11.6 : Exercices de révision du chapitre 11

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Vrai ou faux ? Justifiez votre réponse par une preuve ou un contre-exemple.

1) Les coordonnées rectangulaires du point$\left(4,\frac{5π}{6}\right)$ sont$\left(2\sqrt{3},−2\right).$

2) Les équations$x=\cosh(3t), \; y=2\sinh(3t)$ représentent une hyperbole.

Réponse: Vrai

3) La longueur de l'arc de la spirale donnée par$r=\dfrac{θ}{2}$ for$0≤θ≤3π$ est en$\frac{9}{4}π^3$ unités.

4) Donné$x=f(t)$ et$y=g(t)$, si$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{dy}{dx}$, alors$f(t)=g(t)+C,$ où$C$ est une constante.

Réponse: Faux. Imaginez$y=t+1, \; x=−t+1.$

Dans les exercices 5 à 8, esquissez la courbe paramétrique et éliminez le paramètre pour trouver l'équation cartésienne de la courbe.

5)$x=1+t, \; y=t^2−1, \quad −1≤t≤1$

6)$x=e^t, \; y=1−e^{3t}, \quad 0≤t≤1$

Réponse

$y=1−x^3$

$Graphique d'une courbe commençant à (1, 0) et décroissant dans le quatrième quadrant.$

7)$x=\sin θ, \; y=1−\csc θ, \quad 0≤θ≤2π$

8)$x=4\cos ϕ, \; y=1−\sin ϕ, \quad 0≤ϕ≤2π$

Réponse

$\dfrac{x^2}{16}+(y−1)^2=1$

$Graphique d'une ellipse avec un centre (0, 1), un grand axe horizontal et de longueur 8, et un petit axe de longueur 2.$

Dans les exercices 9 à 10, esquissez la courbe polaire et déterminez quel type de symétrie existe, le cas échéant.

9)$r=4\sin\left(\frac{θ}{3}\right)$

10)$r=5\cos(5θ)$

Réponse

Symétrique par rapport à l'axe polaire

$Graphique d'une rose à cinq pétales avec un pétale initial à θ = 0.$

Dans les exercices 11 à 12, trouvez l'équation polaire de la courbe donnée sous forme d'équation cartésienne.

11)$x+y=5$

(12)$y^2=4+x^2$

Réponse: $r^2=\dfrac{4}{\sin^2θ−\cos^2θ}$

Dans les exercices 13 à 14, trouvez l'équation de la tangente à la courbe donnée. Tracez à la fois la fonction et sa tangente.

13)$x=\ln(t),\; y=t^2−1, \; t=1$

(14)$r=3+\cos(2θ), \; θ=\frac{3π}{4}$

Réponse

$y=\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{5}\left(x+\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)$

$Graphique d'une figure en forme de cacahuète, avec des interceptions y à ±2 et des interceptions x à ±4. La tangente apparaît dans le deuxième quadrant.$

15) Trouvez$\dfrac{dy}{dx}, \; \dfrac{dx}{dy},$ et$\dfrac{d^2x}{dy^2}$ de$y=(2+e^{−t}), \; x=1−\sin t$

Dans les exercices 16 à 17, trouvez la zone de la région.

16)$x=t^2, \; y=\ln(t), \quad 0≤t≤e$

Réponse: $\dfrac{e^2}{2}\text{ units}^2$

17)$r=1−\sin θ$ dans le premier quadrant

Dans les exercices 18 à 19, déterminez la longueur de l'arc de la courbe sur l'intervalle donné.

18)$x=3t+4, \; y=9t−2, \quad 0≤t≤3$

Réponse: $9\sqrt{10}$unités

19)$r=6\cos θ,\quad 0≤θ≤2π.$ Vérifiez votre réponse par géométrie.

Dans les exercices 20 à 22, trouvez l'équation cartésienne décrivant les formes données.

20) Une parabole avec foyer$(2,−5)$ et directrice$x=6$

Réponse: $(y+5)^2=−8x+32$

21) Une ellipse dont l'axe principal a une longueur de 10 et dont les foyers sont situés à$(−7,2)$ et$(1,2)$

22) Une hyperbole avec des sommets$(3,−2)$$(−5,−2)$ et des foyers à$(−2,−6)$ et$(−2,4)$

Réponse: $\dfrac{(y+1)^2}{16}−\dfrac{(x+2)^2}{9}=1$

Dans les exercices 23 à 25, déterminez l'excentricité et identifiez la conique. Esquissez la conique.

23)$r=\dfrac{6}{1+3\cos θ}$

(24)$r=\dfrac{4}{3−2\cos θ}$

Réponse

$e=\frac{2}{3}$, ellipse

$Graphique d'une ellipse dont le centre est proche de (1,5, 0), l'axe principal presque 5 et l'axe horizontal, et le petit axe presque 4.$

25)$r=\dfrac{7}{5−5\cos θ}$

26) Déterminez l'équation cartésienne décrivant l'orbite de Pluton, l'orbite la plus excentrique autour du Soleil. La longueur de l'axe principal est de 39,26 UA et celle de l'axe secondaire de 38,07 UA. Qu'est-ce que l'excentricité ?

Réponse: $\dfrac{y^2}{19.03^2}+\dfrac{x^2}{19.63^2}=1, \quad e=0.2447$

27) La comète C/1980 E1 a été observée en 1980. Compte tenu de l'excentricité$1.057$ et du périhélie (point le plus proche du Soleil) de l'$3.364$UA, trouvez les équations cartésiennes décrivant la trajectoire de la comète. Avons-nous la garantie de revoir cette comète ? (Conseil : considérez le soleil à un point précis$(0,0)$.)