9.3E : Exercices pour la section 9.3

Problèmes de test de divergence

Examinez la séquence de chaque série dans les exercices 1 à 14, si le test de divergence s'applique, soit en indiquant qu'il\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n\) n'existe pas, soit en trouvant\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n\). Si le test de divergence ne s'applique pas, expliquez pourquoi.

1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞ \dfrac{n}{n+2}\)

2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{n}{5n^2−3}\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0\). Le test de divergence ne s'applique pas.

3)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{n}{\sqrt{3n^2+2n+1}}\)

4)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n+1)(n−1)}{(n+1)^2}\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=2\). La série diverge donc selon le\(n^{\text{th}}\) -Term Test for Divergence.

5)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n+1)^{2n}}{(3n^2+1)^n}\)

6)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{2^n}{3^{n/2}}\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=∞\)(n'existe pas). La série diverge donc selon le\(n^{\text{th}}\) -Term Test for Divergence.

7)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{2^n+3^n}{10^{n/2}}\)

8)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞e^{−2/n}\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=1.\)La série diverge donc selon le\(n^{\text{th}}\) -Term Test for Divergence.

9)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\cos n\)

10)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\tan n\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n\)n'existe pas. La série diverge donc selon le\(n^{\text{th}}\) -Term Test for Divergence.

11)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{1−\cos^2(1/n)}{\sin^2(2/n)}\)

(12)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left(1−\dfrac{1}{n}\right)^{2n}\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=1/e^2.\)La série diverge donc selon le\(n^{\text{th}}\) -Term Test for Divergence.

13)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{\ln n}{n}\)

(14)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{(\ln n)^2}{\sqrt{n}}\)

Réponse

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0.\)Le test de divergence ne s'applique pas.

\(p\)-Problèmes de série et problèmes de test intégrés

Dans les exercices 15 à 20, indiquez si la\( p\) série donnée converge.

15)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt{n}}\)

16)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n\sqrt{n}}\)

Réponse

La série converge, depuis\( p=3/2>1\).

17)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}\)

18)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt[3]{n^4}}\)

Réponse

La série converge, puisque\( p=4/3>1.\)

19)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n^e}{n^π}\)

(20)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n^π}{n^{2e}}\)

Réponse

La série converge, puisque\( p=2e−π>1.\)

Dans les exercices 21 à 27, utilisez le test intégral pour déterminer si les sommes suivantes convergent.

(21)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt{n+5}}\)

22)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt[3]{n+5}}\)

Réponse

La série diverge par le test intégral puisqu'il\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{(x+5)^{1/3}}\) peut être démontré qu'elle diverge.

23)\(\displaystyle \sum_{n=2}^∞\frac{1}{n\ln n}\)

(24)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n}{1+n^2}\)

Réponse

La série diverge par le test intégral puisqu'il\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{x}{1+x^2}\,dx\) peut être démontré qu'elle diverge.

25)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{e^n}{1+e^{2n}}\)

26)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2n}{1+n^4}\)

Réponse

La série converge par le test intégral puisque\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{2x}{1+x^4}\,dx\) converge.

(27)\(\displaystyle \sum_{n=2}^∞\frac{1}{n\ln^2n}\)

Exprimez les sommes des exercices 28 à 31 sous forme de\( p\) séries et déterminez si chacune d'elles converge.

28)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞2^{−\ln n}\)\(\quad\Big(\) Astuce :\( 2^{−\ln n}=\dfrac{1}{n^{\ln 2}}.\Big)\)

Réponse

\( 2^{−\ln n}=1/n^{\ln 2}.\)Depuis\(p=\ln 2<1\), cette série diverge selon le test de la\( p\) série.

29)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞3^{−\ln n}\)\(\quad\Big(\) Astuce :\( 3^{−\ln n}=\dfrac{1}{n^{\ln 3}}.\Big)\)

(30)\(\displaystyle \sum_{n=1}^n2^{−2\ln n}\)

Réponse

\( 2^{−2\ln n}=1/n^{2\ln 2}.\)Depuis\(p = 2\ln 2−1<1\), cette série diverge selon le test de la\( p\) série.

31)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞n3^{−2\ln n}\)

Dans les exercices 32 à 35, utilisez l'estimation\(\displaystyle R_N≤∫^∞_Nf(t)\,dt\) pour trouver une borne pour le reste\(\displaystyle R_N=\sum_{n=1}^∞a_n−\sum_{n=1}^Na_n\) où\( a_n=f(n).\)

32)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{1000}\frac{1}{n^2}\)

Réponse

\(\displaystyle R_{1000}≤∫^∞_{1000}\frac{dt}{t^2}=\lim_{b\to ∞}−\frac{1}{t}\bigg|^b_{1000}=\lim_{b\to ∞}\left(−\frac{1}{b}+\frac{1}{1000}\right)=0.001\)

33)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{1000}\frac{1}{n^3}\)

34)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{1000}\frac{1}{1+n^2}\)

Réponse

\(\displaystyle R_{1000}≤∫^∞_{1000}\frac{dt}{1+t^2}=\lim_{b\to ∞} \left(\tan^{−1}b−\tan^{−1}(1000)\right)=π/2−\tan^{−1}(1000)≈0.000999\)

35)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{100}\frac{n}{2^n}\)

[T] Dans les exercices 36 à 40, déterminez la valeur minimale de\( N\) telle sorte que l'estimation restante\(\displaystyle ∫^∞_{N+1}f(x)\,dx<R_N<∫^∞_N f(x)\,dx\) garantisse des\(\displaystyle \sum_{n=1}^Na_n\) estimations\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n,\) précises dans les limites de l'erreur donnée.

36)\( a_n=\dfrac{1}{n^2},\) erreur\( <10^{−4}\)

Réponse

\(\displaystyle R_N<∫^∞_N\frac{dx}{x^2}=1/N,\;\text{for}\;N>10^4\)

37)\( a_n=\dfrac{1}{n^{1.1}},\) erreur\( <10^{−4}\)

38)\( a_n=\dfrac{1}{n^{1.01}},\) erreur\( <10^{−4}\)

Réponse

\(\displaystyle R_N<∫^∞_N\frac{dx}{x^{1.01}}=100N^{−0.01},\;\text{for}\;N>10^{600}\)

39)\( a_n=\dfrac{1}{n\ln^2n},\) erreur\( <10^{−3}\)

40)\( a_n=\dfrac{1}{1+n^2},\) erreur\( <10^{−3}\)

Réponse

\(\displaystyle R_N<∫^∞_N\frac{dx}{1+x^2}=π/2−\tan^{−1}(N),\;\text{for}\;N>\tan(π/2−10^{−3})≈1000\)

Dans les exercices 41 à 45, trouvez une valeur inférieure à l'erreur souhaitée.\( N\)\( R_N\) Calculez la somme correspondante\(\displaystyle \sum_{n=1}^Na_n\) et comparez-la à l'estimation donnée de la série infinie.

41)\( a_n=\dfrac{1}{n^{11}},\) erreur\( \displaystyle <10^{−4}, \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^{11}}=1.000494…\)

42)\( a_n=\dfrac{1}{e^n},\) erreur\(\displaystyle <10^{−5}, \sum_{n=1}^∞\frac{1}{e^n}=\frac{1}{e−1}=0.581976…\)

Réponse

\(\displaystyle R_N<∫^∞_N\frac{dx}{e^x}=e^{−N},\;\text{for}\;N>5\ln(10),\)OK si l'\(\displaystyle N=12;\sum_{n=1}^{12}e^{−n}=0.581973....\)estimation est conforme\( 1/(e−1)\) à cinq décimales.

43)\( a_n=\dfrac{1}{e^{n^2}},\) erreur\(\displaystyle <10^{−5}, \sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{e^{n^2}}=0.40488139857…\)

44)\( a_n=\dfrac{1}{n^4},\) erreur\(\displaystyle <10^{−4}, \sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^4}=\frac{π^4}{90}=1.08232...\)

Réponse

\(\displaystyle R_N<∫^∞_N\dfrac{dx}{x^4}=4/N^3,\;\text{for}\;N>(4.10^4)^{1/3},\)OK si\( N=35\) ; L'\(\displaystyle \sum_{n=1}^{35}\dfrac{1}{n^4}=1.08231….\)estimation correspond à la somme à quatre décimales.

45)\( a_n=\dfrac{1}{n^6}\), erreur\(\displaystyle <10^{−6}, \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^6}=\frac{π^6}{945}=1.01734306...,\)

46) Trouvez la limite à partir\( n→∞\) de\( \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+⋯+\dfrac{1}{2n}\). \(\quad\Big(\)Conseil : comparez à\(\displaystyle ∫^{2n}_n\frac{1}{t}\,dt.\Big)\)

Réponse

\( \ln(2)\)

47) Trouvez la limite à partir\( n→∞\) de\( \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+⋯+\dfrac{1}{3n}\)

Les quelques exercices suivants visent à donner une idée des applications dans lesquelles apparaissent des sommes partielles des séries harmoniques.

48) Dans certaines applications de probabilité, telles que l'estimateur de Watterson pour prédire les taux de mutation en génétique des populations, il est important de disposer d'une estimation précise du nombre\( H_k=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+⋯+\frac{1}{k})\). Souvenez-vous\( T_k=H_k−\ln k\) que cela diminue. Calculez\(\displaystyle T=\lim_{k→∞}T_k\) à quatre décimales.

\(\quad\Big(\)Astuce :\(\displaystyle \frac{1}{k+1}<∫^{k+1}_k\frac{1}{x}\,dx.\Big)\)

Réponse

\( T=0.5772...\)

49) [T] L'échantillonnage complet avec remplacement, parfois appelé problème du collecteur de coupons, est formulé comme suit : Supposons que vous ayez des articles\( N\) uniques dans un compartiment. À chaque étape, un article est choisi au hasard, identifié et remis à la poubelle. Le problème consiste à savoir quel est le nombre d'étapes\( E(N)\) attendues pour dessiner chaque élément unique au moins une fois. Il s'avère que\( E(N)=N.H_N=N\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+⋯+\frac{1}{N}\right)\). Recherchez\( E(N)\) pour\( N=10,20,\) et\( 50\).

50) [T] Le moyen le plus simple de mélanger les cartes est de prendre la carte du haut et de l'insérer à un endroit aléatoire du jeu, ce que l'on appelle l'insertion aléatoire supérieure, puis de répéter. Nous considérerons qu'un deck est mélangé aléatoirement une fois que suffisamment d'insertions aléatoires en haut ont été effectuées pour que la carte initialement en bas atteigne le haut puis soit insérée de manière aléatoire. Si le jeu contient des\( n\) cartes, la probabilité que l'insertion se fasse en dessous de la carte initialement en bas (appelez cette carte\( B\)) est de\( 1/n\). Ainsi, le nombre attendu d'insertions aléatoires supérieures avant de ne plus\( B\) se situer en bas est de\( n\). Une fois qu'une carte est en dessous\( B\), il y a deux places en dessous\( B\) et la probabilité qu'une carte insérée au hasard tombe en dessous\( B\) est de\( 2/n\). Le nombre attendu d'insertions aléatoires les plus fréquentes avant que cela ne se produise est de\( n/2\). Les deux cartes ci-dessous\( B\) sont désormais dans un ordre aléatoire. En continuant ainsi, trouvez une formule pour le nombre attendu d'insertions aléatoires les plus importantes nécessaires pour considérer que le deck a été mélangé de manière aléatoire.

Réponse

Le nombre attendu d'insertions aléatoires pour\( B\) atteindre le sommet est\( n+n/2+n/3+⋯+n/(n−1).\) Ensuite, une insertion supplémentaire\( B\) revient au hasard. Ainsi, le nombre attendu de shuffles pour randomiser le deck est\( n(1+1/2+⋯+1/n).\)

51) Supposons qu'un scooter puisse parcourir des\( 100\) kilomètres avec un réservoir plein de carburant. En supposant que le carburant peut être transféré d'un scooter à un autre mais ne peut être transporté que dans le réservoir, présentez une procédure qui permettra à l'un des scooters de parcourir des\( 100H_N\) kilomètres, où\( H_N=1+1/2+⋯+1/N.\)

52) Démontrer que pour que l'estimation restante s'applique, il suffit\( [N,∞)\) qu'elle\( f(x)\) soit décroissante au fur et à mesure\( [N,∞)\), mais qu'il n'est pas\( f\) nécessaire de la diminuer\( [1,∞).\)

Réponse

Réglé\( b_n=a_{n+N}\) et\( g(t)=f(t+N)\) tel que défini\( f\) de manière décroissante\( [t,∞).\)

53) [T] Utilisez l'estimation du reste et l'intégration par parties pour obtenir une\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n}{e^n}\) approximation avec une erreur inférieure à\( 0.0001.\)

54) Est-ce que\(\displaystyle \sum_{n=2}^∞\frac{1}{n(\ln n)^p}\) converge si\( p\) c'est assez grand ? Si c'est le cas, pour lequel\( p\) ?

Réponse

La série converge\( p>1\) par test intégral en utilisant le changement de variable.

55) [T] Supposons qu'un ordinateur puisse additionner un million de termes par seconde de séries divergentes\(\displaystyle \sum_{n=1}^N\frac{1}{n}\). Utilisez le test intégral pour obtenir une estimation du nombre de secondes qu'il faudra pour additionner suffisamment de termes pour que la somme partielle soit dépassée\( 100\).

56) [T] Un ordinateur rapide peut additionner un million de termes par seconde de séries divergentes\(\displaystyle \sum_{n=2}^N\frac{1}{n\ln n}\). Utilisez le test intégral pour estimer le nombre de secondes qu'il faudra pour additionner suffisamment de termes pour que la somme partielle dépasse\( 100.\)

Réponse

\( N=e^{e^{100}}≈e^{10^{43}}\)des termes sont nécessaires.