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10 : Série Power

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    197090

    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
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    Une série de puissance (dans une variable) est une série infinie. Tout polynôme peut être facilement exprimé sous la forme d'une série de puissances autour de n'importe quel centre c, bien que la plupart des coefficients soient nuls puisqu'une série de puissances comporte une infinité de termes par définition. On peut considérer les séries de puissances comme des « polynômes de degrés infinis », bien que les séries de puissances ne soient pas des polynômes. Le contenu du chapitre de ce Textmap est complété par le Calculus Textmap de Guichard.

    • 10.0 : Prélude à la série Power
      Les séries Power peuvent être utilisées pour définir des fonctions et elles nous permettent d'écrire des fonctions qui ne peuvent être exprimées autrement que sous forme de « polynômes infinis ». Une série infinie peut également être tronquée, ce qui donne un polynôme fini que nous pouvons utiliser pour approximer des valeurs fonctionnelles. La représentation de fonctions à l'aide de séries de puissance nous permet de résoudre des problèmes mathématiques qui ne peuvent pas être résolus avec d'autres techniques.
    • 10.1 : Série Power et fonctions
      Une série de puissance est un type de série dont les termes impliquent une variable. Plus précisément, si la variable est x, alors tous les termes de la série impliquent des puissances de x. Par conséquent, une série de puissances peut être considérée comme un polynôme infini. Les séries de puissance sont utilisées pour représenter des fonctions communes et également pour définir de nouvelles fonctions. Dans cette section, nous définissons les séries de puissances et montrons comment déterminer quand une série de puissances converge et quand elle diverge. Nous montrons également comment représenter certaines fonctions à l'aide de la puissance
    • 10.2 : Propriétés des séries Power
      Les séries Power peuvent être combinées, différenciées ou intégrées pour créer de nouvelles séries de puissance. Cette fonctionnalité est particulièrement utile pour plusieurs raisons. Tout d'abord, il nous permet de trouver des représentations de séries de puissances pour certaines fonctions élémentaires, en écrivant ces fonctions en termes de fonctions dont les séries de puissances sont connues. Ensuite, cela nous permet de définir de nouvelles fonctions qui ne peuvent pas être écrites en termes de fonctions élémentaires. Cette fonctionnalité est particulièrement utile pour résoudre des équations différentielles.
    • 10.3 : Série Taylor et Maclaurin
      Nous discutons ici des représentations des séries de puissances pour d'autres types de fonctions. Nous abordons en particulier les questions suivantes : Quelles fonctions peuvent être représentées par des séries de puissances et comment trouvons-nous de telles représentations ? Si nous pouvons trouver une représentation de série de puissance pour une fonction ff particulière et que la série converge sur un certain intervalle, comment prouver que la série converge réellement vers f ?
    • 10.4 : Travailler avec la série Taylor
      Dans cette section, nous montrons comment utiliser ces séries de Taylor pour dériver des séries de Taylor pour d'autres fonctions. Nous présentons ensuite deux applications courantes des séries électriques. Tout d'abord, nous montrons comment les séries de puissances peuvent être utilisées pour résoudre des équations différentielles. Ensuite, nous montrons comment les séries de puissance peuvent être utilisées pour évaluer des intégrales lorsque l'antidérivée de l'integrand ne peut pas être exprimée en termes de fonctions élémentaires.
    • 10.5 : Exercices de révision du chapitre 10

    Miniature : Le graphique montre la fonction\(\displaystyle y=sinx\) et les polynômes de Maclaurin\(\displaystyle p_1,p_3\) et\(\displaystyle p_5\). (CC BY-SA 3.0 ; OpenStax).