11.2E : Exercices pour la section 11.2

Dans les exercices 1 à 4, chaque ensemble d'équations paramétriques représente une droite. Sans éliminer le paramètre, déterminez la pente de chaque ligne.

1)\(x=3+t,\quad y=1−t\)

2)\( x=8+2t, \quad y=1\)

Réponse

\(m=0\)

3)\( x=4−3t, \quad y=−2+6t\)

4)\( x=−5t+7, \quad y=3t−1\)

Réponse

\(m= -\frac{3}{5}\)

Dans les exercices 5 à 9, déterminez la pente de la tangente, puis trouvez l'équation de la tangente à la valeur donnée du paramètre.

5)\( x=3\sin t,\quad y=3\cos t, \quad \text{for }t=\frac{π}{4}\)

6)\( x=\cos t, \quad y=8\sin t, \quad \text{for }t=\frac{π}{2}\)

Réponse

Pente\(=0; y=8.\)

7)\( x=2t, \quad y=t^3, \quad \text{for } t=−1\)

8)\( x=t+\dfrac{1}{t}, \quad y=t−\dfrac{1}{t}, \quad \text{for }t=1\)

Réponse

La pente n'est pas définie ;\( x=2\).

9)\( x=\sqrt{t}, \quad y=2t, \quad \text{for }t=4\)

Dans les exercices 10 à 13, trouvez tous les points de la courbe qui ont la pente donnée.

10)\( x=4\cos t, \quad y=4\sin t,\) pente =\(0.5\)

Solution

\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = \dfrac{4\cos t}{-4\sin t} = - \cot t.\)
En fixant cette dérivée égale à\(0.5,\) nous obtenons l'équation.\(\tan t = -2.\)
\( \tan t = -2 \implies \dfrac{y}{x} = -2 \implies y = -2x.\)
Notez également que cette paire d'équations paramétriques représente le cercle.\(x^2 + y^2 = 16.\)
Par substitution, nous trouvons que cette courbe a un pente de\(0.5\) au niveau des points :
\(\left(\frac{4\sqrt{5}}{5},\frac{−8\sqrt{5}}{5}\right)\) et\(\left(\frac{-4\sqrt{5}}{5},\frac{8\sqrt{5}}{5}\right).\)

11)\( x=2\cos t, \quad y=8\sin t,\) pente =\(−1\)

12)\( x=t+\dfrac{1}{t}, \quad y=t−\dfrac{1}{t},\) pente =\(1\)

Réponse

Aucun point possible ; expression non définie.

13)\( x=2+\sqrt{t}, \quad y=2−4t,\) pente =\(0\)

Dans les exercices 14 à 16, écrivez l'équation de la tangente en coordonnées cartésiennes pour le paramètre donné\(t\).

(14)\( x=e^{\sqrt{t}}, \quad y=1−\ln t^2, \quad \text{for }t=1\)

Réponse

\( y=−\left(\frac{4}{e}\right)x+5\)

15)\( x=t\ln t, \quad y=\sin^2t, \quad \text{for }t=\frac{π}{4}\)

16)\( x=e^t, \quad y=(t−1)^2,\) à\((1,1)\)

Réponse

\( y=-2x+3\)

17) Pour\( x=\sin(2t), \quad y=2\sin t\) où\( 0≤t<2π.\) Trouvez toutes les\(t\) valeurs pour lesquelles existe une tangente horizontale.

18) Pour\( x=\sin(2t), \quad y=2\sin t\) où\( 0≤t<2π\). Détermine toutes les\(t\) valeurs auxquelles existe une tangente verticale.

Réponse

Une tangente verticale existe à\(t = \frac{π}{4},\frac{5π}{4},\frac{3π}{4},\frac{7π}{4}\)

19) Trouvez tous les points de la courbe\( x=4\cos(t), \quad y=4\sin(t)\) dont la pente est de\( \frac{1}{2}\).

20)\( \dfrac{dy}{dx}\) Recherchez\( x=\sin(t), \quad y=\cos(t)\).

Réponse

\( \dfrac{dy}{dx}=−\tan(t)\)

21) Détermine l'équation de la tangente à\( x=\sin(t), \quad y=\cos(t)\) at\( t=\frac{π}{4}\).

22) Pour la courbe,\( x=4t, \quad y=3t−2,\) trouvez la pente et la concavité de la courbe à\( t=3\).

Réponse

\( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3}{4}\)et\( \dfrac{d^2y}{dx^2}=0\) donc la courbe n'est ni concave vers le haut ni concave vers le bas à\( t=3\). Le graphe est donc linéaire et présente une pente constante mais pas de concavité.

23) Pour la courbe paramétrique dont l'équation est\( x=4\cos θ, \quad y=4\sin θ\), trouvez la pente et la concavité de la courbe à\( θ=\frac{π}{4}\).

24) Déterminez la pente et la concavité de la courbe dont l'équation est\( x=2+\sec θ, \quad y=1+2\tan θ\) à\( θ=\frac{π}{6}\).

Réponse

\( \dfrac{dy}{dx}=4, \quad \dfrac{d^2y}{dx^2}=−4\sqrt{3};\)la courbe est concave vers le bas à\( θ=\frac{π}{6}\).

25) Trouvez tous les points de la courbe où\( x=t+4, \quad y=t^3−3t\) se trouvent des tangentes verticales et horizontales.

26) Trouvez tous les points de la courbe\( x=\sec θ, \quad y=\tan θ\) où existent des tangentes horizontales et verticales.

Réponse

Aucune tangente horizontale. Tangentes verticales à\( (1,0)\) et\((−1,0)\).

Dans les exercices 27 à 29, trouvez\( d^2y/dx^2\).

(27)\( x=t^4−1, \quad y=t−t^2\)

28)\( x=\sin(πt), \quad y=\cos(πt)\)

Réponse

\( d^2y/dx^2 = −\sec^3(πt)\)

(29)\( x=e^{−t}, \quad y=te^{2t}\)

Dans les exercices 30 à 31, trouvez les points de la courbe auxquels la tangente est horizontale ou verticale.

(30)\( x=t(t^2−3), \quad y=3(t^2−3)\)

Réponse

Horizontal\( (0,−9)\) ;
vertical\( (±2,−6).\)

31)\( x=\dfrac{3t}{1+t^3}, \quad y=\dfrac{3t^2}{1+t^3}\)

Dans les exercices 32\( dy/dx\) à 34, trouvez la valeur du paramètre.

32)\( x=\cos t,y=\sin t, \quad \text{for }t=\frac{3π}{4}\)

Réponse

\(dy/dx = 1\)

33)\( x=\sqrt{t}, \quad y=2t+4,t=9\)

34)\( x=4\cos(2πs), \quad y=3\sin(2πs), \quad \text{for }s=−\frac{1}{4}\)

Réponse

\(dy/dx = 0\)

Dans les exercices 35\( d^2y/dx^2\) à 36, trouvez le point donné sans éliminer le paramètre.

35)\( x=\frac{1}{2}t^2, \quad y=\frac{1}{3}t^3, \quad \text{for }t=2\)

36)\( x=\sqrt{t}, \quad y=2t+4, \quad \text{for }t=1\)

Réponse

\(d^2y/dx^2 = 4\)

37) Trouvez les intervalles pour lesquels\(t\) la courbe\( x=3t^2, \quad y=t^3−t\) est concave vers le haut et concave vers le bas.

38) Déterminez la concavité de la courbe\( x=2t+\ln t, \quad y=2t−\ln t\).

Réponse

Concave vers le haut\( t>0\).

39) Esquissez et trouvez la zone située sous une arche de la cycloïde\( x=r(θ−\sin θ), \quad y=r(1−\cos θ)\).

40) Trouvez la zone délimitée par la courbe\( x=\cos t, \quad y=e^t, \quad \text{for }0≤t≤\frac{π}{2}\) et les lignes\( y=1\) et\( x=0\).

Réponse

\(1\text{ unit}^2\)

41) Trouvez la zone délimitée par l'ellipse\( x=a\cos θ, \quad y=b\sin θ, \quad \text{for }0≤θ<2π.\)

42) Trouvez la superficie de la région délimitée par\( x=2\sin^2θ, \quad y=2\sin^2θ\tan θ\), pour\( 0≤θ≤\frac{π}{2}\).

Réponse

\( \frac{3π}{2}\text{ units}^2\)

Dans les exercices 43 à 46, trouvez l'aire des régions délimitées par les courbes paramétriques et les valeurs indiquées du paramètre.

43)\( x=2\cot θ, \quad y=2\sin^2θ, \quad \text{for }0≤θ≤π\)

44) [T]\( x=2a\cos t−a\cos(2t), \quad y=2a\sin t−a\sin(2t), \quad \text{for }0≤t<2π\)

Réponse

\( 6πa^2\text{ units}^2\)

45) [T]\( x=a\sin(2t), \quad y=b\sin(t), \quad \text{for }0≤t<2π\) (le « sablier »)

46) [T]\( x=2a\cos t−a\sin(2t), \quad y=b\sin t, \quad \text{for }0≤t<2π\) (la « larme »)

Réponse

\( 2πab\text{ units}^2\)

Dans les exercices 47 à 52, déterminez la longueur de l'arc de la courbe sur l'intervalle indiqué du paramètre.

47)\( x=4t+3, \quad y=3t−2, \quad \text{for }0≤t≤2\)

48)\( x=\frac{1}{3}t^3, \quad y=\frac{1}{2}t^2, \quad \text{for }0≤t≤1\)

Réponse

\( s = \frac{1}{3}(2\sqrt{2}−1)\)unités

49)\( x=\cos(2t), \quad y=\sin(2t), \quad \text{for }0≤t≤\frac{π}{2}\)

50)\( x=1+t^2, \quad y=(1+t)^3, \quad \text{for }0≤t≤1\)

Réponse

\(s = 7.075\)unités

51)\( x=e^t\cos t, \quad y=e^t\sin t, \quad \text{for }0≤t≤\frac{π}{2}\) (exprimer la réponse sous la forme d'une décimale arrondie à trois décimales)

52)\( x=a\cos^3θ, \quad y=a\sin^3θ\) sur l'intervalle\( [0,2π)\) (l'hypocycloïde)

Réponse

\( s = 6a\)unités

53) Détermine la longueur d'un arc de la cycloïde\( x=4(t−\sin t), \quad y=4(1−\cos t).\)

54) Trouvez la distance parcourue par une particule dont\( (x,y)\) la position\(t\) varie dans l'intervalle de temps donné :\( x=\sin^2t, \quad y=\cos^2t, \quad \text{for }0≤t≤3π\)

Réponse

\( 6\sqrt{2}\)unités

55) Détermine la longueur d'un arc de la cycloïde\( x=θ−\sin θ, \quad y=1−\cos θ\).

56) Montrez que la longueur totale de l'ellipse\( x=4\sin θ, \quad y=3\cos θ\) est de\( \displaystyle L=16∫^{π/2}_0\sqrt{1−e^2\sin^2θ}\,dθ\), où\( e=\frac{c}{a}\) et\( c=\sqrt{a^2−b^2}\).

57) Trouvez la longueur de la courbe\( x=e^t−t, \quad y=4e^{t/2}, \quad \text{for }−8≤t≤3.\)

Dans les exercices 58 à 59, trouvez l'aire de la surface obtenue en faisant pivoter la courbe donnée autour de l'\(x\)axe.

58)\( x=t^3, \quad y=t^2, \quad \text{for }0≤t≤1\)

Réponse

\( \dfrac{2π(247\sqrt{13}+64)}{1215}\text{ units}^2\)

59)\( x=a\cos^3θ, \quad y=a\sin^3θ, \quad \text{for }0≤θ≤\frac{π}{2}\)

60) [T] Utilisez un CAS pour déterminer l'aire de la surface générée par une rotation\( x=t+t^3, \quad y=t−\frac{1}{t^2}, \quad \text{for }1≤t≤2\) autour de l'\(x\)axe. (Répondez à trois décimales.)

Réponse

\(59.101\text{ units}^2\)

61) Trouvez la surface obtenue en effectuant une rotation\( x=3t^2, \quad y=2t^3, \quad \text{for }0≤t≤5\) autour de l'\(y\)axe.

62) Trouvez l'aire de la surface générée en tournant\( x=t^2, \quad y=2t, \quad \text{for }0≤t≤4\) autour de l'\(x\)axe.

Réponse

\( \frac{8π}{3}(17\sqrt{17}−1) \text{ units}^2\)

63) Trouvez la surface générée en tournant\( x=t^2, \quad y=2t^2, \quad \text{for }0≤t≤1\) autour de l'\(y\)axe.