10.2 : Propriétés des séries Power

Objectifs d'apprentissage

• Combinez les séries de puissance par addition ou soustraction.
• Créez une nouvelle série de puissances par multiplication par la puissance de la variable ou d'une constante, ou par substitution.
• Multipliez deux séries de puissance ensemble.
• Différenciez et intégrez les séries de puissance terme par terme.

Dans la section précédente sur les séries de puissance et les fonctions, nous avons montré comment représenter certaines fonctions à l'aide de séries de puissances. Dans cette section, nous expliquons comment les séries de puissance peuvent être combinées, différenciées ou intégrées pour créer de nouvelles séries de puissance. Cette fonctionnalité est particulièrement utile pour plusieurs raisons. Tout d'abord, il nous permet de trouver des représentations de séries de puissances pour certaines fonctions élémentaires, en écrivant ces fonctions en termes de fonctions dont les séries de puissances sont connues. Par exemple, étant donné la représentation de la série de puissance pour$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$, nous pouvons trouver une représentation de la série de puissances pour$f′(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}$. Ensuite, le fait de pouvoir créer des séries de puissance nous permet de définir de nouvelles fonctions qui ne peuvent pas être écrites en termes de fonctions élémentaires. Cette fonctionnalité est particulièrement utile pour résoudre des équations différentielles pour lesquelles il n'existe aucune solution en termes de fonctions élémentaires.

Combining Power Series

Si nous avons deux séries de puissances avec le même intervalle de convergence, nous pouvons ajouter ou soustraire les deux séries pour créer une nouvelle série de puissances, également avec le même intervalle de convergence. De même, nous pouvons multiplier une série de puissances par une puissance de$x$ ou évaluer une série de puissances à$x^m$ pour un entier positif$m$ afin de créer une nouvelle série de puissances. Cela nous permet de trouver des représentations de séries de puissance pour certaines fonctions en utilisant des représentations de séries de puissances d'autres fonctions. Par exemple, puisque nous connaissons la représentation des séries de puissances pour$f(x)=\frac{1}{1−x}$, nous pouvons trouver des représentations de séries de puissances pour des fonctions connexes, telles que

$$y=\dfrac{3x}{1−x^2} \nonumber$$

et

$$y=\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}. \nonumber$$

Dans Note$\PageIndex{1}$, nous présentons les résultats concernant l'addition ou la soustraction de séries de puissances, la composition d'une série de puissances et la multiplication d'une série de puissances par la puissance de la variable. Par souci de simplicité, nous énonçons le théorème des séries de puissance centrées sur$x=0$. Des résultats similaires sont valables pour les séries de puissance centrées sur$x=a$.

Remarque :$\PageIndex{1}$: Combining Power Series

Supposons que les deux séries de puissance$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ et$\displaystyle\sum_{n=0}^∞d_nx^n$ convergent vers les fonctions$f$ et$g$, respectivement, sur un intervalle commun$I$.

1. La série Power$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n±d_nx^n)$ converge vers$f±g$ on$I$.
2. Pour tout entier$m≥0$ et tout nombre réel$b$, la série de puissance$\displaystyle \sum_{n=0}^∞bx^m_nx^n$ converge vers$bx^mf(x)$ on$I$.
3. Pour tout entier$m≥0$ et tout nombre réel$b$, la série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(bx^m)^n$ converge vers$f(bx^m)$ tout$x$ ce qui$bx^m$ se trouve dans$I$.

Une preuve

Nous le prouvons$i$. Dans le cas de la série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n+d_nx^n)$. Supposons cela$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ et$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ convergez vers les fonctions$f$ et$g$, respectivement, vers l'intervalle$I$. $x$Soit un point$I$ et$T_N(x)$ dénotons$S_N(x)$ les Nièmes sommes partielles de la série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ et$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$, respectivement. Ensuite, la séquence${S_N(x)}$ converge vers$f(x)$ et la séquence${T_N(x)}$ converge vers$g(x)$. De plus, la N ème somme partielle de$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n+d_nx^n)$ est

$$\begin{align*} \sum_{n=0}^N(c_nx^n+d_nx^n) =\sum_{n=0}^Nc_nx^n+\sum_{n=0}^Nd_nx^n\\[4pt] =S_N(x)+T_N(x).\end{align*}$$

Parce que

$$\begin{align*} \lim_{N→∞}(S_N(x)+T_N(x)) =\lim_{N→∞}S_N(x)+\lim_{N→∞}T_N(x)\\[4pt] =f(x)+g(x), \end{align*}$$

nous concluons que la série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n+d_nx^n)$ converge vers$f(x)+g(x).$

□

Nous examinons les produits des séries de puissance dans un théorème ultérieur. Tout d'abord, nous montrons plusieurs applications de Note et comment déterminer l'intervalle de convergence d'une série de puissances en fonction de l'intervalle de convergence d'une série de puissances associée.

Exemple$\PageIndex{1}$: Combining Power Series

Supposons qu'il$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ s'agisse d'une série de puissances dont l'intervalle de convergence est$(−1,1)$, et supposons qu'il$\displaystyle \sum_{n=0}^∞b_nx^n$ s'agit d'une série de puissances dont l'intervalle de convergence est$(−2,2).$

1. Détermine l'intervalle de convergence de la série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(a_nx^n+b_nx^n).$
2. Détermine l'intervalle de convergence de la série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n3^nx^n.$

Solution

1. Puisque l'intervalle$(−1,1)$ est un intervalle de convergence commun de la série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ et$\displaystyle \sum_{n=0}^∞b_nx^n$ que l'intervalle de convergence de la série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(a_nx^n+b_nx^n)$ est$(−1,1)$.
2. Comme il$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ s'agit d'une série de puissance centrée à zéro avec un rayon de convergence,$1,$ elle converge pour tous$x$ dans l'intervalle.$(−1,1).$ Par note, la série $$\sum_{n=0}^∞a_n3^nx^n=\sum_{n=0}^∞a_n(3x)^n \nonumber$$ converge si elle$3x$ se trouve dans l'intervalle$(−1,1)$. Par conséquent, la série converge pour tous$x$ dans l'intervalle$\left(−\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right).$

Exercice$\PageIndex{1}$

Supposons$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ que l'intervalle de convergence soit de$(−1,1)$. Détermine l'intervalle de convergence de$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n(\dfrac{x}{2})^n$.

Allusion

Trouvez les valeurs de$x$ ce qui$\dfrac{x}{2}$ se trouve dans l'intervalle$(−1,1).$

Réponse

L'intervalle de convergence est$(−2,2).$

Dans l'exemple suivant, nous montrons comment utiliser Note et la série de puissance pour une fonction f afin de construire des séries de puissance pour les fonctions associées à$f$. Plus précisément, nous prenons en compte les fonctions liées à la fonction$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ et nous utilisons le fait que

$$\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n=1+x+x^2+x^3+\ldots \nonumber$$

pour$|x|<1.$

Exemple$\PageIndex{2}$: Constructing Power Series from Known Power Series

Utilisez la représentation de la série de puissances pour la$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ combinaison avec Note pour construire une série de puissances pour chacune des fonctions suivantes. Détermine l'intervalle de convergence de la série de puissances.

1. $f(x)=\dfrac{3x}{1+x^2}$
2. $f(x)=\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}$

Solution

a. Écrivez d'abord$f(x)$ en tant que

$$f(x)=3x\left(\dfrac{1}{1−(−x^2)}\right). \nonumber$$

En utilisant la représentation des séries de puissances pour$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ et les parties ii. et iii. de Note, nous constatons qu'une représentation de série de puissances pour$f$ est donnée par

$$\sum_{n=0}^∞3x(−x^2)^n=\sum_{n=0}^∞3(−1)^nx^{2n+1}. \nonumber$$

Puisque l'intervalle de convergence de la série pour$\dfrac{1}{1−x}$ est$(−1,1)$, l'intervalle de convergence pour cette nouvelle série est l'ensemble des nombres réels$x$ tels que$∣x^2∣<1$. Par conséquent, l'intervalle de convergence est$(−1,1).$

b. Pour trouver la représentation de la série de puissances, utilisez des fractions partielles pour écrire$f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x−3)}$ comme la somme de deux fractions. Nous avons

$$\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}=\dfrac{−1/2}{x−1}+\dfrac{1/2}{x−3}=\dfrac{1/2}{1−x}−\dfrac{1/2}{3−x}=\dfrac{1/2}{1−x}−\dfrac{1/6}{1−\dfrac{x}{3}}. \nonumber$$

Tout d'abord, en utilisant la partie ii. de Note, nous obtenons

$$\dfrac{1/2}{1−x}=\sum_{n=0}^∞\dfrac{1}{2}x^n \quad\text{for } |x|<1. \nonumber$$

Ensuite, en utilisant les parties ii. et iii. de Note, nous avons

$$\dfrac{1/6}{1−x/3}=\sum_{n=0}^∞\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{x}{3}\right)^n \quad\text{for } |x|<3. \nonumber$$

Puisque nous combinons ces deux séries de puissances, l'intervalle de convergence de la différence doit être le plus petit de ces deux intervalles. En utilisant ce fait et la partie i. de Note, nous avons

$$\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}=\sum_{n=0}^∞\left(\dfrac{1}{2}−\dfrac{1}{6⋅3^n}\right)x^n \nonumber$$

où se situe l'intervalle de convergence$(−1,1)$.

Exercice$\PageIndex{}2$

Utilisez la série pour$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ activer$|x|<1$ pour construire une série pour$\dfrac{1}{(1−x)(x−2)}.$ déterminer l'intervalle de convergence.

Allusion

Utilisez des fractions partielles à réécrire$\dfrac{1}{(1−x)(x−2)}$ sous forme de différence entre deux fractions.

Réponse

$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\left(−1+\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)x^n$. L'intervalle de convergence est$(−1,1)$.

Dans Exemple$\PageIndex{2}$, nous avons montré comment trouver des séries de puissance pour certaines fonctions. Dans l'exemple,$\PageIndex{3}$ nous montrons comment faire le contraire : à partir d'une série de puissances, déterminez la fonction qu'elle représente.

Exemple$\PageIndex{3}$: Finding the Function Represented by a Given Power Series

Considérez la série de puissance$\displaystyle \sum_{n=0}^∞2^nx^n.$ Trouvez la fonction f représentée par cette série. Déterminez l'intervalle de convergence de la série.

Solution

Écrire la série donnée sous la forme

$$\sum_{n=0}^∞2^nx^n=\sum_{n=0}^∞(2x)^n, \nonumber$$

nous pouvons reconnaître cette série comme la série Power pour

$$f(x)=\dfrac{1}{1−2x}. \nonumber$$

Comme il s'agit d'une série géométrique, la série converge si et seulement si.$|2x|<1.$ Par conséquent, l'intervalle de convergence est$\left(−\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).$

Exercice$\PageIndex{3}$

Trouvez la fonction représentée par la série de puissance$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\dfrac{1}{3^n}x^n$.

Déterminez son intervalle de convergence.

Allusion

Écrivez$\dfrac{1}{3^n}x^n=\left(\dfrac{x}{3}\right)^n$.

Réponse

$f(x)=\dfrac{3}{3−x}.$L'intervalle de convergence est$(−3,3)$.

Rappelez-vous les questions posées dans l'ouverture du chapitre sur la meilleure façon de recevoir des paiements grâce aux gains de loterie. Nous revenons maintenant sur ces questions et montrons comment utiliser des séries pour comparer la valeur des paiements au fil du temps avec un paiement forfaitaire aujourd'hui. Nous calculerons la valeur des paiements futurs en dollars actuels, en supposant que nous soyons en mesure d'investir nos gains et de percevoir des intérêts. La valeur des paiements futurs en dollars d'aujourd'hui est connue sous le nom de valeur actuelle de ces paiements.

Exemple$\PageIndex{4}$: Present Value of Future Winnings

Supposons que vous gagniez à la loterie et que vous ayez les trois options suivantes :

• Recevez 20 millions de dollars aujourd'hui ;
• Recevez 1,5 million de dollars par an au cours des 20 prochaines années ; ou
• Recevez 1 million de dollars par an indéfiniment (à transmettre à vos héritiers).

Quelle est la meilleure offre, en supposant que le taux d'intérêt annuel soit de 5 % ? Nous répondons à cette question en répondant à la séquence de questions suivante.

1. Quelle est la valeur des 1,5 million de dollars reçus chaque année sur 20 ans en dollars actuels, en supposant un taux d'intérêt annuel de 5 % ?
2. Utilisez la réponse à la partie a. pour trouver une formule générale pour la valeur actuelle des paiements de$C$ dollars reçus chaque année au cours des n prochaines années, en supposant un taux d'intérêt annuel moyen$r$.
3. Trouvez une formule pour la valeur actuelle si les paiements annuels en$C$ dollars se poursuivent indéfiniment, en supposant un taux d'intérêt annuel moyen$r$.
4. Utilisez la réponse à la partie c. pour déterminer la valeur actuelle d'un million de dollars payés annuellement indéfiniment.
5. Utilisez vos réponses aux parties a. et d. pour déterminer laquelle des trois options est la meilleure.

Figure$\PageIndex{1}$ : (source : modification de l'œuvre de Robert Huffstutter, Flickr)

Solution

a. Considérez le paiement de 1,5 million de dollars effectué à la fin de la première année. Si vous pouviez recevoir ce paiement aujourd'hui au lieu d'un an, vous pourriez investir cet argent et gagner 5 % d'intérêt. Par conséquent, la valeur actuelle de cet argent$P_1$ atteint des$P_1(1+0.05)=1.5$ millions de dollars. Nous concluons que

$P_1=\dfrac{1.5}{1.05}=$1.429$millions de dollars.

De même, considérez le paiement de 1,5 million de dollars effectué à la fin de la deuxième année. Si vous pouviez recevoir ce paiement aujourd'hui, vous pourriez investir cet argent pendant deux ans et obtenir un intérêt de 5 %, composé annuellement. La valeur actuelle de cet argent atteint donc$P_2$ des$P_2(1+0.05)^2=1.5$ millions de dollars. Nous concluons que

$P_2=1.5(1.05)^2=$1.361$millions de dollars.

La valeur des paiements futurs aujourd'hui est la somme des valeurs actuelles$P_1,P_2,…,P_{20}$ de chacun de ces paiements annuels. La valeur actuelle$P_k$ satisfait

$P_k=\dfrac{1.5}{(1.05)^k}$.

Par conséquent,

$P=\dfrac{1.5}{1.05}+\dfrac{1.5}{(1.05)^2}+\ldots+\dfrac{1.5}{(1.05)^{20}}=$18.693$millions de dollars.

b. En utilisant le résultat de la partie a., nous voyons que la valeur actuelle P des dollars canadiens payés annuellement sur une période de n ans, en supposant un taux d'intérêt annuel r, est donnée par

$P=\dfrac{C}{1+r}+\dfrac{C}{(1+r)^2}+\ldots+\dfrac{C}{(1+r)^n}$dollars.

c. En utilisant le résultat de la partie b., nous voyons que la valeur actuelle d'une rente qui continue indéfiniment est donnée par la série infinie

$$P=\sum_{n=0}^∞\dfrac{C}{(1+r)^{n+1}}.\nonumber$$

Nous pouvons considérer la valeur actuelle comme une série de puissances dans$r$, qui converge aussi longtemps que$\Bigg|\dfrac{1}{1+r}\Bigg|<1$. Depuis$r>0$, cette série converge. Réécrire la série en tant que

$$P=\dfrac{C}{(1+r)}\sum_{n=0}^∞\left(\dfrac{1}{1+r}\right)^n,\nonumber$$

nous reconnaissons cette série comme la série Power pour

$f(r)=\dfrac{1}{1−\left(\dfrac{1}{1+r}\right)}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{r}{1+r}\right)}=\dfrac{1+r}{r}$.

Nous concluons que la valeur actuelle de cette rente est

$P=\dfrac{C}{1+r}⋅\dfrac{1+r}{r}=\dfrac{C}{r}.$

d. Du résultat à la partie c., nous concluons que la valeur actuelle$P$ du$C=1$ million de dollars versés chaque année indéfiniment, en supposant un taux d'intérêt annuel$r=0.05$, est donnée par

$P=\dfrac{1}{0.05}=20$millions de dollars.

e. Dans la partie a., nous voyons que recevoir 1,5 million de dollars sur une période de 20 ans vaut 18,693 millions de dollars en dollars actuels. Dans la partie d., nous voyons que recevoir 1 million de dollars par an indéfiniment vaut 20 millions de dollars en dollars actuels. Par conséquent, le fait de recevoir un paiement forfaitaire de 20 millions de dollars aujourd'hui ou de recevoir un million de dollars indéfiniment a la même valeur actualisée.

Multiplication des séries Power

Nous pouvons également créer de nouvelles séries de puissance en multipliant les séries de puissances. La possibilité de multiplier deux séries de puissances fournit un autre moyen de trouver des représentations de séries de puissances pour les fonctions. La façon dont nous les multiplions est similaire à la façon dont nous multiplions les polynômes. Supposons, par exemple, que nous souhaitions multiplier

$$\sum_{n=0}^∞c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots \nonumber$$

et

$$\sum_{n=0}^∞d_nx^n=d_0+d+1x+d_2x^2+\ldots. \nonumber$$

Il apparaît que le produit doit satisfaire

$$\left(\sum_{n=0}^∞c_nx^n\right)\left(\sum_{n=−0}^∞d_nx^n\right)=(c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots)⋅(d_0+d_1x+d_2x^2+\ldots)=c_0d^0+(c_1d^0+c_0d^1)x+(c_2d^0+c_1d^1+c_0d^2)x^2+\ldots. \nonumber$$

Dans Note, nous indiquons le résultat principal concernant la multiplication des séries de puissance, en montrant que si$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ et$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ convergent vers un intervalle commun$I$, alors nous pouvons multiplier les séries de cette manière, et la série résultante converge également sur l'intervalle$I$.

Série Multipliing Power

Supposons que les séries de puissance$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ et$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ convergent vers$f$ et$g$, respectivement, sur un intervalle commun$I$. Laissez

$$e_n=c_0d_n+c_1d_{n−1}+c_2d_{n−2}+\ldots+c_{n−1}d_1+c_nd_0=\sum_{k=0}^nc_kd_{n−k}. \nonumber$$

Alors

$$\left(\sum_{n=0}^∞c_nx^n\right)\left(\sum_{n=0}^∞d_nx^n\right)=\sum_{n=0}^∞e_nx^n \nonumber$$

et

$$\sum_{n=0}^∞e_nx^n \text{ converges to }f(x)⋅g(x) \text{ on } I. \nonumber$$

La série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞e_nx^n$ est connue sous le nom de produit Cauchy de la série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ et$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$.

Nous omettons la preuve de ce théorème, car il dépasse le niveau de ce texte et est généralement couvert dans un cours plus avancé. Nous donnons maintenant un exemple de ce théorème en trouvant la représentation des séries de puissances pour

$$f(x)=\dfrac{1}{(1−x)(1−x^2)} \nonumber$$

en utilisant les représentations des séries de puissances pour

$$y=\dfrac{1}{1−x} \text{ and } y=\dfrac{1}{1−x^2} \nonumber$$ .

Exemple$\PageIndex{5}$: Multiplying Power Series

Multiplier la représentation des séries de puissance

$$\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n=1+x+x^2+x^3+\ldots \nonumber$$

pour$|x|<1$ avec la représentation de la série Power

$$\dfrac{1}{1−x^2}=\sum_{n=0}^∞\big(x^2\big)^n=1+x^2+x^4+x^6+\ldots \nonumber$$

pour$|x|<1$ construire une série de puissances pour$f(x)=\dfrac{1}{(1−x)(1−x^2)}$ sur l'intervalle$(−1,1)$.

Solution

Nous devons nous multiplier

$$(1+x+x^2+x^3+\ldots)(1+x^2+x^4+x^6+\ldots).\nonumber$$

En écrivant les premiers termes, nous voyons que le produit est donné par

$$(1+x^2+x^4+x^6+\ldots)+(x+x^3+x^5+x^7+\ldots)+(x^2+x^4+x^6+x^8+\ldots)+(x^3+x^5+x^7+x^9+\ldots)=1+x+(1+1)x^2+(1+1)x^3+(1+1+1)x^4+(1+1+1)x^5+\ldots=1+x+2x^2+2x^3+3x^4+3x^5+\ldots.\nonumber$$

Comme les séries pour$y=\dfrac{1}{1−x}$ et$y=\dfrac{1}{1−x^2}$ les deux convergent vers l'intervalle$(−1,1)$, les séries du produit convergent également sur l'intervalle$(−1,1)$.

Exercice$\PageIndex{4}$

Multipliez la série$\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n$ par elle-même pour construire une série pour$\dfrac{1}{(1−x)(1−x)}.$

Allusion

Multipliez les premiers termes de$(1+x+x^2+x^3+\ldots)(1+x+x^2+x^3+\ldots)$

Réponse

$1+2x+3x^2+4x^3+\ldots$

Série Power différenciée et intégrée

Considérons une série de puissances$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots$ qui converge sur un certain intervalle$I$, et$f$ soit la fonction définie par cette série. Nous répondons ici à deux questions concernant$f$.

• Est$f$ différenciable et, dans l'affirmative, comment déterminer la dérivée$f′$ ?
• Comment évaluons-nous l'intégrale indéfinie$∫f(x)\,dx$ ?

Nous savons que, pour un polynôme comportant un nombre fini de termes, nous pouvons évaluer la dérivée en différenciant chaque terme séparément. De même, nous pouvons évaluer l'intégrale indéfinie en intégrant chaque terme séparément. Nous montrons ici que nous pouvons faire la même chose pour les séries de puissance convergentes. Autrement dit, si

$$f(x)=c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots \nonumber$$

converge vers un intervalle I, puis

$$f′(x)=c_1+2c_2x+3c_3x^2+\ldots \nonumber$$

et

$$∫f(x)\,dx=C+c_0x+c_1\dfrac{x^2}{2}+c_2\dfrac{x^3}{3}+\ldots. \nonumber$$

L'évaluation de la dérivée et de l'intégrale indéfinie de cette manière est appelée différenciation terme par terme d'une série de puissances et intégration terme par terme d'une série de puissances, respectivement. La capacité de différencier et d'intégrer les séries de puissance terme par terme nous permet également d'utiliser des représentations de séries de puissances connues pour trouver des représentations de séries de puissances pour d'autres fonctions. Par exemple, étant donné la série de puissance pour$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$, nous pouvons différencier terme par terme pour trouver la série de puissance pour$f′(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}$. De même, en utilisant la série de puissance pour$g(x)=\dfrac{1}{1+x}$, nous pouvons intégrer terme par terme pour trouver la série de puissance pour$G(x)=\ln(1+x)$, une antidérivée de g. Nous montrons comment procéder dans Exemple$\PageIndex{6}$ et Exemple$\PageIndex{7}$. Tout d'abord, nous indiquons Note, qui fournit le résultat principal concernant la différenciation et l'intégration des séries de puissances.

Différenciation et intégration terme par terme pour les séries Power

Supposons que la série de puissance$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ converge vers l'intervalle$(a−R,a+R)$ pour certains$R>0$. Soit f la fonction définie par la série

$$f(x)=\sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n=c_0+c_1(x−a)+c_2(x−a)^2+c_3(x−a)^3+\ldots \nonumber$$

pour$|x−a|<R$. Alors f est dérivable sur l'intervalle$(a−R,a+R)$ et on peut le trouver$f′$ en différenciant la série terme par terme :

$$f′(x)=\sum_{n=1}^∞ n c_n(x−a)^n−1=c_1+2c_2(x−a)+3c_3(x−a)^2+\ldots \nonumber$$

Pour trouver$|x−a|<R.$ également$∫f(x)\,dx$, nous pouvons intégrer la série terme par terme. La série qui en résulte converge$(a−R,a+R),$ et nous avons

$$∫f(x)\,dx=C+\sum_{n=0}^∞c_n\dfrac{(x−a)^{n+1}}{n+1}=C+c_0(x−a)+c_1\dfrac{(x−a)^2}{2}+c_2\dfrac{(x−a)^3}{3}+\ldots \nonumber$$

pour$|x−a|<R.$

La preuve de ce résultat dépasse le cadre du texte et est omise. Notez que, bien que Note garantisse le même rayon de convergence lorsqu'une série de puissances est différenciée ou intégrée terme par terme, elle ne dit rien de ce qui se passe aux extrémités. Il est possible que les séries de puissance différenciées et intégrées aient un comportement différent aux extrémités de celui de la série d'origine. Nous verrons ce comportement dans les exemples suivants.

Exemple$\PageIndex{6}$: Differentiating Power Series

1. Utilisez la représentation de la série de puissance $$f(x)=\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n=1+x+x^2+x^3+\ldots \nonumber$$ $|x|<1$ pour trouver une représentation de la série $$g(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2} \nonumber$$ de puissances pour l'intervalle$(−1,1).$ Déterminez si la série résultante converge aux extrémités.
2. Utilisez le résultat de la partie a. pour évaluer la somme des séries$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\dfrac{n+1}{4^n}$.

Solution

a. Puisque$g(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}$ c'est la dérivée de$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$, nous pouvons trouver une représentation de série de puissance pour g en différenciant la série de puissance pour f terme par terme. Le résultat est

$$g(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}=\dfrac{d}{\,dx}(\dfrac{1}{1−x})=\sum_{n=0}^∞\dfrac{d}{\,dx}(x^n)=\dfrac{d}{\,dx}(1+x+x^2+x^3+\ldots)=0+1+2x+3x^2+4x^3+\ldots=\sum_{n=0}^∞(n+1)x^n \nonumber$$

pour$|x|<1.$

Note$\PageIndex{1}$ ne garantit rien quant au comportement de cette série aux points de terminaison. En testant les points de terminaison à l'aide du test de divergence, nous constatons que la série diverge aux deux extrémités$x=±1$. Notez que c'est le même résultat que celui trouvé dans Example.

b. D'après la partie a. nous savons que

$$\sum_{n=0}^∞(n+1)x^n=\dfrac{1}{(1−x)^2}. \nonumber$$

Par conséquent,

\ [\ begin {align*} \ sum_ {n=0} ^∞ \ dfrac {n+1} {4^n} &= \ sum_ {n=0} ^∞ (n+1) \ left (\ dfrac {1} {4} \ right) ^n \ \ [4 points]
&= \ dfrac {1} {\ left (1− \ dfrac {1} {4} droite) ^2} \ \ [4 points]
&= \ dfrac {1} {\ left (\ dfrac {3} {4} \ right) ^2} \ \ [4 points]
& = \ dfrac {16} {9} \ end {align*} \]

Exercice$\PageIndex{5}$

Différenciez la série$\dfrac{1}{(1−x)^2}=\sum_{n=0}^∞(n+1)x^n$ terme par terme pour trouver une représentation de série de puissance pour$\dfrac{2}{(1−x)^3}$ l'intervalle$(−1,1)$.

Allusion

Écrivez les premiers termes et appliquez la règle de puissance.

Réponse

$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(n+2)(n+1)x^n$

Exemple$\PageIndex{7}$: Integrating Power Series

Pour chacune des fonctions f suivantes, trouvez une représentation de série de puissances pour f en intégrant la série de puissances pour$f′$ et déterminez son intervalle de convergence.

1. $f(x)=\ln(1+x)$
2. $f(x)=\tan^{−1}x$

Solution :

a. Pour$f(x)=\ln(1+x)$, la dérivée est$f′(x)=\dfrac{1}{1+x}$. Nous savons que

$$\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{1}{1−(−x)}=\sum_{n=0}^∞(−x)^n=1−x+x^2−x^3+\ldots\nonumber$$

pour$|x|<1$. Pour trouver une série de puissance pour$f(x)=\ln(1+x)$, nous intégrons la série terme par terme.

$$∫f′(x)\,dx=∫(1−x+x^2−x^3+\ldots)\,dx=C+x−\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}−\dfrac{x^4}{4}+\ldots\nonumber$$

Puisque$f(x)=\ln(1+x)$ est un antidérivé de$\dfrac{1}{1+x}$, il reste à résoudre la constante$C$. Depuis$\ln(1+0)=0$, nous avons$C=0$. Par conséquent, une représentation en série de puissances pour$f(x)=\ln(1+x)$ est

$$\ln(1+x)=x−\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}−\dfrac{x^4}{4}+\ldots=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n} \text{ for } |x|<1.\nonumber$$

Remarque$\PageIndex{1}$ ne garantit rien quant au comportement de cette série d'alimentation aux points de terminaison. Cependant, en vérifiant les extrémités, nous constatons qu'au niveau de$x=1$ la série se trouve la série harmonique alternée, qui converge. De plus, à$x=−1$, la série est la série harmonique, qui diverge. Il est important de noter que, même si cette série converge vers$x=1$, Note ne garantit pas que la série converge réellement vers$\ln(2)$. En fait, la série converge vers$\ln(2)$, mais montrer ce fait nécessite des techniques plus avancées. (Le théorème d'Abel, traité dans des textes plus avancés, traite de ce point plus technique.) L'intervalle de convergence est$(−1,1]$.

b. La dérivée de$f(x)=\tan^{−1}x$ est$f′(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$. Nous savons que

$\displaystyle \dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{1}{1−(−x^2)}=\sum_{n=0}^∞(−x^2)^n=1−x^2+x^4−x^6+\ldots$

pour$|x|<1$. Pour trouver une série de puissance pour$f(x)=\tan^{−1}x$, nous intégrons cette série terme par terme.

$$∫f′(x)\,dx=∫(1−x^2+x^4−x^6+\ldots)\,dx=C+x−\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}−\dfrac{x^7}{7}+\ldots \nonumber$$

Depuis$\tan^{−1}(0)=0$, nous avons$C=0$. Par conséquent, une représentation en série de puissances pour$f(x)=\tan^{−1}x$ est

$$\tan^{−1}x=x−\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}−\dfrac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\nonumber$$

pour$|x|<1$. Encore une fois, Note$\PageIndex{1}$ ne garantit rien quant à la convergence de cette série aux extrémités. Cependant, en vérifiant les points finaux et en utilisant le test des séries alternées, nous constatons que la série converge à$x=1$ et$x=−1$. Comme indiqué dans la partie a., en utilisant le théorème d'Abel, il peut être démontré que la série converge réellement vers$\tan^{−1}(1)$ et$\tan^{−1}(−1)$ à$x=1$ et$x=−1$, respectivement. Ainsi, l'intervalle de convergence est$[−1,1]$.

Exercice$\PageIndex{6}$

Intégrez la série Power$\displaystyle \ln(1+x)=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n}$ terme par terme pour évaluer$\displaystyle ∫\ln(1+x)\,dx.$

Allusion

Utilisez le fait qu'il$\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)n}$ s'agit d'un antidérivé de$\dfrac{x^n}{n}$.

Réponse

$\displaystyle \sum_{n=2}^∞\dfrac{(−1)^nx^n}{n(n−1)}$

Jusqu'à présent, nous avons montré plusieurs techniques permettant de trouver des représentations de séries de puissances pour les fonctions. Mais comment savoir si ces séries de puissance sont uniques ? Autrement dit, étant donné une fonction$f$ et une série de puissances pour$f$ at$a$, est-il possible qu'il existe une série de puissance différente pour$f$ at a que nous aurions pu trouver si nous avions utilisé une technique différente ? La réponse à cette question est négative. Ce fait ne devrait pas paraître surprenant si l'on considère les séries de puissances comme des polynômes comportant un nombre infini de termes. Intuitivement, si

$$c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots=d_0+d_1x+d_2x^2+\ldots \nonumber$$

pour toutes$x$ les valeurs d'un intervalle ouvert I environ zéro, les coefficients$c_n$ doivent être égaux$d_n$ à$n≥0$. Nous déclarons maintenant ce résultat de manière formelle.

Le caractère unique de la série Power

$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_n(x−a)^n$Soit$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ deux séries de puissances convergentes telles que

$$\sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n=\sum_{n=0}^∞d_n(x−a)^n \nonumber$$

pour tous les x dans un intervalle ouvert contenant$a$. Alors$c_n=d_n$ pour tous$n≥0$.

Une preuve

Laissez

$$\begin{align*} f(x) =c_0+c_1(x−a)+c_2(x−a)^2+c_3(x−a)^3+\ldots \\ =d_0+d_1(x−a)+d_2(x−a)^2+d_3(x−a)^3+\ldots. \end{align*}$$

Ensuite,$f(a)=c_0=d_0.$ By Note, nous pouvons différencier les deux séries terme par terme. Par conséquent,

$$\begin{align*}f′(x) =c_1+2c_2(x−a)+3c_3(x−a)^2+\ldots \\ =d_1+2d_2(x−a)+3d_3(x−a)^2+\ldots,\end{align*}$$

et donc, de$f′(a)=c_1=d_1.$ même,

$$\begin{align*} f''(x) =2c_2+3⋅2c_3(x−a)+\ldots \\ =2d_2+3⋅2d_3(x−a)+\ldots\end{align*}$$

implique que$f''(a)=2c_2=2d_2,$ et donc,$c_2=d_2$. Plus généralement, pour tout entier$n≥0,f^{(n)} (a)=n!c_n=n!d_n,$ et par conséquent,$c_n=d_n$ pour tous$n≥0.$

□

Dans cette section, nous avons montré comment trouver des représentations de séries de puissances pour certaines fonctions à l'aide de diverses opérations algébriques, de la différenciation ou de l'intégration. À ce stade, cependant, nous sommes encore limités quant aux fonctions pour lesquelles nous pouvons trouver des représentations de séries de puissances. Ensuite, nous montrons comment trouver des représentations de séries de puissance pour de nombreuses autres fonctions en présentant la série Taylor.

Concepts clés

• Étant donné deux séries de puissances$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ et$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ qui convergent vers des fonctions$f$ et$g$ sur un intervalle commun$I$, la somme et la différence des deux séries convergent vers$f±g$, respectivement, on$I$. De plus, pour tout nombre réel$b$ et entier$m≥0$, la série$\displaystyle \sum_{n=0}^∞bx^mc_nx^n$ converge vers$bx^mf(x)$ et vers$f(bx^m)$ chaque fois que$bx^m$ se trouve dans l'intervalle$I$.$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(bx^m)^n$
• Étant donné que deux séries de puissances convergent sur un intervalle,$(−R,R),$ le produit de Cauchy des deux séries de puissances converge sur l'intervalle$(−R,R)$.
• Étant donné qu'une série de puissances converge vers une fonction$f$ sur un intervalle$(−R,R)$, la série peut être différenciée terme par terme et la série résultante converge vers une$f′$ fonction$(−R,R)$. Les séries peuvent également être intégrées terme par terme et la série résultante converge vers$∫f(x)\,dx$ une série$(−R,R)$.

Lexique

différenciation terme par terme d'une série de puissances

une technique pour évaluer la dérivée d'une série de puissances$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ en évaluant la dérivée de chaque terme séparément pour créer la nouvelle série de puissances$\displaystyle \sum_{n=1}^∞nc_n(x−a)^{n−1}$

intégration terme par terme d'une série de puissances

une technique pour intégrer une série de puissances$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ en intégrant chaque terme séparément pour créer la nouvelle série de puissances$\displaystyle C+\sum_{n=0}^∞c_n\dfrac{(x−a)^{n+1}}{n+1}$