11 : Équations paramétriques et coordonnées polaires
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Les équations paramétriques définissent un groupe de quantités en tant que fonctions d'une ou de plusieurs variables indépendantes appelées paramètres. Les équations paramétriques sont couramment utilisées pour exprimer les coordonnées des points qui constituent un objet géométrique tel qu'une courbe ou une surface, auquel cas les équations sont collectivement appelées représentation paramétrique ou paramétrage. Le système de coordonnées polaires est un système de coordonnées bidimensionnel dans lequel chaque point d'un plan est déterminé par une distance par rapport à un point de référence et un angle par rapport à une direction de référence. Le point de référence (analogue à l'origine d'un système cartésien) est appelé pôle, et le rayon du pôle dans la direction de référence est l'axe polaire. La distance par rapport au pôle est appelée coordonnée radiale ou rayon, et l'angle est appelé coordonnée angulaire, angle polaire ou azimut
- 11.0 : Prélude aux équations paramétriques et aux coordonnées polaires
- Dans ce chapitre, nous étudions également les équations paramétriques, qui nous permettent de décrire facilement des courbes ou d'étudier la position d'une particule ou d'un objet en deux dimensions en fonction du temps. Nous utiliserons des équations paramétriques et des coordonnées polaires pour décrire de nombreux sujets plus loin dans ce texte.
- 11.1 : Équations paramétriques
- Dans cette section, nous examinons les équations paramétriques et leurs graphes. Dans le système de coordonnées bidimensionnel, les équations paramétriques sont utiles pour décrire des courbes qui ne sont pas nécessairement des fonctions. Le paramètre est une variable indépendante dont dépendent à la fois x et y, et à mesure que le paramètre augmente, les valeurs de x et y tracent une trajectoire le long d'une courbe plane.
- 11.2 : Calcul des courbes paramétriques
- Maintenant que nous avons introduit le concept de courbe paramétrée, la prochaine étape consiste à apprendre à utiliser ce concept dans le contexte du calcul. Par exemple, si nous connaissons le paramétrage d'une courbe donnée, est-il possible de calculer la pente d'une tangente à la courbe ? Qu'en est-il de la longueur de l'arc de la courbe ? Ou la zone située sous la courbe ?
- 11.3 : Coordonnées polaires
- Le système de coordonnées rectangulaires (ou plan cartésien) permet de mapper des points en paires ordonnées et des paires ordonnées en points. C'est ce que l'on appelle une cartographie biunivoque entre des points du plan et des paires ordonnées. Le système de coordonnées polaires fournit une méthode alternative pour cartographier des points en paires ordonnées. Dans cette section, nous voyons que, dans certaines circonstances, les coordonnées polaires peuvent être plus utiles que les coordonnées rectangulaires.
- 11.4 : Surface et longueur de l'arc en coordonnées polaires
- Dans le système de coordonnées rectangulaires, l'intégrale définie permet de calculer l'aire sous une courbe. En particulier, si nous avons une fonction y=f (x) définie de x=a à x=b où f (x) >0 sur cet intervalle, l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses est donnée par A=f (x) dx. Ce fait, ainsi que la formule d'évaluation de cette intégrale, sont résumés dans le théorème fondamental du calcul. Dans cette section, nous étudions des formules analogues pour la surface et la longueur de l'arc dans le système de coordonnées polaires.
- 11.5 : Sections coniques
- Les sections coniques tirent leur nom du fait qu'elles peuvent être générées en croisant un plan avec un cône. Un cône comporte deux parties de forme identique appelées nappes. Les sections coniques sont générées par l'intersection d'un plan avec un cône. Si le plan est parallèle à l'axe de révolution (axe y), alors la section conique est une hyperbole. Si le plan est parallèle à la ligne génératrice, la section conique est une parabole. Si le plan est perpendiculaire à l'axe de révolution, la section conique est un cercle.