10.0 : Prélude à la série Power

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Lorsqu'il gagne à une loterie, une personne a parfois la possibilité de recevoir ses gains en un seul paiement forfaitaire ou de recevoir des paiements plus modestes à des intervalles de temps fixes. Par exemple, vous pourriez avoir la possibilité de recevoir 20 millions de dollars aujourd'hui ou de recevoir 1,5 million de dollars par an pendant les 20 prochaines années. Quelle est la meilleure offre ? Il est certain que 1,5 million de dollars sur 20 ans équivaut à 30 millions de dollars. Cependant, recevoir les 20 millions de dollars aujourd'hui vous permettrait d'investir de l'argent.

Une photographie montre une surface plane recouverte de billets de 100$. — Figure$\PageIndex{1}$ : Si vous gagnez à la loterie, obtenez-vous plus d'argent en encaissant un paiement forfaitaire ou en acceptant des paiements fixes au fil du temps ? (crédit : modification de l'œuvre de Robert Huffstutter, Flickr)

Sinon, que se passerait-il si vous aviez la garantie de recevoir 1 million de dollars par an indéfiniment (cela s'étend à vos héritiers) ou de recevoir 20 millions de dollars aujourd'hui. Quelle serait la meilleure offre ? Pour répondre à ces questions, vous devez savoir comment utiliser des séries infinies pour calculer la valeur des paiements périodiques au fil du temps en dollars actuels.

Une série infinie de formes

\[\sum_{n=0}^∞c_nx^n \nonumber \]

est connue sous le nom de série Power. Comme les termes contiennent la variable$x$, les séries de puissance peuvent être utilisées pour définir des fonctions. Ils peuvent être utilisés pour représenter des fonctions données, mais ils sont également importants car ils nous permettent d'écrire des fonctions qui ne peuvent être exprimées autrement que sous forme de « polynômes infinis ». De plus, les séries de puissance peuvent être facilement différenciées et intégrées, ce qui permet de résoudre des équations différentielles et d'intégrer des fonctions complexes. Une série infinie peut également être tronquée, ce qui donne un polynôme fini que nous pouvons utiliser pour approximer des valeurs fonctionnelles. Les séries Power ont des applications dans divers domaines, notamment la physique, la chimie, la biologie et l'économie. Comme nous le verrons dans ce chapitre, la représentation de fonctions à l'aide de séries de puissance nous permet de résoudre des problèmes mathématiques qui ne peuvent pas être résolus avec d'autres techniques.

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