9.6E : Exercices pour la section 9.6

Dans les exercices 1 à 11, utilisez le test du ratio pour déterminer si chaque série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge ou diverge. Indiquez si le test du ratio n'est pas concluant.

1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n!}\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0.\)Converge selon le test du ratio.

2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{10^n}{n!}\)

3)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n^2}{2^n}\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{2}\left(\frac{n+1}{n}\right)^2=\frac{1}{2}<1.\)Converge selon le test du ratio.

4)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n^{10}}{2^n}\)

5)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(n!)^3}{(3n)!}\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{27}<1.\)Converge selon le test du ratio.

6)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^{3n}(n!)^3}{(3n)!}\)

7)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(2n)!}{n^{2n}}\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4}{e^2}<1.\)Converge selon le test du ratio.

8)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(2n)!}{(2n)^n}\)

9)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n!}{(n/e)^n}\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=1.\)Le test du ratio n'est pas concluant.

10)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(2n)!}{(n/e)^{2n}}\)

11)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(2^nn!)^2}{(2n)^{2n}}\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{1}{e^2}<1.\)Converge selon le test du ratio.

Dans les exercices 12 à 21, utilisez le test de racine pour déterminer si elle\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge, où\(a_n\) est la suivante.

(12)\(\displaystyle a_k=\left(\frac{k−1}{2k+3}\right)^k\)

13)\(\displaystyle a_k=\left(\frac{2k^2−1}{k^2+3}\right)^k\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{k\to \infty} (a_k)^{1/k}=2>1.\)Diverge selon le Root Test.

(14)\(\displaystyle a_n=\frac{(\ln n)^{2n}}{n^n}\)

15)\(\displaystyle a_n=n/2^n\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} (a_n)^{1/n}=1/2<1.\)Converge selon le Root Test.

16)\(\displaystyle a_n=n/e^n\)

17)\(\displaystyle a_k=\frac{k^e}{e^k}\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{k\to \infty} (a_k)^{1/k}=1/e<1.\)Converge selon le Root Test.

18)\(\displaystyle a_k=\frac{π^k}{k^π}\)

19)\(\displaystyle a_n=\left(\frac{1}{e}+\frac{1}{n}\right)^n\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} a^{1/n}_n=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{e}+\frac{1}{n}=\frac{1}{e}<1.\)Converge selon le Root Test.

(20)\(\displaystyle a_k=\frac{1}{(1+\ln k)^k}\)

(21)\(\displaystyle a_n=\frac{(\ln(1+\ln n))^n}{(\ln n)^n}\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} a^{1/n}_n= \lim_{n\to \infty} \frac{(\ln(1+\ln n))}{(\ln n)}=0\)selon les règles de L'Hôpital. Converge selon le Root Test.

Dans les exercices 22 à 28, utilisez le test du ratio ou le test racine selon le cas pour déterminer si les séries\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞a_k\) contenant des termes donnés\(a_k\) convergent, ou indiquez si le test n'est pas concluant.

22)\(\displaystyle a_k=\frac{k!}{1⋅3⋅5⋯(2k−1)}\)

23)\(\displaystyle a_k=\frac{2⋅4⋅6⋯2k}{(2k)!}\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{k\to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k}= \lim_{k\to \infty} \frac{1}{2k+1}=0.\)Converge selon le test du ratio.

(24)\(\displaystyle a_k=\frac{1⋅4⋅7⋯(3k−2)}{3^kk!}\)

25)\(\displaystyle a_n=\left(1−\frac{1}{n}\right)^{n^2}\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} (a_n)^{1/n}=1/e.\)Converge selon le Root Test.

26)\(\displaystyle a_k=\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+⋯+\frac{1}{2k}\right)^k\quad \Big(\) Astuce : comparez\(a^{1/k}_k\) à\(\displaystyle ∫^{2k}_k\frac{dt}{t}.\Big)\)

(27)\(\displaystyle a_k=\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+⋯+\frac{1}{3k}\right)^k\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{k\to \infty} a^{1/k}_k=\ln(3)>1.\)Diverge selon le Root Test.

28)\(\displaystyle a_n=\left(n^{1/n}−1\right)^n\)

Dans les exercices 29 à 30, utilisez le test de ratio pour déterminer s'il y\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) a convergence ou indiquez si le test de ratio n'est pas concluant.

(29)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{3^{n^2}}{2^{n^3}}\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|= \lim_{n\to \infty} \frac{3^{2n+1}}{2^{3n^2+3n+1}}=0.\)Converge selon le test du ratio.

(30)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^{n^2}}{n^nn!}\)

Dans les exercices 31, utilisez les tests de comparaison des racines et des limites pour déterminer si elles\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) convergent.

31)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{x^n_n}\) où\(x_{n+1}=\frac{1}{2}x_n+\dfrac{1}{x_n}, x_1=1\) (Astuce : Trouvez la limite de\({x_n}\).)

Réponse

Converge par le test racine et le test de comparaison des limites depuis\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} x_n=\sqrt{2}\).

Dans les exercices 32 à 43, utilisez un test approprié pour déterminer si la série converge.

32)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n+1}{n^3+n^2+n+1}\)

33)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n+1}(n+1)}{n^3+3n^2+3n+1}\)

Réponse

Converge absolument par comparaison de limites avec \(p\)−series,\(p=2.\)

34)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(n+1)^2}{n^3+(1.1)^n}\)

35)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(n−1)^n}{(n+1)^n}\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=1/e^2≠0\). Les séries divergent selon le test de divergence.

36)\(\displaystyle a_n=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n\)\(\Big(\) Astuce :\(\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)^{n^2}≈e.\Big)\)

(37)\(\displaystyle a_k=1/2^{\sin^2k}\)

Réponse

Les termes n'ont pas tendance à être nuls :\(a_k≥1/2,\) puisque\(\sin^2x≤1.\)

38)\(\displaystyle a_k=2^{−\sin(1/k)}\)

39)\(\displaystyle a_n=1/(^{n+2}_n)\) où\( (^n_k)=\frac{n!}{k!(n−k)!}\)

Réponse

\(a_n=\dfrac{2}{(n+1)(n+2)},\)qui converge par rapport à \(p\)−series pour\(p=2\).

40)\(\displaystyle a_k=1/(^{2k}_k)\)

41)\(\displaystyle a_k=2^k/(^{3k}_k)\)

Réponse

\(a_k=\dfrac{2^k1⋅2⋯k}{(2k+1)(2k+2)⋯3k}≤(2/3)^k\)converge par rapport à des séries géométriques.

42)\(\displaystyle a_k=\left(\frac{k}{k+\ln k}\right)^k\quad\Big(\) Astuce :\(a_k=\left(1+\dfrac{\ln k}{k}\right)^{−(k/\ln k)\ln k}≈e^{−\ln k}.\Big)\)

43)\(\displaystyle a_k=\left(\frac{k}{k+\ln k}\right)^{2k}\quad\Big(\) Astuce :\(a_k=\left(1+\dfrac{\ln k}{k}\right)^{−(k/\ln k)\ln k^2}.\Big)\)

Réponse

\(a_k≈e^{−\ln k^2}=1/k^2.\)La série converge par comparaison des limites avec \(p\)−series,\(p=2.\)

Les séries des exercices 44 à 47 convergent selon le test du ratio. Utilisez la sommation par parties\(\displaystyle \sum_{k=1}^na_k(b_{k+1}−b_k)=[a_{n+1}b_{n+1}−a_1b_1]−\sum_{k=1}^nb_{k+1}(a_{k+1}−a_k),\) pour trouver la somme de la série donnée.

44)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{k}{2^k}\) (Astuce : prenez\(a_k=k\) et\(b_k=2^{1−k}\).)

45)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{k}{c^k},\) où\(c>1\) (Indice : Prenez\(a_k=k\) et\(b_k=c^{1−k}/(c−1)\).)

Réponse

Si\(b_k=c^{1−k}/(c−1)\) et\(a_k=k\), alors\(b_{k+1}−b_k=−c^{−k}\) et\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{k}{c^k}=a_1b_1+\frac{1}{c−1}\sum_{k=1}^∞c^{−k}=\frac{c}{(c−1)^2}.\)

46)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n^2}{2^n}\)

47)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(n+1)^2}{2^n}\)

Réponse

\(\displaystyle 6+4+1=11\)

Le\(k^{\text{th}}\) terme de chacune des séries suivantes a un facteur\(x^k\). Détermine la plage\(x\) pour laquelle le test de ratio implique que la série converge.

48)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{x^k}{k^2}\)

49)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{x^{2k}}{k^2}\)

Réponse

\( |x|≤1\)

50)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{x^{2k}}{3^k}\)

51)\(\displaystyle \sum_{k=1}^∞\frac{x^k}{k!}\)

Réponse

\( |x|<∞\)

52) Existe-t-il un nombre\(p\) qui\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2^n}{n^p}\) converge ?

53) Laissons\( 0<r<1.\) pour quels nombres\(p\) réels\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞n^pr^n\) convergent ?

Réponse

Tous les nombres réels\(p\) selon le test du ratio.

54) Supposons que\(\displaystyle \lim_{n→∞}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=p.\) pour quelles valeurs de\(p\) doivent\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞2^na_n\) converger ?

55) Supposons que\(\displaystyle \lim_{n→∞}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=p.\) pour quelles valeurs de la convergence\(r>0\) est-elle\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞r^na_n\) garantie ?

Réponse

\( r<1/p\)

56) Supposons que\(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| ≤(n+1)^p\) pour tous\(n=1,2,…\) se\(p\) trouve un nombre réel fixe. Pour quelles valeurs de la convergence\(p\) est-elle\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞n!a_n\) garantie ?

57) Pour quelles valeurs de\(r>0\), le cas échéant,\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞r^{\sqrt{n}}\) convergent-elles ? \(\Big(\)Astuce :\(\displaystyle sum_{n=1}^∞a_n=\sum_{k=1}^∞\sum_{n=k^2}^{(k+1)^2−1}a_n.\Big)\)

Réponse

\(0<r<1.\)Notez que les tests de ratio et de racine ne sont pas concluants. En utilisant l'astuce, il existe\(r^\sqrt{n}\) des\(2k\) termes pour\( k^2≤n<(k+1)^2\), et pour\(r<1\) chaque terme, au moins\(r^k\). Donc,\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞r^{\sqrt{n}}=\sum_{k=1}^∞\sum_{n=k^2}^{(k+1)^2−1}r^{\sqrt{n}} ≥\sum_{k=1}^∞2kr^k,\) qui converge par le test du ratio pour\(r<1\). Car\(r≥1\) la série diverge selon le test de divergence.

58) Supposons cela\( \left|\dfrac{a_{n+2}}{a_n}\right| ≤r<1\) pour tous\(n\). Pouvez-vous en conclure que cela\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge ?

59) Soit\(a_n=2^{−[n/2]}\) où\( [x]\) est le plus grand entier inférieur ou égal à\(x\). Déterminez si elles\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) convergent et justifiez votre réponse.

Réponse

L'un a fait\(\displaystyle a_1=1, a_2=a_3=1/2,…a_{2n}=a_{2n+1}=1/2^n\). Le test du ratio ne s'applique pas car\(\displaystyle a_{n+1}/a_n=1\) il\(\displaystyle n\) est pair. Cependant, la série converge\(\displaystyle a_{n+2}/a_n=1/2,\) donc selon l'exercice précédent. Bien entendu, la série n'est qu'une série géométrique dupliquée.

Les exercices avancés suivants utilisent un test de ratio généralisé pour déterminer la convergence de certaines séries qui apparaissent dans des applications particulières lorsque les tests de ce chapitre, y compris le ratio et le test de racine, ne sont pas suffisamment puissants pour déterminer leur convergence. Le test indique que si\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_{2n}}{a_n}<1/2\), alors\(\displaystyle \sum a_n\) converge, tandis que si\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_{2n+1}}{a_n}>1/2\), alors\(\displaystyle \sum a_n\) diverge.

60) Laissez\(\displaystyle a_n=\frac{1}{4}\frac{3}{6}\frac{5}{8}⋯\frac{2n−1}{2n+2}=\frac{1⋅3⋅5⋯(2n−1)}{2^n(n+1)!}\). Expliquez pourquoi le test du ratio ne peut pas déterminer la convergence de\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\). Utilisez le fait que cela\(\displaystyle 1−1/(4k)\) augmente\(\displaystyle k\) pour estimer\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_{2n}}{a_n}\).

61)\(\displaystyle a_n=\frac{1}{1+x}\frac{2}{2+x}⋯\frac{n}{n+x}\frac{1}{n}=\frac{(n−1)!}{(1+x)(2+x)⋯(n+x).}\) Montrons cela\(a_{2n}/a_n≤e^{−x/2}/2\). Pour\(x>0\) quoi le test du ratio généralisé implique-t-il une convergence de\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) ? (Conseil : Écrivez\(2a_{2n}/a_n\) comme un produit de\(n\) facteurs dont chacun est inférieur à\(1/(1+x/(2n)).)\)

Réponse

\(\displaystyle a_{2n}/a_n=\frac{1}{2}⋅\frac{n+1}{n+1+x}\frac{n+2}{n+2+x}⋯\frac{2n}{2n+x}.\)L'inverse du\(\displaystyle kth\) facteur est\(\displaystyle (n+k+x)/(n+k)>1+x/(2n)\) que le produit est inférieur à\(\displaystyle (1+x/(2n))^{−n}≈e^{−x/2}.\) Thus for\(\displaystyle x>0, \frac{a_{2n}}{a_n}≤\frac{1}{2}e^{−x/2}\). La série converge pour\(\displaystyle x>0\).

62)\(a_n=\dfrac{n^{\ln n}}{(\ln n)^n}.\) Montrons\( \dfrac{a_{2n}}{a_n}→0\) que\(n→∞.\)