11.3E: Exercícios para a Seção 11.3

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Nos exercícios 1 a 7, plote o ponto cujas coordenadas polares são dadas construindo primeiro o ângulo$θ$ e depois marcando a distância$r$ ao longo do raio.

1)$\left(3,\frac{π}{6}\right)$

Responda: $No plano de coordenadas polares, um raio é desenhado a partir da marca de origem π /6 e um ponto é desenhado quando essa linha cruza o círculo com o raio 3.$

2)$\left(−2,\frac{5π}{3}\right)$

3)$\left(0,\frac{7π}{6}\right)$

Responda: $No plano de coordenadas polares, um raio é desenhado a partir da marca de origem 7π /6 e um ponto é desenhado quando essa linha cruza o círculo com o raio 0, ou seja, marca a origem.$

4)$\left(−4,\frac{3π}{4}\right)$

5)$\left(1,\frac{π}{4}\right)$

Responda: $No plano de coordenadas polares, um raio é desenhado a partir da marca de origem π /4 e um ponto é desenhado quando essa linha cruza o círculo com o raio 1.$

6)$\left(2,\frac{5π}{6}\right)$

7)$\left(1,\frac{π}{2}\right)$

Responda: $No plano de coordenadas polares, um raio é desenhado a partir da marca de origem π /2 e um ponto é desenhado quando essa linha cruza o círculo com o raio 1.$

Nos exercícios 8 a 11, considere o gráfico polar abaixo. Dê dois conjuntos de coordenadas polares para cada ponto.

$O plano de coordenadas polares é dividido em 12 pilares. O ponto A é desenhado no primeiro círculo no primeiro raio acima da linha θ = 0 no primeiro quadrante. O ponto B é desenhado no quarto quadrante no terceiro círculo e o segundo raio abaixo da linha θ = 0. O ponto C é desenhado na linha θ = π no terceiro círculo. O ponto D é desenhado no quarto círculo no primeiro raio abaixo da linha θ = π.$

8) Coordenadas do ponto A.

9) Coordenadas do ponto B.

Responda: $B\left(3,\frac{−π}{3}\right) B\left(−3,\frac{2π}{3}\right)$

10) Coordenadas do ponto C.

11) Coordenadas do ponto D.

Responda: $D\left(5,\frac{7π}{6}\right) D\left(−5,\frac{π}{6}\right)$

Nos exercícios 12 a 17, as coordenadas retangulares de um ponto são dadas. Encontre dois conjuntos de coordenadas polares para o ponto em$(0,2π]$. Arredonde para três casas decimais.

12)$(2,2)$

13)$(3,−4)$

Responda: $(5,−0.927),\;(−5,−0.927+π)$

14)$(8,15)$

15)$(−6,8)$

Responda: $(10,−0.927),\;(−10,−0.927+π)$

16)$(4,3)$

17)$(3,−\sqrt{3})$

Responda: $(2\sqrt{3},−0.524),\;(−2\sqrt{3},−0.524+π)$

Nos exercícios 18 a 24, encontre coordenadas retangulares para um determinado ponto nas coordenadas polares.

18)$\left(2,\frac{5π}{4}\right)$

19)$\left(−2,\frac{π}{6}\right)$

Responda: $(−\sqrt{3},−1)$

20)$\left(5,\frac{π}{3}\right)$

21)$\left(1,\frac{7π}{6}\right)$

Responda: $\left(−\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{−1}{2}\right)$

22)$\left(−3,\frac{3π}{4}\right)$

23)$\left(0,\frac{π}{2}\right)$

Responda: $(0,0)$

24)$(−4.5,6.5)$

Nos exercícios 25 a 29, determine se os gráficos da equação polar são simétricos em relação ao$x$ eixo -, ao$y$ eixo -ou à origem.

25)$r=3\sin(2θ)$

Responda: Simetria em relação ao eixo x, eixo y e origem.

26)$r^2=9\cos θ$

27)$r=\cos\left(\frac{θ}{5}\right)$

Responda: Simétrico somente em relação ao eixo x.

28)$r=2\sec θ$

29)$r=1+\cos θ$

Responda: Simetria somente em relação ao eixo x.

Nos exercícios 30 a 33, descreva o gráfico de cada equação polar. Confirme cada descrição convertendo-a em uma equação retangular.

30)$r=3$

31)$θ=\frac{π}{4}$

Responda: Linha$y=x$

32)$r=\sec θ$

33)$r=\csc θ$

Responda: $y=1$

Nos exercícios 34 a 36, converta a equação retangular na forma polar e esboce seu gráfico.

34)$x^2+y^2=16$

(35)$x^2−y^2=16$

Responda

Hipérbole; forma polar$r^2\cos(2θ)=16$ ou$r^2=16\sec θ.$

$Uma hipérbole com vértices em (−4, 0) e (4, 0), a primeira apontando para os quadrantes II e III e a segunda apontando para os quadrantes I e IV.$

36)$x=8$

Nos exercícios 37 a 38, converta a equação retangular na forma polar e esboce seu gráfico.

37)$3x−y=2$

Responda

$r=\frac{2}{3\cos θ−\sin θ}$

$Uma linha reta com inclinação 3 e intercepto y −2.$

38)$y^2=4x$

Nos exercícios 39 a 43, converta a equação polar em forma retangular e esboce seu gráfico.

39)$r=4\sin θ$

40)$x^2+y^2=4y$

Responda: $Um círculo de raio 2 com centro em (2, π /2).$

41)$r=6\cos θ$

(42)$r=θ$

Responda

$x\tan\sqrt{x^2+y^2}=y$

$Uma espiral que começa na origem e cruza θ = π /2 entre 1 e 2, θ = π entre 3 e 4, θ = 3π /2 entre 4 e 5, θ = 0 entre 6 e 7, θ = π entre 7 e 8 e θ = π entre 9 e 10.$

43)$r=\cot θ\csc θ$

Nos exercícios 44 a 54, esboce um gráfico da equação polar e identifique qualquer simetria.

44)$r=1+\sin θ$

Responda

$y$simetria de -eixo

$Cardioide com a parte superior do coração na origem e o resto do cardióide orientado para cima.$

45)$r=3−2\cos θ$

(46)$r=2−2\sin θ$

Responda

$y$simetria de -eixo

$Cardioide com a parte superior do coração na origem e o restante do cardióide orientado para baixo.$

47)$r=5−4\sin θ$

48)$r=3\cos(2θ)$

Responda

$x$simetria e simetria dos$y$ eixos -e -sobre o polo

$Uma rosa com quatro pétalas que atingem sua extensão mais distante da origem em θ = 0, π, π e 3π /2.$

49)$r=3\sin(2θ)$

50)$r=2\cos(3θ)$

Responda: $x$simetria de -eixo
$Uma rosa com três pétalas que atingem sua extensão mais distante da origem em θ = 0, 2π /3 e 4π /3.$

51)$r=3\cos\left(\frac{θ}{2}\right)$

52)$r^2=4\cos\left(\frac{2}{θ}\right)$

Responda

$x$simetria e simetria dos$y$ eixos -e -sobre o polo

$O símbolo do infinito com o ponto de cruzamento na origem e com a maior extensão das duas pétalas em θ = 0 e π.$

53)$r^2=4\sin θ$

54)$r=2θ$

Responda: sem simetria
$Uma espiral que começa na origem cruzando a linha θ = π /2 entre 3 e 4, θ = π entre 6 e 7, θ = 3π entre 9 e 10, θ = 0 entre 12 e 13, θ = π entre 15 e 16 e θ = π entre 18 e 19.$

55) [T] O gráfico de$r=2\cos(2θ)\sec(θ).$ é chamado de estrofóide. Use um utilitário gráfico para esboçar o gráfico e, a partir do gráfico, determinar a assíntota.

56) [T] Use um utilitário gráfico e esboce o gráfico de$r=\dfrac{6}{2\sin θ−3\cos θ}$.

Responda: uma linha
$Uma linha que cruza o eixo y em aproximadamente 3 e tem inclinação de aproximadamente 3/2.$

57) [T] Use um utilitário gráfico para representar graficamente$r=\frac{1}{1−\cos θ}$.

58) [T] Use a tecnologia para representar graficamente$r=e^{\sin(θ)}−2\cos(4θ)$.

Responda: $Uma forma geométrica que lembra uma borboleta com asas maiores no primeiro e segundo quadrantes, asas menores no terceiro e quarto quadrantes, um corpo ao longo da linha θ = π /2 e pernas ao longo das linhas θ = 0 e π.$

59) [T] Use a tecnologia para traçar$r=\sin(\frac{3θ}{7})$ (use o intervalo$0≤θ≤14π$).

60) Sem usar tecnologia, esboce a curva polar$θ=\frac{2π}{3}$.

Responda: $Uma linha com θ = 120°.$

61) [T] Use um utilitário gráfico$r=θ\sin θ$ para plotar$−π≤θ≤π$.

62) [T] Use a tecnologia para traçar$r=e^{−0.1θ}$ para$−10≤θ≤10.$

Responda: $Uma espiral que começa no terceiro quadrante.$

63) [T] Existe uma curva conhecida como “Buraco Negro”. Use a tecnologia$r=e^{−0.01θ}$ para planejar$−100≤θ≤100$.

64) [T] Use os resultados dos dois problemas anteriores para explorar os gráficos de$r=e^{−0.001θ}$ e$r=e^{−0.0001θ}$ para$|θ|>100$.

Responda: As respostas variam. Uma possibilidade é que as linhas espirais se aproximem e o número total de espirais aumente.