9.7 : Exercices de révision du chapitre 9
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Vrai ou faux ? Justifiez votre réponse par une preuve ou un contre-exemple.
1) Si\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0,\) alors\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge.
- Réponse
- faux
2) Si\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n≠0,\) alors\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) diverge.
3) Si\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|\) converge, alors\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge.
- Réponse
- vrai
4) Si\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞2^na_n\) converge, alors\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞(−2)^na_n\) converge.
La séquence est-elle bornée, monotone et convergente ou divergente ? S'il est convergent, trouvez la limite.
5)\(a_n=\dfrac{3+n^2}{1−n}\)
- Réponse
- illimité, non monotone, divergent
6)\(a_n=\ln\left(\frac{1}{n}\right)\)
7)\(a_n=\dfrac{\ln(n+1)}{\sqrt{n+1}}\)
- Réponse
- borné, monotone, convergent,\(0\)
8)\(a_n=\dfrac{2^{n+1}}{5^n}\)
9)\(a_n=\dfrac{\ln(\cos n)}{n}\)
- Réponse
- illimité, non monotone, divergent
La série est-elle convergente ou divergente ?
10)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2+5n+4}\)
11)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\)
- Réponse
- diverge
(12)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^n}{n^4}\)
13)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{e^n}{n!}\)
- Réponse
- converge
(14)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞n^{−(n+1/n)}\)
La série est-elle convergente ou divergente ? Si elle est convergente, est-elle absolument convergente ?
15)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^n}{\sqrt{n}}\)
- Réponse
- converge, mais pas absolument
16)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^nn!}{3^n}\)
17)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^nn!}{n^n}\)
- Réponse
- converge absolument
18)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\sin\left(\frac{nπ}{2}\right)\)
19)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\cos(πn)e^{−n}\)
- Réponse
- converge absolument
Évaluer.
20)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^{n+4}}{7^n}\)
(21)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{(n+1)(n+2)}\)
- Réponse
- \(\frac{1}{2}\)
22) Une légende indienne raconte qu'un mathématicien a inventé les échecs pour un roi. Le roi a tellement apprécié le jeu qu'il a autorisé le mathématicien à exiger n'importe quel paiement. Le mathématicien a demandé un grain de riz pour la première case de l'échiquier, deux grains de riz pour la deuxième case de l'échiquier, et ainsi de suite. Trouvez une expression exacte du paiement total (en grains de riz) demandé par le mathématicien. En supposant qu'il y ait des\(30,000\) grains de riz en\(1\)\(2000\) livres et des livres en\(1\) tonnes, combien de tonnes de riz le mathématicien a-t-il essayé de recevoir ?
Les problèmes suivants examinent un modèle de population simple de la mouche domestique, qui peut être illustré par la formule récursive\(x_{n+1}=bx_n\), où\(x_n\) est la population de mouches domestiques par génération\(n\) et\(b\) le nombre moyen de descendants par mouche domestique qui survivent jusqu'à la génération suivante. Supposons une population de départ\(x_0\).
23)\(\displaystyle \lim_{n→∞}x_n\) Déterminez si\(b>1, \;b<1\), et\(b=1.\)
- Réponse
- \(∞, \; 0, \; x_0\)
24) Trouvez une expression pour\(\displaystyle S_n=\sum_{i=0}^nx_i\) en termes de\(b\) et\(x_0\). Que représente-t-il physiquement ?
25) Si\(b=\frac{3}{4}\) et\(x_0=100\), trouvez\(S_{10}\) et\(\displaystyle \lim_{n→∞}S_n\)
- Réponse
- \(\displaystyle S_{10}≈383, \quad \lim_{n→∞}S_n=400\)
26) Pour quelles valeurs les\(b\) séries convergeront-elles et divergeront-elles ? Vers quoi converge la série ?