11.3E : Exercices pour la section 11.3

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Dans les exercices 1 à 7, tracez le point dont les coordonnées polaires sont données en construisant d'abord l'angle,$θ$ puis en marquant la distance$r$ le long du rayon.

1)$\left(3,\frac{π}{6}\right)$

Réponse: $Sur le plan de coordonnées polaires, un rayon est dessiné à partir de l'origine marquant π/6 et un point est dessiné lorsque cette ligne traverse le cercle de rayon 3.$

2)$\left(−2,\frac{5π}{3}\right)$

3)$\left(0,\frac{7π}{6}\right)$

Réponse: $Sur le plan de coordonnées polaires, un rayon est dessiné à partir de l'origine marquant 7π/6 et un point est dessiné lorsque cette ligne traverse le cercle de rayon 0, c'est-à-dire qu'elle marque l'origine.$

4)$\left(−4,\frac{3π}{4}\right)$

5)$\left(1,\frac{π}{4}\right)$

Réponse: $Sur le plan de coordonnées polaires, un rayon est dessiné à partir de l'origine marquant π/4 et un point est dessiné lorsque cette ligne traverse le cercle de rayon 1.$

6)$\left(2,\frac{5π}{6}\right)$

7)$\left(1,\frac{π}{2}\right)$

Réponse: $Sur le plan de coordonnées polaires, un rayon est dessiné à partir de l'origine marquant π/2 et un point est dessiné lorsque cette ligne traverse le cercle de rayon 1.$

Dans les exercices 8 à 11, considérez le graphique polaire ci-dessous. Donnez deux ensembles de coordonnées polaires pour chaque point.

$Le plan de coordonnées polaires est divisé en 12 secteurs. Le point A est dessiné sur le premier cercle du premier rayon au-dessus de la ligne θ = 0 dans le premier quadrant. Le point B est dessiné dans le quatrième quadrant du troisième cercle et le deuxième rayon en dessous de la ligne θ = 0. Le point C est tracé sur la ligne θ = π du troisième cercle. Le point D est dessiné sur le quatrième cercle du premier rayon situé sous la ligne θ = π.$

8) Coordonnées du point A.

9) Coordonnées du point B.

Réponse: $B\left(3,\frac{−π}{3}\right) B\left(−3,\frac{2π}{3}\right)$

10) Coordonnées du point C.

11) Coordonnées du point D.

Réponse: $D\left(5,\frac{7π}{6}\right) D\left(−5,\frac{π}{6}\right)$

Dans les exercices 12 à 17, les coordonnées rectangulaires d'un point sont données. Trouvez deux ensembles de coordonnées polaires pour le point en$(0,2π]$. Arrondir à la troisième décimale.

(12)$(2,2)$

13)$(3,−4)$

Réponse: $(5,−0.927),\;(−5,−0.927+π)$

14)$(8,15)$

15)$(−6,8)$

Réponse: $(10,−0.927),\;(−10,−0.927+π)$

16)$(4,3)$

17)$(3,−\sqrt{3})$

Réponse: $(2\sqrt{3},−0.524),\;(−2\sqrt{3},−0.524+π)$

Dans les exercices 18 à 24, trouvez les coordonnées rectangulaires du point donné en coordonnées polaires.

18)$\left(2,\frac{5π}{4}\right)$

19)$\left(−2,\frac{π}{6}\right)$

Réponse: $(−\sqrt{3},−1)$

20)$\left(5,\frac{π}{3}\right)$

21)$\left(1,\frac{7π}{6}\right)$

Réponse: $\left(−\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{−1}{2}\right)$

22)$\left(−3,\frac{3π}{4}\right)$

23)$\left(0,\frac{π}{2}\right)$

Réponse: $(0,0)$

24)$(−4.5,6.5)$

Dans les exercices 25 à 29, déterminez si les graphes de l'équation polaire sont symétriques par rapport à l'$x$axe, à l'$y$axe ou à l'origine.

25)$r=3\sin(2θ)$

Réponse: Symétrie par rapport à l'axe x, à l'axe y et à l'origine.

26)$r^2=9\cos θ$

(27)$r=\cos\left(\frac{θ}{5}\right)$

Réponse: Symétrique par rapport à l'axe X uniquement.

28)$r=2\sec θ$

29)$r=1+\cos θ$

Réponse: Symétrie par rapport à l'axe X uniquement.

Dans les exercices 30 à 33, décrivez le graphique de chaque équation polaire. Confirmez chaque description en la convertissant en une équation rectangulaire.

30)$r=3$

31)$θ=\frac{π}{4}$

Réponse: Ligne$y=x$

32)$r=\sec θ$

33)$r=\csc θ$

Réponse: $y=1$

Dans les exercices 34 à 36, convertissez l'équation rectangulaire en forme polaire et esquissez son graphe.

34)$x^2+y^2=16$

35)$x^2−y^2=16$

Réponse

Hyperbole ; forme polaire$r^2\cos(2θ)=16$ ou$r^2=16\sec θ.$

$Une hyperbole dont les sommets se situent à (−4, 0) et (4, 0), le premier pointant vers les quadrants II et III et le second vers les quadrants I et IV.$

36)$x=8$

Dans les exercices 37 à 38, convertissez l'équation rectangulaire en forme polaire et esquissez son graphe.

37)$3x−y=2$

Réponse

$r=\frac{2}{3\cos θ−\sin θ}$

$Une droite avec une pente 3 et une intersection y −2.$

38)$y^2=4x$

Dans les exercices 39 à 43, convertissez l'équation polaire en forme rectangulaire et esquissez son graphe.

39)$r=4\sin θ$

40)$x^2+y^2=4y$

Réponse: $Un cercle de rayon 2 dont le centre est (2, π/2).$

41)$r=6\cos θ$

42)$r=θ$

Réponse

$x\tan\sqrt{x^2+y^2}=y$

$Une spirale partant de l'origine et croisant θ = π/2 entre 1 et 2, θ = π entre 3 et 4, θ = 3π/2 entre 4 et 5, θ = 0 entre 6 et 7, θ = π/2 entre 7 et 8, et θ = π entre 9 et 10.$

43)$r=\cot θ\csc θ$

Dans les exercices 44 à 54, tracez un graphique de l'équation polaire et identifiez toute symétrie.

44)$r=1+\sin θ$

Réponse

$y$-symétrie des axes

$Un cardioïde dont la partie supérieure du cœur est à l'origine et le reste de la cardioïde orienté vers le haut.$

45)$r=3−2\cos θ$

46)$r=2−2\sin θ$

Réponse

$y$-symétrie des axes

$Un cardioïde dont la partie supérieure du cœur est à l'origine et le reste de la cardioïde orienté vers le bas.$

47)$r=5−4\sin θ$

48)$r=3\cos(2θ)$

Réponse

$x$-et$y$ -symétrie des axes et symétrie autour du pôle

$Une rose à quatre pétales qui s'éloignent le plus de l'origine à θ = 0, π/2, π et 3π/2.$

49)$r=3\sin(2θ)$

50)$r=2\cos(3θ)$

Réponse: $x$-symétrie des axes
$Une rose à trois pétales qui s'éloignent le plus de l'origine à θ = 0, 2π/3 et 4π/3.$

51)$r=3\cos\left(\frac{θ}{2}\right)$

52)$r^2=4\cos\left(\frac{2}{θ}\right)$

Réponse

$x$-et$y$ -symétrie des axes et symétrie autour du pôle

$Le symbole de l'infini dont le point de croisement est à l'origine et dont l'étendue la plus éloignée des deux pétales se trouve à θ = 0 et π.$

53)$r^2=4\sin θ$

54)$r=2θ$

Réponse: aucune symétrie
$Une spirale qui commence à l'origine en traversant la ligne θ = π/2 entre 3 et 4, θ = π entre 6 et 7, θ = 3π/2 entre 9 et 10, θ = 0 entre 12 et 13, θ = π/2 entre 15 et 16, et θ = π entre 18 et 19.$

55) [T] Le graphe de$r=2\cos(2θ)\sec(θ).$ est appelé strophoïde. Utilisez un utilitaire de création de graphiques pour esquisser le graphique et, à partir du graphique, déterminer l'asymptote.

56) [T] Utilisez un utilitaire de création graphique et esquissez le graphe de$r=\dfrac{6}{2\sin θ−3\cos θ}$.

Réponse: une ligne
$Une ligne qui croise l'axe y à peu près à 3 et dont la pente est d'environ 3/2.$

57) [T] Utilisez un utilitaire de création graphique pour créer un graphique$r=\frac{1}{1−\cos θ}$.

58) [T] Utiliser la technologie pour représenter graphiquement$r=e^{\sin(θ)}−2\cos(4θ)$.

Réponse: $Forme géométrique qui ressemble à un papillon avec des ailes plus grandes dans les premier et deuxième quadrants, des ailes plus petites dans les troisième et quatrième quadrants, un corps le long de la ligne θ = π/2 et des pattes le long des lignes θ = 0 et π.$

59) [T] Utilisez la technologie pour tracer$r=\sin(\frac{3θ}{7})$ (utilisez l'intervalle$0≤θ≤14π$).

60) Sans utiliser de technologie, esquissez la courbe polaire$θ=\frac{2π}{3}$.

Réponse: $Une ligne avec θ = 120°.$

61) [T] Utilisez un utilitaire graphique$r=θ\sin θ$ pour tracer$−π≤θ≤π$.

62) [T] Utiliser la technologie$r=e^{−0.1θ}$ pour tracer$−10≤θ≤10.$

Réponse: $Une spirale qui commence dans le troisième quadrant.$

63) [T] Il existe une courbe connue sous le nom de « trou noir ». Utilisez la technologie$r=e^{−0.01θ}$ pour tracer$−100≤θ≤100$.

64) [T] Utilisez les résultats des deux problèmes précédents pour explorer les graphes de$r=e^{−0.001θ}$ et$r=e^{−0.0001θ}$ pour$|θ|>100$.

Réponse: Les réponses varient. L'une des possibilités est que les lignes spirales se rapprochent et que le nombre total de spirales augmente.