9 : Séquences et séries
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Le sujet des séries infinies peut sembler sans rapport avec le calcul différentiel et intégral. En fait, une série infinie dont les termes impliquent les puissances d'une variable est un outil puissant que nous pouvons utiliser pour exprimer des fonctions sous forme de « polynômes infinis ». Nous pouvons utiliser des séries infinies pour évaluer des fonctions complexes, approximer des intégrales définies et créer de nouvelles fonctions. De plus, des séries infinies sont utilisées pour résoudre des équations différentielles qui modélisent le comportement physique, des minuscules circuits électroniques aux satellites en orbite autour de la Terre.
- 9.0 : Prélude à la séquence et à la série
- Le flocon de neige de Koch est construit à partir d'un nombre infini de triangles équilatéraux qui ne se chevauchent pas. Par conséquent, nous pouvons exprimer sa superficie comme la somme d'une infinité de termes. Comment ajouter une infinité de termes ? La somme d'un nombre infini de termes peut-elle être finie ? Pour répondre à ces questions, nous devons introduire le concept d'une série infinie, une somme composée d'une infinité de termes. Après avoir défini les outils nécessaires, nous pourrons calculer la surface du flocon de neige de Koch.
- 9.1 : Séquences
- Dans cette section, nous présentons des séquences et définissons ce que cela signifie pour une séquence de converger ou de diverger. Nous montrons comment déterminer les limites des séquences qui convergent, souvent en utilisant les propriétés des limites des fonctions décrites précédemment. Nous clôturons cette section avec le théorème de convergence monotone, un outil que nous pouvons utiliser pour prouver que certains types de séquences convergent.
- 9.2 : Série Infinite
- Dans cette section, nous définissons une série infinie et montrons comment les séries sont liées aux séquences. Nous définissons également ce que signifie la convergence ou la divergence d'une série. Nous présentons l'un des types de séries les plus importants : les séries géométriques. Nous utiliserons des séries géométriques dans le chapitre suivant pour écrire certaines fonctions sous forme de polynômes avec un nombre infini de termes. Ce processus est important car il nous permet d'évaluer, de différencier et d'intégrer des fonctions complexes à l'aide de polynômes.
- 9.3 : La divergence et les tests intégraux
- La convergence ou la divergence de plusieurs séries est déterminée en calculant explicitement la limite de la séquence de sommes partielles. Dans la pratique, le calcul explicite de cette limite peut s'avérer difficile, voire impossible. Il existe plusieurs tests qui nous permettent de déterminer la convergence ou la divergence pour de nombreux types de séries. Nous discutons ici de deux de ces tests : le test de divergence et le test intégral. Nous examinerons plusieurs autres tests dans la suite de ce chapitre, puis nous résumerons comment et quand les utiliser.
- 9.4 : Tests de comparaison
- Nous avons vu que le test d'intégrale nous permet de déterminer la convergence ou la divergence d'une série en la comparant à une intégrale impropre associée. Dans cette section, nous montrons comment utiliser des tests de comparaison pour déterminer la convergence ou la divergence d'une série en la comparant à une série dont la convergence ou la divergence est connue. Ces tests sont généralement utilisés pour déterminer la convergence de séries similaires à des séries géométriques ou à des séries p.
- 9.5 : Séries alternées
- Dans cette section, nous présentons les séries alternées, c'est-à-dire les séries dont les termes alternent en signes. Nous montrerons dans un chapitre ultérieur que ces séries apparaissent souvent lors de l'étude des séries de puissance. Après avoir défini les séries alternées, nous introduisons le test des séries alternées pour déterminer si une telle série converge.
- 9.6 : Tests des ratios et des racines
- Dans cette section, nous prouvons les deux dernières séries de tests de convergence : le test du ratio et le test de racine. Ces tests sont intéressants car ils ne nous obligent pas à trouver une série comparable. Le test du ratio sera particulièrement utile dans la discussion des séries de puissance dans le chapitre suivant. Tout au long de ce chapitre, nous avons vu qu'aucun test de convergence ne fonctionne pour toutes les séries. Par conséquent, à la fin de cette section, nous discutons d'une stratégie permettant de choisir le test de convergence à utiliser pour une série donnée.
Miniature : Pour les séries harmoniques alternées, les\(S_{2k+1}\) termes impairs de la séquence de sommes partielles sont décroissants et bornés en dessous. Les termes pairs\(S_{2k}\) augmentent et se situent au-dessus.