

    3)\(\vecd{QP}\)

    Responda
    a.\(\vecd{QP}=⟨−2,−2⟩\)
    b.\(\vecd{QP}=−2\hat{\mathbf i}−2\hat{\mathbf j}\)

    4)\(\vecd{RP}\)

    5)\(\vecd{PQ}+\vecd{PR}\)

    Responda
    a.\(\vecd{PQ}+\vecd{PR}=⟨0,6⟩\)
    b.\(\vecd{PQ}+\vecd{PR}=6\hat{\mathbf j}\)

    6)\(\vecd{PQ}−\vecd{PR}\)

    7)\(2\vecd{PQ}−2\vecd{PR}\)

    Responda
    a.\(2\vecd{PQ}→−2\vecd{PR}=⟨8,−4⟩\)
    b.\(2\vecd{PQ}−2\vecd{PR}=8\hat{\mathbf i}−4\hat{\mathbf j}\)

    8)\(2\vecd{PQ}+\frac{1}{2}\vecd{PR}\)

    9) O vetor unitário na direção de\(\vecd{PQ}\)

    Responda
    a.\(\left\langle\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right\rangle\)
    b.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf i}+\frac{\sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf j}\)

    10) O vetor unitário na direção de\(\vecd{PR}\)

    11) Um vetor\({\overset{\scriptstyle\rightharpoonup}{\mathbf v}}\) tem ponto inicial\((−1,−3)\) e ponto terminal\((2,1)\). Encontre o vetor unitário na direção de\(\vecs v\). Expresse a resposta em forma de componente.

    Responda
    \(⟨\frac{3}{5},\frac{4}{5}⟩\)

    12) Um vetor\(\vecs v\) tem ponto inicial\((−2,5)\) e ponto terminal\((3,−1)\). Encontre o vetor unitário na direção de\(\vecs v\). Expresse a resposta em forma de componente.

    13) O vetor\(\vecs v\) tem ponto inicial\(P(1,0)\) e ponto terminal\(Q\) que estão no\(y\) eixo -e acima do ponto inicial. Encontre as coordenadas do ponto terminal de\(Q\) forma que a magnitude do vetor\(\vecs v\) seja\(\sqrt{5}\).

    Responda
    \(Q(0,2)\)

    14) O vetor\(\vecs v\) tem ponto inicial\(P(1,1)\) e ponto terminal\(Q\) que estão no\(x\) eixo -e à esquerda do ponto inicial. Encontre as coordenadas do ponto terminal de\(Q\) forma que a magnitude do vetor\(\vecs v\) seja\(\sqrt{10}\).

    Para os exercícios 15 e 16, use os vetores fornecidos\(\vecs a\)\(\vecs b\) e.

    a. Determine a soma vetorial\(\vecs a+\vecs b\) e expresse-a na forma de componente e usando os vetores unitários padrão.

    b. Encontre a diferença vetorial\(\vecs a −\vecs b\) e expresse-a na forma de componente e usando os vetores unitários padrão.

    c. Verifique se os vetores\(\vecs a, \; \vecs b,\) e\(\vecs a+\vecs b\), e, respectivamente\(\vecs a, \, \vecs b\), e\(\vecs a−\vecs b\) satisfazem a desigualdade do triângulo.

    d. Determine os vetores\(2\vecs a, \;−\vecs b,\) e\(2\vecs a−\vecs b.\) expresse os vetores na forma de componentes e usando vetores unitários padrão.

    15)\(\vecs a=2\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}, \quad \vecs b=\hat{\mathbf i}+3\hat{\mathbf j}\)

    Responda
    \(a.\, \vecs a+\vecs b=⟨3,4⟩, \quad \vecs a+\vecs b=3\hat{\mathbf i}+4\hat{\mathbf j}\)
    \(b.\, \vecs a−\vecs b=⟨1,−2⟩, \quad \vecs a−\vecs b=\hat{\mathbf i}−2\hat{\mathbf j}\)
    \(c.\)As respostas variarão
    \(d.\, 2\vecs a=⟨4,2⟩, \quad 2\vecs a=4\hat{\mathbf i}+2\hat{\mathbf j}, \quad −\vecs b=⟨−1,−3⟩, \quad −\vecs b=−\hat{\mathbf i}−3\hat{\mathbf j}, \quad 2\vecs a−\vecs b=⟨3,−1⟩, \quad 2\vecs a−\vecs b=3\hat{\mathbf i}−\hat{\mathbf j}\)

    16)\(\vecs a=2\hat{\mathbf i}, \quad \vecs b=−2\hat{\mathbf i}+2\hat{\mathbf j}\)

    17)\(\vecs a\) Seja um vetor de posição padrão com ponto terminal\((−2,−4)\). \(\vecs b\)Seja um vetor com ponto inicial\((1,2)\) e ponto terminal\((−1,4)\). Encontre a magnitude do vetor\(−3\vecs a+\vecs b−4\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}.\)

    Responda
    \(15\)

    18)\(\vecs a\) Seja um vetor de posição padrão com ponto terminal em\((2,5)\). \(\vecs b\)Seja um vetor com ponto inicial\((−1,3)\) e ponto terminal\((1,0)\). Encontre a magnitude do vetor\(\vecs a−3\vecs b+14\hat{\mathbf i}−14\hat{\mathbf j}.\)

    19) Seja\(\vecs u\) e\(\vecs v\) seja dois vetores diferentes de zero que não são equivalentes. Considere os vetores\(\vecs a=4\vecs u+5\vecs v\) e os\(\vecs b=\vecs u+2\vecs v\) definidos em termos de\(\vecs u\)\(\vecs v\) e. Encontre o escalar de\(λ\) forma que os\(\vecs a+λ\vecs b\) vetores\(\vecs u−\vecs v\) sejam equivalentes.

    Responda
    \(λ=−3\)

    20) Seja\(\vecs u\) e\(\vecs v\) seja dois vetores diferentes de zero que não sejam equivalentes. Considere os vetores\(\vecs a=2\vecs u−4\vecs v\) e os\(\vecs b=3\vecs u−7\vecs v\) definidos em termos de\(\vecs u\)\(\vecs v\) e. Encontre os escalares\(α\) e de\(β\) forma que os vetores\(α\vecs a+β\vecs b\)\(\vecs u−\vecs v\) sejam equivalentes.

    21) Considere o vetor\(\vecs a(t)=⟨\cos t, \sin t⟩\) com componentes que dependem de um número real\(t\). Conforme o número\(t\) varia, os componentes também\(\vecs a(t)\) mudam, dependendo das funções que os definem.

    a. Escreva os vetores\(\vecs a(0)\) e\(\vecs a(π)\) em forma de componente.

    b. Mostre que a magnitude\(∥\vecs a(t)∥\) do vetor\(\vecs a(t)\) permanece constante para qualquer número real\(t\).

    c. Conforme\(t\) varia, mostre que o ponto terminal do vetor\(\vecs a(t)\) descreve um círculo centrado na origem do raio\(1\).

    Responda
    \(a.\, \vecs a(0)=⟨1,0⟩, \quad \vecs a(π)=⟨−1,0⟩\)
    \(b.\)As respostas podem variar
    \(c.\) As respostas podem variar

    22) Considere um vetor\(\vecs a(x)=⟨x,\sqrt{1−x^2}⟩\) com componentes que dependem de um número real\(x∈[−1,1]\). Conforme o número\(x\) varia, os componentes também\(\vecs a(x)\) mudam, dependendo das funções que os definem.

    a. Escreva os vetores\(\vecs a(0)\) e\(\vecs a(1)\) em forma de componente.

    b. Mostre que a magnitude\(∥\vecs a(x)∥\) do vetor\(\vecs a(x)\) permanece constante para qualquer número real\(x\).

    c. Conforme\(x\) varia, mostre que o ponto terminal do vetor\(\vecs a(x)\) descreve um círculo centrado na origem do raio\(1\).

    23)\(\vecs a(t)=⟨\cos t, \sin t⟩\) Mostre que os vetores\(\vecs a(x)=⟨x,\sqrt{1−x^2}⟩\) são equivalentes para\(x=1\) e\(t=2kπ\), onde\(k\) é um número inteiro.

    Resposta As respostas podem variar

    24)\(\vecs a(t)=⟨\cos t, \sin t⟩\) Mostre que os vetores\(\vecs a(x)=⟨x,\sqrt{1−x^2}⟩\) são opostos para\(x=1\) e\(t=π+2kπ\), onde\(k\) é um número inteiro.

    Para os exercícios 25-28, encontre um vetor\(\vecs v\) com a magnitude dada e na mesma direção do vetor\(\vecs u\).

    25)\(\|\vecs v\|=7, \quad \vecs u=⟨3,4⟩\)

    Responda
    \(\vecs v=⟨\frac{21}{5},\frac{28}{5}⟩\)

    26)\(‖\vecs v‖=3,\quad \vecs u=⟨−2,5⟩\)

    27)\(‖\vecs v‖=7,\quad \vecs u=⟨3,−5⟩\)

    Responda
    \(\vecs v=⟨\frac{21\sqrt{34}}{34},−\frac{35\sqrt{34}}{34}⟩\)

    28)\(‖\vecs v‖=10,\quad \vecs u=⟨2,−1⟩\)

    Para os exercícios 29-34, determine a forma componente do vetor\(\vecs u\), dada sua magnitude e o ângulo que o vetor faz com o\(x\) eixo positivo. Dê respostas exatas sempre que possível.

    29)\(‖\vecs u‖=2, θ=30°\)

    Responda
    \(\vecs u=⟨\sqrt{3},1⟩\)

    30)\(‖\vecs u‖=6, θ=60°\)

    31)\(‖\vecs u‖=5, θ=\frac{π}{2}\)

    Responda
    \(\vecs u=⟨0,5⟩\)

    32)\(‖\vecs u‖=8, θ=π\)

    33)\(‖\vecs u‖=10, θ=\frac{5π}{6}\)

    Responda
    \(\vecs u=⟨−5\sqrt{3},5⟩\)

    34)\(‖\vecs u‖=50, θ=\frac{3π}{4}\)

    Para os exercícios 35 e 36, o vetor\(\vecs u\) é fornecido. Encontre o ângulo\(θ∈[0,2π)\) que o vetor\(\vecs u\) faz com a direção positiva do\(x\) eixo -, no sentido anti-horário.

    (35)\(\vecs u=5\sqrt{2}\hat{\mathbf i}−5\sqrt{2}\hat{\mathbf j}\)

    Responda
    \(θ=\frac{7π}{4}\)

    36)\(\vecs u=−\sqrt{3}\hat{\mathbf i}−\hat{\mathbf j}\)

    37) Seja\(\vecs a=⟨a_1,a_2⟩, \vecs b=⟨b_1,b_2⟩\) e\(\vecs c =⟨c_1,c_2⟩\) seja três vetores diferentes de zero. Se\(a_1b_2−a_2b_1≠0\), então mostre que existem dois escalares\(α\) e\(β\), de forma que\(\vecs c=α\vecs a+β\vecs b.\)

    Resposta As respostas podem variar

    38) Considere vetores\(\vecs a=⟨2,−4⟩, \vecs b=⟨−1,2⟩,\) e\(\vecs c =\vecs 0\) determine os escalares\(α\) e\(β\) tal que\(\vecs c=α\vecs a+β\vecs b\).

    39)\(P(x_0,f(x_0))\) Seja um ponto fixo no gráfico da função diferenciável\(f\) com um domínio que é o conjunto de números reais.

    a. Determine o número real de\(z_0\) forma que o ponto\(Q(x_0+1,z_0)\) esteja situado na reta tangente ao gráfico de\(f\) no ponto\(P\).

    b. Determine o vetor unitário\(\vecs u\) com o ponto inicial\(P\) e o ponto terminal\(Q\).

    Responda
    \(a. \quad z_0=f(x_0)+f′(x_0); \quad b. \quad \vecs u=\frac{1}{\sqrt{1+[f′(x_0)]^2}}⟨1,f′(x_0)⟩\)

    40) Considere a função\(f(x)=x^4,\) onde\(x∈R\).

    a. Determine o número real de\(z_0\) forma que o ponto\(Q(2,z_0)\) esteja situado na reta tangente ao gráfico de um\(f\) ponto\(P(1,1)\).

    b. Determine o vetor unitário\(\vecs u\) com o ponto inicial\(P\) e o ponto terminal\(Q\).

    41) Considere\(f\)\(g\) duas funções definidas no mesmo conjunto de números reais\(D\). \(\vecs a=⟨x,f(x)⟩\)\(\vecs b=⟨x,g(x)⟩\)Sejam dois vetores que descrevem os gráficos das funções, onde\(x∈D\). \(f\)Mostre que, se os gráficos das funções\(g\) não se cruzarem, os vetores\(\vecs a\) não\(\vecs b\) serão equivalentes.

    42) Descubra de\(x∈R\) forma que os\(\vecs a=⟨x, \sin x⟩\) vetores\(\vecs b=⟨x, \cos x⟩\) sejam equivalentes.

    43) Calcule as coordenadas do ponto de\(D\) forma que\(ABCD\) seja um paralelogramo\(A(1,1), B(2,4)\), com\(C(7,4)\) e.

    Responda
    \(D(6,1)\)

    44) Considere os pontos\(A(2,1), B(10,6), C(13,4)\),\(D(16,−2)\) e. Determine a forma do componente do vetor\(\vecd{AD}\).

    45) A velocidade de um objeto é a magnitude de seu vetor de velocidade relacionado. Uma bola de futebol lançada por um zagueiro tem uma velocidade inicial de\(70\) mph e um ângulo de elevação de\(30°\). Determine o vetor de velocidade em mph e expresse-o na forma de componente. (Arredonde para duas casas decimais.)

    Responda
    \(⟨60.62,35⟩\)

    46) Um jogador de beisebol joga uma bola de beisebol em um ângulo\(30°\) com a horizontal. Se a velocidade inicial da bola for\(100\) mph, encontre os componentes horizontal e vertical do vetor de velocidade inicial da bola de beisebol. (Arredonde para duas casas decimais.)

    47) Uma bala é disparada com uma velocidade inicial de\(1500\) pés/seg em um ângulo\(60°\) com a horizontal. Encontre os componentes horizontal e vertical do vetor de velocidade da bala. (Arredonde para duas casas decimais.)

    Responda
    Os componentes horizontal e vertical são\(750\) pés/seg e\(1299.04\) pés/seg, respectivamente.

    48) [T] Um velocista de 65 kg exerce uma força de\(798\) N em um\(19°\) ângulo em relação ao solo no bloco de partida no instante em que uma corrida começa. Encontre o componente horizontal da força. (Arredonde para duas casas decimais.)

    49) [T] Duas forças, uma força horizontal de\(45\) lb e outra de\(52\) lb, atuam no mesmo objeto. O ângulo entre essas forças é\(25°\). Encontre a magnitude e o ângulo de direção do\(x\) eixo positivo da força resultante que atua no objeto. (Arredonde para duas casas decimais.)

    Responda
    A magnitude da força resultante é\(94.71\) lb; o ângulo de direção é\(13.42°\).

    50) [T] Duas forças, uma força vertical de\(26\) lb e outra de\(45\) lb, atuam no mesmo objeto. O ângulo entre essas forças é\(55°\). Encontre a magnitude e o ângulo de direção do\(x\) eixo positivo da força resultante que atua no objeto. (Arredonde para duas casas decimais.)

    51) [T] Três forças atuam sobre o objeto. Duas das forças têm as magnitudes\(58\) N e\(27\) N e formam ângulos\(53°\) e\(152°\), respectivamente, com o\(x\) eixo positivo. Encontre a magnitude e o ângulo de direção do\(x\) eixo positivo da terceira força, de forma que a força resultante atuando no objeto seja zero. (Arredonde para duas casas decimais.)

    Responda
    A magnitude do terceiro vetor é\(60.03\) N; o ângulo de direção é\(259.38°\).

    52) Três forças com magnitudes 80 lb, 120 lb e 60 lb atuam sobre um objeto em ângulos de\(45°, 60°\) e\(30°\), respectivamente, com o\(x\) eixo positivo. Encontre a magnitude e o ângulo de direção do\(x\) eixo positivo da força resultante. (Arredonde para duas casas decimais.)

    53) [T] Um avião está voando na direção\(43°\) leste do norte (também abreviado como a uma\(N43E\) velocidade de\(550\) mph). Um vento com velocidade\(25\) mph vem do sudoeste com um rumo de\(N15E\). Quais são a velocidade do solo e a nova direção do avião?

    Responda
    A nova velocidade do avião no solo é\(572.19\) mph; a nova direção é\(N41.82E.\)

    54) [T] Um barco está viajando na água a\(30\) mph na direção de\(N20E\) (isto é,\(20°\) leste do norte). Uma corrente forte está se movendo a\(15\) mph na direção de\(N45E\). Quais são as novas velocidades e direções do barco?

    55) [T] Um peso de 50 libras é pendurado por um cabo para que as duas partes do cabo façam ângulos de\(40°\) e\(53°\), respectivamente, com a horizontal. Encontre as magnitudes das forças de tensão\(\vecs T_1\) e\(\vecs T_2\) nos cabos se a força resultante atuando no objeto for zero. (Arredonde para duas casas decimais.)

    Responda
    \(\|\vecs T_1\|=30.13 \, lb, \quad \|\vecs T_2\|=38.35 \, lb\)

    56) [T] Um peso de 62 libras está pendurado em uma corda que faz os ângulos de\(29°\) e\(61°\), respectivamente, com a horizontal. Encontre as magnitudes das forças de tensão\(\vecs T_1\) e\(\vecs T_2\) nos cabos se a força resultante atuando no objeto for zero. (Arredonde para duas casas decimais.)

    57) [T] Um barco de 1500 libras está estacionado em uma rampa que faz um ângulo\(30°\) com a horizontal. O vetor de peso do barco aponta para baixo e é a soma de dois vetores: um vetor horizontal\(\vecs v_1\) que é paralelo à rampa e um vetor vertical\(\vecs v_2\) que é perpendicular à superfície inclinada. As magnitudes dos vetores\(\vecs v_1\) e\(\vecs v_2\) são os componentes horizontal e vertical, respectivamente, do vetor de peso do barco. Encontre as magnitudes de\(\vecs v_1\)\(\vecs v_2\) e. (Arredondar para o número inteiro mais próximo.)

    Responda
    \(\|\vecs v_1\|=750 \, lb, \quad \|\vecs v_2\|=1299 \, lb\)

    58) [T] Uma caixa de 85 libras está em repouso em uma\(26°\) inclinação. Determine a magnitude da força paralela à inclinação necessária para evitar que a caixa deslize. (Arredondar para o número inteiro mais próximo.)

    59) Um fio condutor suporta um poste de\(75\) pés de altura. Uma extremidade do fio é fixada na parte superior do poste e a outra extremidade é ancorada ao solo, a\(50\) pés da base do poste. Determine os componentes horizontal e vertical da força de tensão no fio se sua magnitude for\(50\) lb. (Arredonde para o número inteiro mais próximo).

    Responda
    Os dois componentes horizontais e verticais da força de tensão são\(28\) lb e\(42\) lb, respectivamente.

    60) Um cabo telefônico tem um ângulo de elevação em\(35°\) relação ao solo. A força de tensão no fio condutor é\(120\) lb. Encontre os componentes horizontal e vertical da força de tensão. (Arredondar para o número inteiro mais próximo.)