9.6 : Tests des ratios et des racines
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- 197738
- Utilisez le test du ratio pour déterminer la convergence absolue d'une série.
- Utilisez le test racine pour déterminer la convergence absolue d'une série.
- Décrivez une stratégie pour tester la convergence d'une série donnée.
Dans cette section, nous prouvons les deux dernières séries de tests de convergence : le test du ratio et le test de racine. Ces tests sont particulièrement intéressants car ils ne nous obligent pas à trouver une série comparable. Le test du ratio sera particulièrement utile dans la discussion des séries de puissance dans le chapitre suivant. Tout au long de ce chapitre, nous avons vu qu'aucun test de convergence ne fonctionne pour toutes les séries. Par conséquent, à la fin de cette section, nous discutons d'une stratégie permettant de choisir le test de convergence à utiliser pour une série donnée.
Test de ratio
Envisagez une série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\). D'après notre discussion et nos exemples précédents, nous savons que ce n'\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0\)est pas une condition suffisante pour que les séries convergent. Non seulement nous en avons besoin\( a_n→0\), mais nous avons besoin de suffisamment de\( a_n→0\) rapidité. Par exemple, considérez la série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}\) et la série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}\). Nous le savons\( \frac{1}{n}→0\) et\( \frac{1}{n^2}→0\). Cependant, seule la série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞ \frac{1}{n^2}\) converge. La série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}\) diverge parce que les termes de la séquence\( \left\{\frac{1}{n}\right\}\) ne s'approchent pas de zéro assez vite que\( n→∞\). Nous introduisons ici le test du ratio, qui permet de mesurer la rapidité avec laquelle les termes d'une série s'approchent de zéro.
\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\)Soit une série avec des termes non nuls. Laissez
\[ρ=\lim_{n→∞} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|. \nonumber \]
- Il\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge\( 0≤ρ<1,\) alors absolument.
- Si\( ρ>1\) ou\( ρ=∞\), alors\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) diverge.
- Si\( ρ=1,\) le test ne fournit aucune information.
\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\)Soit une série avec des termes non nuls.
Nous commençons par la preuve de la partie i. Dans ce cas,\( ρ=\lim_{n→∞}∣\frac{a_{n+1}}{a_n}∣<1.\) puisque\( 0≤ρ<1\), il existe un\( R\) tel que\( 0≤ρ<R<1\). Laissez\( ε=R−ρ>0\). Par la définition de la limite d'une séquence, il existe un entier\( N\) tel que
\[\left|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|−ρ\right|<ε,\;\text{for all}\; n≥N. \nonumber \]
Par conséquent,
\[\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<ρ+ε=R, \;\text{for all}\; n≥N \nonumber \]
et, par conséquent,
\( |a_{N+1}|<R|a_N|\)
\( ∣a_{N+2}∣<R∣a_{N+1}∣<R^2∣a_N∣\)
\( ∣a_{N+3}∣<R∣a_{N+2}∣<R^2∣a_{N+1}∣<R^3∣a_N∣\)
\( ∣a_{N+4}∣<R∣a_{N+3}∣<R^2∣a_{N+2}∣<R^3∣a_{N+1}∣<R^4∣a_N∣\)
\( ⋮.\)
Depuis\( R<1,\) la série géométrique
\[R∣a_N∣+R^2∣a_N∣+R^3∣a_N∣+⋯ \nonumber \]
converge. Compte tenu des inégalités ci-dessus, nous pouvons appliquer le test de comparaison et conclure que la série
\[|a_{N+1}|+|a_{N+2}|+|a_{N+3}|+|a_{N+4}|+⋯ \nonumber \]
converge. Par conséquent, puisque
\[\sum_{n=1}^∞|a_n|=\sum_{n=1}^N|a_n|+\sum_{n=N+1}^∞|a_n| \nonumber \]
où\(\displaystyle \sum_{n=1}^N|a_n|\) est une somme finie et\(\displaystyle \sum_{n=N+1}^∞|a_n|\) converge, nous en concluons que cela\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|\) converge.
Pour la partie II.
\[ρ=\lim_{n→∞}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1. \nonumber \]
Comme\( ρ>1,\) il existe\( R\) une telle chose\( ρ>R>1\). Laissez\( ε=ρ−R>0\). Par définition de la limite d'une séquence, il existe un entier\( N\) tel que
\[\left|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|−ρ\right|<ε, \;\text{for all}\; n≥N. \nonumber \]
Par conséquent,
\[R=ρ−ε<\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|, \;\text{for all}\; n≥N, \nonumber \]
et, par conséquent,
\( |a_{N+1}|>R|a_N|\)
\( ∣a_{N+2}∣>R∣a_{N+1}∣>R^2∣a_N∣\)
\( ∣a_{N+3}∣>R∣a_{N+2}∣>R^2∣a_{N+1}∣>R^3∣a_N∣\)
\( ∣a_{N+4}∣>R∣a_{N+3}∣>R^2∣a_{N+2}∣>R^3∣a_{N+1}∣>R^4∣a_N∣.\)
Depuis\( R>1,\) la série géométrique
\[R∣a_N∣+R^2∣a_N∣+R^3∣a_N∣+⋯ \nonumber \]
diverge. En appliquant le test de comparaison, nous concluons que la série
\[|a_{N+1}|+|a_{N+2}|+|a_{N+3}|+⋯ \nonumber \]
diverge, et donc la série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|\) diverge.
Pour la partie iii. nous montrons que le test ne fournit aucune information si\( ρ=1\) en tenant compte du\( p−series\)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p}\). Pour n'importe quel nombre réel\( p\),
\[ρ=\lim_{n→∞}\frac{1/(n+1)^p}{1/n^p}=\lim_{n→∞}\frac{n^p}{(n+1)^p}=1. \nonumber \]
Cependant, nous savons que si\( p≤1,\) la série p\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p}\) diverge, alors que la\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p}\) converge si\( p>1\).
□
Le test du ratio est particulièrement utile pour les séries dont les termes contiennent des factorielles ou des exponentielles, où le ratio de termes simplifie l'expression. Le test du ratio est pratique car il ne nous oblige pas à trouver une série comparative. L'inconvénient est que le test ne fournit parfois aucune information concernant la convergence.
Pour chacune des séries suivantes, utilisez le test du ratio afin de déterminer si la série converge ou diverge.
- \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{2^n}{n!}\)
- \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^n}{n!} \)
- \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^n(n!)^2}{(2n)!}\)
Solution
a. À partir du test du ratio, nous pouvons voir que
\[ ρ=\lim_{n→∞}\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\lim_{n→∞}\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}⋅\frac{n!}{2^n}. \nonumber \]
Depuis\( (n+1)!=(n+1)⋅n!,\)
\[ ρ=\lim_{n→∞}\frac{2}{n+1}=0. \nonumber \]
Depuis que\( ρ<1,\) la série converge.
b. Nous pouvons voir que
\[ ρ=\lim_{n→∞}\frac{(n+1)^{n+1}/(n+1)!}{n^n/n!}=\lim_{n→∞}\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}⋅\frac{n!}{n^n}=\lim_{n→∞}(\frac{n+1}{n})^n=\lim_{n→∞}(1+\frac{1}{n})^n=e. \nonumber \]
Puisque\( ρ>1,\) la série diverge.
c. Depuis
\[ ∣\frac{(−1)^{n+1}((n+1)!)^2/(2(n+1))!}{(−1)^n(n!)^2/(2n)!}∣=\frac{(n+1)!(n+1)!}{(2n+2)!}⋅\frac{(2n)!}{n!n!}=\frac{(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)} \nonumber \]
nous voyons que
\[ ρ=\lim_{n→∞}\frac{(n+1)(n+1)}{(2n+2)(2n+1)}=\frac{1}{4}. \nonumber \]
Depuis\( ρ<1\), la série converge.
Utilisez le test du ratio pour déterminer si la série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^3}{3^n}\) converge ou diverge.
- Allusion
-
Évaluer\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{(n+1)^3}{3^{n+1}}⋅\frac{3^n}{n^3}.\)
- Réponse
-
La série converge.
Test de racine
L'approche du test racine est similaire à celle du test du ratio. Considérez une série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) telle que\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}=ρ\) pour un nombre réel\( ρ\). Ensuite, pour\( N\) suffisamment grand, nous pouvons\( ∣a_N∣≈ρN.\) donc approximer\(\displaystyle \sum_{n=N}^∞|a_n|\) en écrivant
\[∣a_N∣+∣a_{N+1}∣+∣a_{N+2}∣+⋯≈ρ^N+ρ^{N+1}+ρ^{N+2}+⋯. \nonumber \]
L'expression sur le côté droit est une série géométrique. Comme dans le test du ratio, la série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge absolument si\( 0≤ρ<1\) et la série diverge si\( ρ≥1\). Si\( ρ=1\), le test ne fournit aucune information. Par exemple, pour toute série p\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^p}\), nous voyons que
\[ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{∣\frac{1}{n^p}∣}=\lim_{n→∞}\frac{1}{n^{p/n}} \nonumber \].
Pour évaluer cette limite, nous utilisons la fonction logarithmique naturelle. Ce faisant, nous constatons que
\( \ln ρ=\ln(\lim_{n→∞}\frac{1}{n^{p/n}})=\lim_{n→∞}\ln(\frac{1}{n})^{p/n}=\lim_{n→∞}\frac{p}{n}⋅\ln(\frac{1}{n})=\lim_{n→∞}\frac{p\ln(1/n)}{n}.\)
Selon la règle de L'Hôpital, cela s'ensuit\( \ln ρ=0\), et donc\( ρ=1\) pour tous\( p\). Cependant, nous savons que la série p ne converge que si\( p>1\) et diverge si\( p<1\).
Considérez la série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\). Laissez
\[ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|} \nonumber \].
- Il\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge\( 0≤ρ<1,\) alors absolument.
- Si\( ρ>1\) ou\( ρ=∞\), alors\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) diverge.
- Si\( ρ=1\), le test ne fournit aucune information.
Le test racine est utile pour les séries dont les termes impliquent des exponentielles. En particulier, pour une série dont les termes sont\( a_n\) satisfaisants\( |a_n|=(b_n)^n\), il suffit alors\( \sqrt[n]{|a_n|}=b_n\) et nous n'avons qu'à évaluer\(\displaystyle \lim_{n→∞}b_n\).
Pour chacune des séries suivantes, utilisez le test de racine pour déterminer si la série converge ou diverge.
- \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(n^2+3n)^n}{(4n^2+5)^n}\)
- \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^n}{(\ln(n))^n}\)
Solution
a. Pour appliquer le test de base, nous calculons
\[ ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{(n^2+3n)^n/(4n^2+5)^n}=\lim_{n→∞}\frac{n^2+3n}{4n^2+5}=\frac{1}{4}. \nonumber \]
Puisque\( ρ<1,\) la série converge absolument.
b. Nous avons
\[ ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{n^n/(\ln n)^n}=\lim_{n→∞}\frac{n}{\ln n}=∞\quad \text{by L’Hôpital’s rule.} \nonumber \]
Depuis\( ρ=∞\), la série diverge.
Utilisez le test racine pour déterminer si la série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}1/n^n\) converge ou diverge.
- Allusion
-
Évaluer\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sqrt[n]{\frac{1}{n^n}}\).
- Réponse
-
La série converge.
Choix d'un test de convergence
À ce stade, nous avons une longue liste de tests de convergence. Cependant, tous les tests ne peuvent pas être utilisés pour toutes les séries. Lorsque l'on donne une série, il faut déterminer quel test est le meilleur à utiliser. Voici une stratégie pour trouver le meilleur test à appliquer.
Considérez une série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n.\) Dans les étapes ci-dessous, nous décrivons une stratégie pour déterminer si la série converge.
- Est-ce\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) une série familière ? Par exemple, s'agit-il de la série harmonique (qui diverge) ou de la série harmonique alternative (qui converge) ? S'agit-il d'une série P ou d'une série géométrique ? Si tel est le cas, vérifiez la puissance\( p\) ou le ratio\( r\) pour déterminer si la série converge.
- S'agit-il d'une série alternée ? Sommes-nous intéressés par la convergence absolue ou simplement par la convergence ? Si nous voulons simplement savoir si la série converge, appliquez le test des séries alternées. Si nous sommes intéressés par la convergence absolue, passez à l'étape suivante\( 3\) en tenant compte de la série de valeurs absolues\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|.\)
- La série est-elle similaire à une série p ou à une série géométrique ? Si c'est le cas, essayez le test de comparaison ou le test de comparaison de limites.
- Les termes de la série contiennent-ils une factorielle ou une puissance ? Si les termes sont des pouvoirs tels que,\( a_n=(b_n)^n,\) essayez d'abord le root test. Sinon, essayez d'abord le test du ratio.
- Utilisez le test de divergence. Si ce test ne fournit aucune information, essayez le test intégral.
Visitez ce site Web pour plus d'informations sur les séries de tests de convergence, ainsi que des informations générales sur les séquences et les séries.
Pour chacune des séries suivantes, déterminez quel test de convergence est le meilleur à utiliser et expliquez pourquoi. Déterminez ensuite si la série converge ou diverge. S'il s'agit d'une série alternative, déterminez si elle converge de manière absolue, converge de manière conditionnelle ou diverge.
- \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^2+2n}{n^3+3n^2+1}\)
- \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{(−1)^{n+1}(3n+1)}{n!}\)
- \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{e^n}{n^3}\)
- \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{3^n}{(n+1)^n}\)
Solution
a. Étape 1. La série n'est ni une série p ni une série géométrique.
Étape 2. La série n'est pas alternée.
Étape 3. Pour les grandes valeurs de\( n\), nous approximons la série par l'expression
\( \frac{n^2+2n}{n^3+3n^2+1}≈\frac{n^2}{n^3}=\frac{1}{n}.\)
Il semble donc raisonnable d'appliquer le test de comparaison ou le test de comparaison limite en utilisant la série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞1/n\). En utilisant le test de comparaison des limites, nous voyons que
\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{(n^2+2n)/(n^3+3n^2+1)}{1/n}=\lim_{n→∞}\frac{n^3+2n^2}{n^3+3n^2+1}=1.\)
Depuis la série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞1/n\)
diverge, cette série diverge aussi.
b. Étape 1. La série n'est pas une série familière.
Étape 2. La série est alternée. Puisque nous nous intéressons à la convergence absolue, considérez la série
\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{3n}{(n+1)!}.\)
Étape 3. La série n'est pas similaire à une série p ou à une série géométrique.
Étape 4. Comme chaque terme contient une factorielle, appliquez le test du ratio. Nous voyons que
\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{(3(n+1))/(n+1)!}{(3n+1)/n!}=\lim_{n→∞}\frac{3n+3}{(n+1)!}⋅\frac{n!}{3n+1}=\lim_{n→∞}\frac{3n+3}{(n+1)(3n+1)}=0.\)
Par conséquent, cette série converge, et nous concluons que la série d'origine converge absolument, et donc converge.
c. Étape 1. La série n'est pas une série familière.
Étape 2. Il ne s'agit pas d'une série alternée.
Étape 3. Il n'existe pas de série évidente avec laquelle comparer cette série.
Étape 4. Il n'y a pas de factoriel. Il y a un pouvoir, mais ce n'est pas une situation idéale pour le test root.
Étape 5. Pour appliquer le test de divergence, nous calculons que
\(\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{e^n}{n^3}=∞.\)
Par conséquent, selon le test de divergence, la série diverge.
d. Étape 1. Cette série n'est pas une série familière.
Étape 2. Il ne s'agit pas d'une série alternée.
Étape 3. Il n'existe pas de série évidente avec laquelle comparer cette série.
Étape 4. Comme chaque terme est une puissance de n, nous pouvons appliquer le test racine. Depuis
\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sqrt[n]{(\frac{3}{n+1})^n}=\lim_{n→∞}\frac{3}{n+1}=0,\)
par le test des racines, nous concluons que la série converge.
Pour la série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{2^n}{3^n+n}\), déterminez quel test de convergence est le meilleur à utiliser et expliquez pourquoi.
- Allusion
-
La série est similaire à la série géométrique\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\frac{2}{3}\right)^n\).
- Réponse
-
Le test de comparaison car\( \dfrac{2^n}{3^n+n}<\dfrac{2^n}{3^n}\) pour tous les entiers positifs\( n\). Le test de comparaison des limites pourrait également être utilisé.
Dans le tableau, nous résumons les tests de convergence et les circonstances dans lesquelles chacun peut être appliqué. Notez que si le test de comparaison, le test de comparaison de limites et le test intégral exigent que la série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) comporte des termes non négatifs, s'il contient des termes négatifs, ces tests peuvent être appliqués\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞|a_n|\) pour tester la convergence absolue.
| Série ou test | Conclusions | Commentaires |
|---|---|---|
|
Test de divergence Pour n'importe quelle série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\), évaluez\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n\). |
Si\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0\), le test n'est pas concluant. | Ce test ne permet pas de prouver la convergence d'une série. |
| Si\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n≠0\), la série diverge. | ||
|
Série géométrique \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}ar^{n−1}\) |
Si\( |r|<1\), la série converge vers\( a/(1−r)\). | Toute série géométrique peut être réindexée pour être écrite sous la forme\( a+ar+ar^2+⋯\), où\( a\) est le terme initial et r est le ratio. |
| Si\( |r|≥1,\) la série diverge. | ||
|
Série P \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^p}\) |
Si\( p>1\), la série converge. | Pour\( p=1\), nous avons la série harmonique\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}1/n\). |
| Si\( p≤1\), la série diverge. | ||
|
Test de comparaison Pour\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n \) les termes non négatifs, comparez-les à une série connue\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\). |
Si\( a_n≤b_n\) pour tous\( n≥N\) et\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) converge, alors\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge. | Généralement utilisé pour une série similaire à une série géométrique ou à une\( p\) série. Il peut parfois être difficile de trouver une série appropriée. |
| Si\( a_n≥b_n\) pour tous\( n≥N\) et\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) diverge, alors\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) diverge. | ||
|
Test de comparaison des limites Pour\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) les termes positifs, comparez avec une série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) en évaluant \( L=\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}.\) |
C'\( L\)est un nombre réel et\( L≠0\), alors\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) et\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) les deux convergent ou les deux divergent. | Généralement utilisé pour une série similaire à une série géométrique ou à une\( p\) série. Souvent plus facile à appliquer que le test de comparaison. |
| Si\( L=0\) et\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) converge, alors\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge. | ||
| Si\( L=∞\) et\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n\) diverge, alors\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) diverge. | ||
|
Test intégral S'il existe une fonction positive, continue et décroissante\( f\) telle que\( a_n=f(n)\) pour tous\( n≥N\), évaluez\( \displaystyle ∫^∞_Nf(x)dx.\) |
\( ∫^∞_Nf(x)dx\)et\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) les deux convergent ou divergent. | Limité aux séries pour lesquelles la fonction f correspondante peut être facilement intégrée. |
|
Série alternée \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}b_n\)ou\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}(−1)^nb_n\) |
Si\( b_{n+1}≤b_n\) pour tous\( n≥1\) et\( b_n→0\), alors la série converge. | S'applique uniquement aux séries alternées. |
|
Test de ratio Pour toute série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) dont les termes ne sont pas nuls, soit\(\displaystyle ρ=\lim_{n→∞}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) |
Si\( 0≤ρ<1\), la série converge absolument. | Souvent utilisé pour les séries impliquant des factorielles ou des exponentielles. |
| Si\( ρ>1\) oui\( ρ=∞\), la série diverge. | ||
| Si\( ρ=1\), le test n'est pas concluant. | ||
|
Test de racine Pour toutes les séries\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\), laissez\( \displaystyle ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}\). |
Si\( 0≤ρ<1\), la série converge absolument. | Souvent utilisé pour les séries où\( |a_n|=(b_n)^n\). |
| Si\( ρ>1\) oui\( ρ=∞\), la série diverge. | ||
| Si\( ρ=1\), le test n'est pas concluant. |
Il existe des dizaines de séries qui convergent vers\( π\) or an algebraic expression containing \( π\). Here we look at several examples and compare their rates of convergence. By rate of convergence, we mean the number of terms necessary for a partial sum to be within a certain amount of the actual value. The series representations of \( π\) in the first two examples can be explained using Maclaurin series, which are discussed in the next chapter. The third example relies on material beyond the scope of this text.
1. La série
\[π=4\sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n+1}}{2n−1}=4−\frac{4}{3}+\frac{4}{5}−\frac{4}{7}+\frac{4}{9}−⋯ \nonumber \]
a été découvert par Gregory et Leibniz à la fin\( 1600s\). This result follows from the Maclaurin series for \( f(x)=\tan^{−1}x\). We will discuss this series in the next chapter.
a. Prouvez que cette série converge.
b. Évaluer les sommes partielles\( S_n\) for \( n=10,20,50,100.\)
c. Utilisez l'estimation du reste pour les séries alternées afin d'obtenir une limite de l'erreur\( R_n\).
d. Quelle est la plus petite valeur de\( N\) that guarantees \( |R_N|<0.01\)? Evaluate \( S_N\).
2. La série
\[π=6\sum^∞_{n=0}\frac{(2n)!}{2^{4n+1}(n!)^2(2n+1)}=6\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2⋅3}\left(\frac{1}{2}\right)^3+\frac{1⋅3}{2⋅4⋅5}⋅\left(\frac{1}{2}\right)^5+\frac{1⋅3⋅5}{2⋅4⋅6⋅7}\left(\frac{1}{2}\right)^7+⋯\right) \nonumber \]
a été attribué à Newton à la fin\( 1600s\). The proof of this result uses the Maclaurin series for \( f(x)=\sin^{−1}x\).
a. Prouvez que la série converge.
b. Évaluer les sommes partielles\( S_n\) for \( n=5,10,20.\)
c. Comparer\(S_n\) à\( π\) for \( n=5,10,20\) and discuss the number of correct decimal places.
3. La série
\[\frac{1}{π}=\frac{\sqrt{8}}{9801}\sum_{n=0}^∞\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4396^{4n}} \nonumber \]
a été découvert par Ramanujan au début\( 1900s\). William Gosper, Jr., used this series to calculate \( π\) to an accuracy of more than \( 17\) million digits in the \( mid-1980s\). At the time, that was a world record. Since that time, this series and others by Ramanujan have led mathematicians to find many other series representations for \( π\) and \( 1/π\).
a. Prouvez que cette série converge.
b. Évaluez le premier terme de cette série. Comparez ce nombre à la valeur de\( π\) from a calculating utility. To how many decimal places do these two numbers agree? What if we add the first two terms in the series?
c. Enquêter sur la vie de Srinivasa Ramanujan\( (1887–1920)\) and write a brief summary. Ramanujan is one of the most fascinating stories in the history of mathematics. He was basically self-taught, with no formal training in mathematics, yet he contributed in highly original ways to many advanced areas of mathematics.
Concepts clés
- Pour le test du ratio, nous considérons\[ρ=\lim_{n→∞}∣\frac{a_{n+1}}{a_n}∣. \nonumber \] If\( ρ<1\), la série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge absolument. Si\( ρ>1\), la série diverge. Si\( ρ=1\), le test ne fournit aucune information. Ce test est utile pour les séries dont les termes impliquent des factoriels.
- Pour le test root, nous considérons\[ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}. \nonumber \] If\( ρ<1\), la série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge absolument. Si\( ρ>1\), la série diverge. Si\( ρ=1\), le test ne fournit aucune information. Le test racine est utile pour les séries dont les termes impliquent des puissances.
- Pour une série similaire à une série géométrique ou à une série p, considérez l'un des tests de comparaison.
Lexique
- test de ratio
- pour une série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) dont les termes ne sont pas nuls\( 0≤ρ<1\), soit\( \displaystyle ρ=\lim_{n→∞}|a_{n+1}/a_n|\) ; si, la série converge absolument ; si\( ρ>1\), la série diverge ; si\( ρ=1\), le test n'est pas concluant
- test de racine
- pour une série,\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n,\) laissez\( \displaystyle ρ=\lim_{n→∞}\sqrt[n]{|a_n|}\) ; si\( 0≤ρ<1\), la série converge absolument ; si\( ρ>1\), la série diverge ; si\( ρ=1\), le test n'est pas concluant