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11.5E : Exercices pour la section 11.5

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    Dans les exercices 1 à 8, déterminez l'équation de la parabole à l'aide des informations fournies.

    1)\((4,0)\) Concentration et directrice\(x=−4\)

    Réponse
    \(y^2=16x\)

    2)\((0,−3)\) Concentration et directrice\(y=3\)

    3)\((0,0.5)\) Concentration et directrice\(y=−0.5\)

    Réponse
    \(x^2=2y\)

    4)\((2,3)\) Concentration et directrice\(x=−2\)

    5)\((0,2)\) Concentration et directrice\(y=4\)

    Réponse
    \(x^2=−4(y−3)\)

    6)\((−1,4)\) Concentration et directrice\(x=5\)

    7)\((−3,5)\) Concentration et directrice\(y=1\)

    Réponse
    \((x+3)^2=8(y−3)\)

    8)\(\left(\frac{5}{2},−4\right)\) Concentration et directrice\(x=\frac{7}{2}\)

    Dans les exercices 9 à 16, déterminez l'équation de l'ellipse à l'aide des informations fournies.

    9) Points d'extrémité de l'axe principal\((4,0),\;(−4,0)\) et foyers situés à\((2,0),\;(−2,0)\)

    Réponse
    \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1\)

    10) Points d'extrémité de l'axe principal\((0,5),\;(0,−5)\) et foyers situés à\((0,3),\;(0,−3)\)

    11) Points d'extrémité de l'axe principal\((0,2),\;(0,−2)\) et foyers situés à\((3,0),\;(−3,0)\)

    Réponse
    \(\dfrac{x^2}{13}+\dfrac{y^2}{4}=1\)

    12) Points d'extrémité de l'axe principal\((−3,3),\;(7,3)\) et foyers situés à\((−2,3),\;(6,3)\)

    13) Points d'extrémité de l'axe principal\((−3,5),\;(−3,−3)\) et foyers situés à\((−3,3),\;(−3,−1)\)

    Réponse
    \(\dfrac{(y−1)^2}{16}+\dfrac{(x+3)^2}{12}=1\)

    14) Points d'extrémité de l'axe principal\((0,0),\;(0,4)\) et foyers situés à\((5,2),\;(−5,2)\)

    15) Foyers situés à\((2,0),\;(−2,0)\) et excentricité de\(\frac{1}{2}\)

    Réponse
    \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1\)

    16) Foyers situés à\((0,−3),\;(0,3)\) et excentricité de\(\frac{3}{4}\)

    Dans les exercices 17 à 24, déterminez l'équation de l'hyperbole à l'aide des informations fournies.

    17) Sommets situés\((5,0),\;(−5,0)\) et foyers situés à\((6,0),\;(−6,0)\)

    Réponse
    \(\frac{x^2}{25}−\frac{y^2}{11}=1\)

    18) Sommets situés\((0,2),\;(0,−2)\) et foyers situés à\((0,3),\;(0,−3)\)

    19) Points d'extrémité de l'axe conjugué situés à\((0,3),\;(0,−3)\) et foyers situés\((4,0),\;(−4,0)\)

    Réponse
    \(\dfrac{x^2}{7}−\dfrac{y^2}{9}=1\)

    20) Sommets situés à\((0,1),\;(6,1)\) et foyer situé à\((8,1)\)

    21) Sommets situés à\((−2,0),\;(−2,−4)\) et foyer situé à\((−2,−8)\)

    Réponse
    \(\dfrac{(y+2)^2}{4}−\dfrac{(x+2)^2}{32}=1\)

    22) Points d'extrémité de l'axe conjugué situés à\((3,2),\;(3,4)\) et du foyer situé à\((3,7)\)

    23) Foyers situés à\((6,−0),\;(6,0)\) et excentricité de\(3\)

    Réponse
    \(\dfrac{x^2}{4}−\dfrac{y^2}{32}=1\)

    24)\((0,10),\;(0,−10)\) et une excentricité de 2,5

    Dans les exercices 25 à 30, considérez les équations polaires des coniques suivantes. Déterminez l'excentricité et identifiez la conique.

    25)\(r=\dfrac{−1}{1+\cos θ}\)

    Réponse
    \(e=1,\)parabole

    26)\(r=\dfrac{8}{2−\sin θ}\)

    (27)\(r=\dfrac{5}{2+\sin θ}\)

    Réponse
    \(e=\frac{1}{2},\)ellipse

    28)\(r=\dfrac{5}{−1+2\sin θ}\)

    (29)\(r=\dfrac{3}{2−6\sin θ}\)

    Réponse
    \(e=3\), hyperbole

    (30)\(r=\dfrac{3}{−4+3\sin θ}\)

    Dans les exercices 31 à 34, trouvez une équation polaire de la conique en mettant l'accent sur l'origine et l'excentricité et la directrice telles que données.

    31) Directrice :\(x=4;\; e=\frac{1}{5}\)

    Réponse
    \(r=\dfrac{4}{5+\cos θ}\)

    32) Directrice :\(x=−4;\; e=5\)

    3) Directrice :\(y=2; \; e=2\)

    Réponse
    \(r=\dfrac{4}{1+2\sin θ}\)

    34) Directrice :\(y=−2;\; e=\frac{1}{2}\)

    Dans les exercices 35 à 51, esquissez le graphique de chaque conique.

    35)\(r=\dfrac{1}{1+\sin θ}\)

    Réponse
    Graphe d'une parabole ouverte vers le bas avec le centre à l'origine.

    36)\(r=\dfrac{1}{1−\cos θ}\)

    (37)\(r=\dfrac{4}{1+\cos θ}\)

    Réponse
    Graphe d'une parabole ouverte vers la gauche et dont le centre se trouve près de l'origine.

    38)\(r=\dfrac{10}{5+4\sin θ}\)

    39)\(r=\dfrac{15}{3−2\cos θ}\)

    Réponse
    Graphique d'une ellipse dont le centre est proche de (8, 0), le grand axe horizontal et approximativement 18, et le petit axe légèrement supérieur à 12.

    40)\(r=\dfrac{32}{3+5\sin θ}\)

    41)\(r(2+\sin θ)=4\)

    Réponse
    Graphique d'un cercle dont le centre est proche de (0, −1,5) et le rayon proche de 2,5.

    42)\(r=\dfrac{3}{2+6\sin θ}\)

    43)\(r=\dfrac{3}{−4+2\sin θ}\)

    Réponse
    Graphe d'un cercle avec un centre (0, −0,5) et un rayon de 1.

    44)\(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\)

    45)\(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1\)

    Réponse
    Graphe d'une ellipse dont le centre est l'origine et dont le grand axe est vertical et dont la longueur est 8 et le petit axe la longueur 4.

    46)\(4x^2+9y^2=36\)

    47)\(25x^2−4y^2=100\)

    Réponse
    Graphique d'une hyperbole dont l'origine est au centre et dont les deux moitiés sont ouvertes à gauche et à droite. Les sommets se situent sur l'axe x à ±2.

    48)\(\dfrac{x^2}{16}−\dfrac{y^2}{9}=1\)

    49)\(x^2=12y\)

    Réponse
    Représentation graphique d'une parabole dont le sommet est l'origine et qui s'ouvre.

    50)\(y^2=20x\)

    51)\(12x=5y^2\)

    Réponse
    Graphe d'une parabole dont le sommet est l'origine et qui est ouverte vers la droite.

    Pour les équations des exercices 52 à 57, déterminez laquelle des sections coniques est décrite.

    52)\(xy=4\)

    53)\(x^2+4xy−2y^2−6=0\)

    Réponse
    Hyperbole

    (54)\(x^2+2\sqrt{3}xy+3y^2−6=0\)

    55)\(x^2−xy+y^2−2=0\)

    Réponse
    Ellipse

    56)\(34x^2−24xy+41y^2−25=0\)

    (57)\(52x^2−72xy+73y^2+40x+30y−75=0\)

    Réponse
    Ellipse

    58) Le miroir d'un phare d'automobile a une section transversale parabolique, l'ampoule étant au centre. Sur un schéma, l'équation de la parabole est donnée sous la forme\(x^2=4y\). À quelles coordonnées doit-on placer l'ampoule ?

    59) Une antenne parabolique a la forme d'un paraboloïde révolutionnaire. Le récepteur doit être placé au centre de la mise au point. Si le plat mesure 12 pieds de diamètre à son ouverture et 4 pieds de profondeur en son centre, où doit-on placer le récepteur ?

    Réponse
    Au point 2,25 pieds au-dessus du sommet.

    60) Considérez l'antenne parabolique du problème précédent. Si le plat mesure 8 pieds de diamètre à l'ouverture et 2 pieds de profondeur, où devons-nous placer le récepteur ?

    61) Un projecteur a la forme d'un paraboloïde révolutionnaire. Une source lumineuse est située à 1 pied de la base le long de l'axe de symétrie. Si l'ouverture du projecteur mesure 3 pieds de diamètre, trouvez la profondeur.

    Réponse
    \(0.5625\)pieds

    62) Les galeries Whispering sont des pièces conçues avec des plafonds elliptiques. Une personne debout sur un foyer peut chuchoter et être entendue par une personne debout sur l'autre foyer, car toutes les ondes sonores qui atteignent le plafond sont réfléchies vers l'autre personne. Si une galerie murmurante a une longueur de 120 pieds et que les foyers sont situés à 30 pieds du centre, trouvez la hauteur du plafond au centre.

    63) Une personne se tient à 8 pieds du mur le plus proche dans une galerie qui murmure. Si cette personne se trouve sur un point et que l'autre se trouve à 80 pieds, quelles sont la longueur et la hauteur au centre de la galerie ?

    Réponse
    La longueur est de 96 pieds et la hauteur est d'environ 26,53 pieds.

    Dans les exercices 64 à 67, déterminez la forme de l'équation polaire de l'orbite en fonction de la longueur de l'axe principal et de l'excentricité des orbites des comètes ou des planètes. La distance est donnée en unités astronomiques (UA).

    64) Comète de Halley : longueur du grand axe =\(35.88,\) excentricité =\(0.967\)

    65) Comète Hale-Bopp : longueur du grand axe =\(525.91,\) excentricité =\(0.995\)

    Réponse
    \(r=\dfrac{2.616}{1+0.995\cos θ}\)

    66) Mars : longueur du grand axe =\(3.049,\) excentricité =\(0.0934\)

    67) Jupiter : longueur du grand axe =\(10.408,\) excentricité =\(0.0484\)

    Réponse
    \(r=\dfrac{5.192}{1+0.0484\cos θ}\)