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10.5 : Exercices de révision du chapitre 10

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    Vrai ou faux ? Dans les exercices 1 à 4, justifiez votre réponse par une preuve ou un contre-exemple.

    1) Si le rayon de convergence d'une série de puissance\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n\) est\(5\), alors le rayon de convergence de la série l'\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞na_nx^{n−1}\)est également\(5\).

    Réponse
    Vrai

    2) La série Power peut être utilisée pour montrer que la dérivée de\(e^x\) est\(e^x\). (Astuce : souvenez-vous de cela\(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^∞\frac{1}{n!}x^n.\))

    3) Pour les petites valeurs de\(x,\)\(\sin x ≈ x.\)

    Réponse
    Vrai

    4) Le rayon de convergence pour la série de Maclaurin\(f(x)=3^x\) est de\(3\).

    Dans les exercices 5 à 8, déterminez le rayon de convergence et l'intervalle de convergence pour la série donnée.

    5)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞n^2(x−1)^n\)

    Réponse
    ROC :\(1\) ; CIO :\((0,2)\)

    6)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{x^n}{n^n}\)

    7)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{3nx^n}{12^n}\)

    Réponse
    ROC :\(12;\) CIO :\((−16,8)\)

    8)\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{2^n}{e^n}(x−e)^n\)

    Dans les exercices 9 à 10, trouvez la représentation de la série de puissances pour la fonction donnée. Déterminez le rayon de convergence et l'intervalle de convergence pour cette série.

    9)\(f(x)=\dfrac{x^2}{x+3}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{3^{n+1}}x^n;\)ROC :\(3\) ; CIO :\((−3,3)\)

    10)\(f(x)=\dfrac{8x+2}{2x^2−3x+1}\)

    Dans les exercices 11 à 12, trouvez la série de puissances pour la fonction donnée en utilisant la différenciation ou l'intégration terme par terme.

    11)\(f(x)=\tan^{−1}(2x)\)

    Réponse
    intégration :\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{2n+1}(2x)^{2n+1}\)

    (12)\(f(x)=\dfrac{x}{(2+x^2)^2}\)

    Dans les exercices 13 à 14, évaluez l'expansion de la série de Taylor du degré quatre pour la fonction donnée au point spécifié. Quelle est l'erreur d'approximation ?

    13)\(f(x)=x^3−2x^2+4, \quad a=−3\)

    Réponse
    \(p_4(x)=(x+3)^3−11(x+3)^2+39(x+3)−41;\)exact

    (14)\(f(x)=e^{1/(4x)}, \quad a=4\)

    Dans les exercices 15 à 16, trouvez la série de Maclaurin pour la fonction donnée.

    15)\(f(x)=\cos(3x)\)

    Réponse
    \(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n(3x)^{2n}}{2n!}\)

    16)\(f(x)=\ln(x+1)\)

    Dans les exercices 17 à 18, trouvez la série de Taylor à la valeur donnée.

    17)\(f(x)=\sin x, \quad a=\frac{π}{2}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{(2n)!}\left(x−\frac{π}{2}\right)^{2n}\)

    18)\(f(x)=\dfrac{3}{x},\quad a=1\)

    Dans les exercices 19 à 20, trouvez la série de Maclaurin pour la fonction donnée.

    19)\(f(x)=e^{−x^2}−1\)

    Réponse
    \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^n}{n!}x^{2n}\)

    (20)\(f(x)=\cos x−x\sin x\)

    Dans les exercices 21 à 23, trouvez la série de Maclaurin en\(F(x)=∫^x_0f(t)dt\) intégrant la série de Maclaurin\(f(x)\) terme par terme.

    (21)\(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\)

    Réponse
    \(\displaystyle F(x)=\sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{(2n+1)(2n+1)!}x^{2n+1}\)

    22)\(f(x)=1−e^x\)

    23) Utilisez des séries de puissance pour prouver la formule d'Euler :\(e^{ix}=cosx+isinx\)

    Réponse
    Les réponses peuvent varier.

    Les exercices 24 à 26 examinent les problèmes liés au paiement des rentes.

    24) Pour les rentes d'une valeur actuelle de\($1\) millions de dollars, calculez les versements annuels versés au fil des\(25\) années en supposant des taux d'intérêt de\(1\%,5\%\), et\(10\%.\)

    25) Un gagnant de loterie a une rente dont la valeur actualisée est de\($10\) millions. De quel taux d'intérêt auraient-ils besoin pour vivre de paiements annuels perpétuels\($250,000\) ?

    Réponse
    \(2.5\%\)

    26) Calculez la valeur actuelle nécessaire d'une rente afin de soutenir les versements annuels de\($15,000\) données au fil des\(25\) années en supposant des taux d'intérêt de\(1\%,5\%\), et\(10\%.\)