9.3 : La divergence et les tests intégraux

Objectifs d'apprentissage

• Utilisez le test de divergence pour déterminer si une série converge ou diverge.
• Utilisez le test intégral pour déterminer la convergence d'une série.
• Estimez la valeur d'une série en déterminant les limites de sa durée restante.

Dans la section précédente, nous avons déterminé la convergence ou la divergence de plusieurs séries en calculant explicitement la limite de la séquence de sommes partielles.\( {S_k}.\) Dans la pratique, le calcul explicite de cette limite peut s'avérer difficile, voire impossible. Heureusement, il existe plusieurs tests qui nous permettent de déterminer la convergence ou la divergence pour de nombreux types de séries. Dans cette section, nous abordons deux de ces tests : le test de divergence et le test intégral. Nous examinerons plusieurs autres tests dans la suite de ce chapitre, puis nous résumerons comment et quand les utiliser.

Test de divergence

Pour qu'une série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge, le\( n^{th}\) terme\( a_n\) doit correspondre\( a_n→0\) à\( n→∞.\) Donc, à partir des propriétés limites algébriques des séquences,

\[\begin{align*} \lim_{k→∞}a_k = \lim_{k→∞}(S_k−S_{k−1}) \\[4pt] =\lim_{k→∞}S_k−\lim_{k→∞}S_{k−1} \\[4pt] =S−S=0. \end{align*}\]

Par conséquent, s'il\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge, le\( n^{th}\) terme «\( n→∞.\) Une\( a_n→0\) conséquence importante de ce fait » est la déclaration suivante :

Si\( a_n↛0\) comme\(\displaystyle n→∞,\sum_{n=1}^∞a_n\) diverge.

Ce test est connu sous le nom de test de divergence car il permet de prouver qu'une série diverge.

Définition : Le test de divergence

Si elle existe\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=c≠0\) ou\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n\) n'existe pas, alors la série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) diverge.

Il est important de noter que l'inverse de ce théorème n'est pas vrai. Autrement dit\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0\), si nous ne pouvons pas tirer de conclusion quant à la convergence de\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\).

Par exemple\(\displaystyle \lim_{n→0}\tfrac{1}{n}=0\), mais la série harmonique\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n}\) diverge. Dans cette section et dans les autres sections de ce chapitre, nous montrons de nombreux autres exemples de telles séries. Par conséquent, bien que nous puissions utiliser le test de divergence pour montrer qu'une série diverge, nous ne pouvons pas l'utiliser pour prouver qu'une série converge. Plus précisément\( a_n→0\), si le test de divergence n'est pas concluant.

Exemple\( \PageIndex{1}\): Using the divergence test

Pour chacune des séries suivantes, appliquez le test de divergence. Si le test de divergence prouve que la série diverge, indiquez-le. Sinon, indiquez que le test de divergence n'est pas concluant.

1. \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n}{3n−1}\)
2. \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^3}\)
3. \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}e^{1/n^2}\)

Solution

1. Puisque\(\displaystyle \lim_{n→∞} \frac{n}{3n−1}=\frac{1}{3}≠0\), par le test de divergence, nous pouvons conclure que cela\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{n}{3n−1}\) diverge.
2. Depuis\(\displaystyle \lim_{n→∞} \frac{1}{n^3}=0\), le test de divergence n'est pas concluant.
3. Puisque\(\displaystyle \lim_{n→∞} e^{1/n^2}=1≠0\), par le test de divergence, la série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞e^{1/n^2}\) diverge.

Exercice\( \PageIndex{1}\)

Que nous apprend le test de divergence sur la série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\cos(1/n^2)\) ?

Allusion

Regarde\(\displaystyle \lim_{n→∞}\cos(1/n^2)\).

Réponse

La série diverge.

Test intégral

Dans la section précédente, nous avons prouvé que la série harmonique diverge en examinant la séquence des sommes partielles\( {S_k}\) et en montrant cela\( S_{2^k}>1+k/2\) pour tous les entiers positifs\( k\). Dans cette section, nous utilisons une technique différente pour prouver la divergence des séries harmoniques. Cette technique est importante car elle est utilisée pour prouver la divergence ou la convergence de nombreuses autres séries. Ce test, appelé test intégral, compare une somme infinie à une intégrale incorrecte. Il est important de noter que ce test ne peut être appliqué que lorsque l'on considère une série dont les termes sont tous positifs.

Figure\(\PageIndex{1}\) : La somme des aires des rectangles est supérieure à l'aire comprise entre la courbe\( f(x)=1/x\) et l'\( x\)axe de\( x≥1\). Comme l'aire délimitée par la courbe est infinie (calculée par une intégrale incorrecte), la somme des aires des rectangles est également infinie.

Pour illustrer le fonctionnement du test intégral, utilisez la série harmonique à titre d'exemple. Dans la figure\(\PageIndex{1}\), nous décrivons la série harmonique en esquissant une séquence de rectangles avec des zones\( 1,1/2,1/3,1/4,…\) ainsi que la fonction.\( f(x)=1/x.\) À partir du graphique, nous voyons que

\[\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+⋯+\dfrac{1}{k}>∫^{k+1}_1\dfrac{1}{x}\,dx. \nonumber \]

Par conséquent, pour chacun\( k\), la somme\( k^{\text{th}}\) partielle\( S_k\) satisfait

\[\begin{align*} S_k =\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n} >∫^{k+1}_1\dfrac{1}{x}\,dx = \ln x \big| ^{k+1}_1 \\[4pt] = \ln (k+1)−\ln (1) \\[4pt] =\ln (k+1).\end{align*}\]

Puisque\(\displaystyle \lim_{k→∞}\ln(k+1)=∞,\) nous voyons que la séquence des sommes partielles\( {S_k}\) est illimitée. Par conséquent,\( {S_k}\) diverge et, par conséquent, la série diverge\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n}\) également.

Figure\(\PageIndex{2}\) : La somme des aires des rectangles est inférieure à la somme de l'aire du premier rectangle et de l'aire comprise entre la courbe\( f(x)=1/x^2\) et l'\( x\)axe de\( x≥1\). Comme l'aire délimitée par la courbe est finie, la somme des aires des rectangles est également finie.

Maintenant, considérez la série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}\). Nous montrons comment une intégrale peut être utilisée pour prouver que cette série converge. Dans la figure\(\PageIndex{2}\), nous esquissons une séquence de rectangles avec des zones\( 1,1/2^2,1/3^2,…\) ainsi que la fonction\( f(x)=\frac{1}{x^2}\). Sur le graphique, nous voyons que

\[\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^2}=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+⋯+\dfrac{1}{k^2}<1+∫^k_1\dfrac{1}{x^2}\,dx. \nonumber \]

Par conséquent, pour chacun\( k\), la somme\( k^{\text{th}}\) partielle\( S_k\) satisfait

\[\begin{align*} S_k=\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^2}<1+∫^k_1\dfrac{1}{x^2}\,dx =1−\left. \dfrac{1}{x} \right|^k_1 \\[4pt] =1−\dfrac{1}{k}+1 \\[4pt] =2−\dfrac{1}{k}<2. \end{align*}\]

Nous concluons que la séquence des sommes partielles\( {S_k}\) est bornée. Nous voyons également qu'il\( {S_k}\) s'agit d'une séquence croissante :

\[S_k=S_{k−1}+\dfrac{1}{k^2} \nonumber \]

pour\( k≥2\).

Comme\( {S_k}\) il augmente et est limité, par le théorème de convergence monotone, il converge. Par conséquent, la série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}\) converge.

Figure\(\PageIndex{3}\) : (a) Si nous pouvons inscrire des rectangles à l'intérieur d'une région délimitée par une courbe\( y=f(x)\) et l'\( x\)axe -, et que l'aire délimitée par ces courbes\( x≥1\) est finie, alors la somme des aires des rectangles est également finie. (b) Si un ensemble de rectangles délimite la région délimitée par\( y=f(x)\) et par l'\( x\)axe de celle-ci\( x≥1\) et que la région a une surface infinie, alors la somme des aires des rectangles est également infinie.

Nous pouvons étendre cette idée pour prouver la convergence ou la divergence pour de nombreuses séries différentes. Supposons qu'il\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) s'agisse d'une série avec des termes positifs\( a_n\) tels qu'il existe une fonction continue, positive et décroissante\( f\) où\( f(n)=a_n\) pour tous les entiers positifs. Ensuite, comme dans la figure\(\PageIndex{3a}\), pour tout entier\( k\), la somme\( k^{\text{th}}\) partielle\( S_k\) satisfait

\[S_k=a_1+a_2+a_3+⋯+a_k<a_1+∫^k_1f(x)\,dx<1+∫^∞_1f(x)\,dx. \nonumber \]

Par conséquent, si elle\(\displaystyle ∫^∞_1f(x)\,dx\) converge, la séquence de sommes partielles\( {S_k}\) est bornée. Puisque\( {S_k}\) est une séquence croissante, si c'est aussi une séquence bornée, alors selon le théorème de convergence monotone, elle converge. Nous concluons que si elle\(\displaystyle ∫^∞_1f(x)\,dx\) converge, la série converge\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) également. D'autre part, à partir de la figure\(\PageIndex{3b}\), pour tout entier\( k\), la somme\( k^{\text{th}}\) partielle\( S_k\) satisfait

\[S_k=a_1+a_2+a_3+⋯+a_k>∫^{k+1}_1f(x)\,dx. \nonumber \]

Si

\[ \lim_{k→∞}∫^{k+1}_1f(x)\,dx=∞, \nonumber \]

\( {S_k}\)est alors une séquence illimitée et diverge donc. Par conséquent, la série diverge\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) également. Puisque\( f\) c'est une fonction positive, si elle\(\displaystyle ∫^∞_1f(x)\,dx\) diverge, alors

\[ \lim_{k→∞}∫^{k+1}_1f(x)\,dx=∞. \nonumber \]

Nous concluons que si elle\(\displaystyle ∫^∞_1f(x)\,dx\) diverge, elle\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) diverge.

Définition : Le test intégral

Supposons qu'\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\)il s'agisse d'une série de termes positifs\( a_n\). Supposons qu'il existe une fonction\( f\) et un entier positif\( N\) tels que les trois conditions suivantes soient satisfaites :

1. \( f\)est continu,
2. \( f\)est décroissant, et
3. \( f(n)=a_n\)pour tous les nombres entiers\( n≥N.\)

Alors

\[\sum_{n=1}^∞a_n \nonumber \]

et

\[∫^∞_Nf(x)\,dx \nonumber \]

les deux convergent ou divergent (Figure\(\PageIndex{3}\)).

Bien que la convergence de\(\displaystyle ∫^∞_Nf(x)\,dx\) implique la convergence de la série correspondante\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\), elle n'implique pas que la valeur de l'intégrale et de la série soient identiques. Ils peuvent être différents et le sont souvent. Par exemple,

\[\sum_{n=1}^∞\left(\dfrac{1}{e}\right)^n=\dfrac{1}{e}+\left(\dfrac{1}{e}\right)^2+\left(\dfrac{1}{e}\right)^3+⋯ \nonumber \]

est une série géométrique avec un terme\( a=1/e\) et un ratio initiaux\( r=1/e,\) qui convergent vers

\[\dfrac{1/e}{1−(1/e)}=\dfrac{1/e}{(e−1)/e}=\dfrac{1}{e−1}. \nonumber \]

Cependant, l'intégrale associée\(\displaystyle ∫^∞_1(1/e)^x\,dx\) satisfait

\[∫^∞_1\left(\frac{1}{e}\right)^x\,dx=∫^∞_1e^{−x}\,dx=\lim_{b→∞}∫^b_1e^{−x}\,dx=\lim_{b→∞}−e^{−x}\big|^b_1=\lim_{b→∞}[−e^{−b}+e^{−1}]=\dfrac{1}{e}. \nonumber \]

Exemple\( \PageIndex{2}\): Using the Integral Test

Pour chacune des séries suivantes, utilisez le test intégral pour déterminer si la série converge ou diverge.

1. \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^3}\)
2. \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{\sqrt{2n−1}}\)

Solution

a. Comparez

\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^3}\)et\(\displaystyle ∫^∞_1\dfrac{1}{x^3}\,dx.\)

Nous avons

\(\displaystyle ∫^∞_1\dfrac{1}{x^3}\,dx=\lim_{b→∞}∫^b_1\dfrac{1}{x^3}\,dx=\lim_{b→∞}\left[−\dfrac{1}{2x^2}\bigg|^b_1\right]=\lim_{b→∞}\left[−\dfrac{1}{2b^2}+\dfrac{1}{2}\right]=\dfrac{1}{2}.\)

Ainsi, l'intégrale\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{1}{x^3}\,dx\) converge, et donc la série aussi.

\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^3}\).

b. Comparez

\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{\sqrt{2n−1}}\)et\(\displaystyle ∫^∞_1\dfrac{1}{\sqrt{2x−1}}\,dx\).

Depuis

\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{1}{\sqrt{2x−1}}\,dx=\lim_{b→∞}∫^b_1\frac{1}{\sqrt{2x−1}}\,dx=\lim_{b→∞}\sqrt{2x−1}\bigg|^b_1=\lim_{b→∞}\left[\sqrt{2b−1}−1\right]=∞,\)

l'intégrale\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{1}{\sqrt{2x−1}}\,dx\) diverge, et donc

\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt{2n−1}}\)

diverge.

Exercice\( \PageIndex{2}\)

Utilisez le test intégral pour déterminer si la série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{n}{3n^2+1}\) converge ou diverge.

Allusion

Comparer à l'intégrale\(\displaystyle ∫^∞_1\dfrac{x}{3x^2+1}\,dx.\)

Réponse

La série diverge.

La\(p\) série S

La série harmonique\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}1/n\) et la série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}1/n^2\) sont toutes deux des exemples d'un type de série appelé série P.

Définition :\(p\)-series

Pour tout nombre réel\( p\), la série

\[\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^p} \nonumber \]

s'appelle une série P.

Nous savons que la\(p\) série -converge si\( p=2\) et diverge si\( p=1\). Qu'en est-il des autres valeurs de\( p\) ? En général, il est difficile, voire impossible, de calculer la valeur exacte de la plupart des\( p\) séries. Cependant, nous pouvons utiliser les tests présentés jusqu'à présent pour prouver si une\( p\) série converge ou diverge.

Si\( p<0,\) alors\( 1/n^p→∞,\) et si\( p=0\),\( 1/n^p→1.\) alors, par le test de divergence,

\[\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^p} \nonumber \]

diverge si\(p≤0\).

S'il s'\( f(x)=1/x^p\)agit\( p>0,\) alors d'une fonction positive, continue et décroissante. Par conséquent, pour\( p>0,\) nous utilisons le test intégral, en comparant

\[\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^p} \nonumber \]et\[∫^∞_1\dfrac{1}{x^p}\,dx. \nonumber \]

Nous avons déjà examiné le cas où Nous examinons\( p=1.\) ici le cas où\( p>0,p≠1.\) Pour ce cas,

\[∫^∞_1\dfrac{1}{x^p}\,dx=\lim_{b→∞}∫^b_1\dfrac{1}{x^p}\,dx=\lim_{b→∞}\dfrac{1}{1−p}x^{1−p}∣^b_1=\lim_{b→∞}\dfrac{1}{1−p}[b^{1−p}−1]. \nonumber \]

Parce que

\( b^{1−p}→0\)si\( p>1\) et\( b^{1−p}→∞\) si\( p<1,\)

nous concluons que

\[∫^∞_1\dfrac{1}{x^p}\,dx=\begin{cases}\dfrac{1}{p−1}, \text{if}\;p>1\\ ∞, \text{if}\;p<1.\end{cases} \nonumber \]

Par conséquent,\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}1/n^p\) converge si\( p>1\) et diverge si\( 0<p<1.\)

En résumé,

\[\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^p}\quad \begin{cases}\text{converges} \text{if}\; p>1\\ \text{diverges} \text{if}\;p≤1\end{cases} \nonumber \].

Exemple\( \PageIndex{3}\): Testing for Convergence of p-series

Pour chacune des séries suivantes, déterminez si elle converge ou diverge.

1. \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^4}\)
2. \(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^{2/3}}\)

Solution

1. Il s'agit\(p\) d'une série avec\( p=4>1\), donc la série converge.
2. Puisque\( p=2/3<1,\) la série diverge.

Exercice\( \PageIndex{3}\)

La série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^{5/4}}\) converge-t-elle ou diverge-t-elle ?

Allusion

\( p=5/4\)

Réponse

La série converge.

Estimation de la valeur d'une série

Supposons que nous sachions qu'une série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge et que nous souhaitions estimer la somme de cette série. Nous pouvons certainement approximer cette somme en utilisant n'importe quelle somme finie\(\displaystyle \sum_{n=1}^Na_n\) où\( N\) est un entier positif. La question que nous abordons ici est la suivante : pour une série convergente\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\), quelle est la qualité de l'approximation\(\displaystyle \sum^N_{n=1}a_n\) ?

Plus précisément, si nous laissons

\[R_N=\sum_{n=1}^∞a_n−\sum_{n=1}^Na_n \nonumber \]

être le reste lorsque la somme d'une série infinie est approximée par la somme\(N^{\text{th}}\) partielle, quelle est la taille\( R_N\) ? Pour certains types de séries, nous sommes en mesure d'utiliser les idées du test intégral pour effectuer des estimations\( R_N\).

Remarque\(\PageIndex{1}\): Remainder Estimate from the Integral Test

Supposons qu'\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\)il s'agisse d'une série convergente avec des termes positifs. Supposons qu'il existe une fonction\( f\) répondant aux trois conditions suivantes :

1. \( f\)est continu,
2. \( f\)est décroissant, et
3. \( f(n)=a_n\)pour tous les nombres entiers\( n≥1.\)

\( S_N\)Soit la somme\(N^{\text{th}}\) partielle de\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\). Pour tous les entiers positifs\( N\),

\[S_N+∫^∞_{N+1}f(x)\,dx<\sum_{n=1}^∞a_n<S_N+∫^∞_Nf(x)\,dx. \nonumber \]

En d'autres termes, le reste\(\displaystyle R_N=\sum^∞_{n=1}a_n−S_N=\sum^∞_{n=N+1}a_n\) satisfait à l'estimation suivante :

\[∫^∞_{N+1}f(x)\,dx<R_N<∫^∞_Nf(x)\,dx. \nonumber \]

C'est ce que l'on appelle l'estimation du reste.

Nous illustrons Note\(\PageIndex{1}\) in Figure\(\PageIndex{4}\). En particulier, en représentant le reste\( R_N=a_{N+1}+a_{N+2}+a_{N+3}+⋯\) comme la somme des aires des rectangles, nous voyons que l'aire de ces rectangles est délimitée au-dessus\(\displaystyle ∫^∞_Nf(x)\,dx\) et en dessous par.\(\displaystyle ∫^∞_{N+1}f(x)\,dx.\) En d'autres termes,

\[R_N=a_{N+1}+a_{N+2}+a_{N+3}+⋯>∫^∞_{N+1}f(x)\,dx \nonumber \]

et

\[R_N=a_{N+1}+a_{N+2}+a_{N+3}+⋯<∫^∞_Nf(x)\,dx. \nonumber \]

Nous concluons que

\[∫^∞_{N+1}f(x)\,dx<R_N<∫^∞_Nf(x)\,dx. \nonumber \]

Depuis

\[\sum_{n=1}^∞a_n=S_N+R_N, \nonumber \]

où\( S_N\) est la somme\(N^{\text{th}}\) partielle, nous concluons que

\[S_N+∫^∞_{N+1}f(x)\,dx<\sum_{n=1}^∞a_n<S_N+∫^∞_Nf(x)\,dx. \nonumber \]

Figure\(\PageIndex{4}\) : Avec une fonction continue, positive et décroissante\( f\) et une séquence de termes positifs\( a_n\) telle que,\( a_n=f(n)\) pour tous les entiers positifs\( n\), (a) les aires\(\displaystyle a_{N+1}+a_{N+2}+a_{N+3}+⋯<∫^∞_Nf(x)\,dx\) ou (b) les aires\(\displaystyle a_{N+1}+a_{N+2}+a_{N+3}+⋯>∫^∞_{N+1}f(x)\,dx\). Par conséquent, l'intégrale est soit une surestimation soit une sous-estimation de l'erreur.

Exemple\( \PageIndex{4}\): Estimating the Value of a Series

Considérez la série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^3}\).

1. Calculez\(\displaystyle S_{10}=\sum^{10}_{n=1}\frac{1}{n^3}\) et estimez l'erreur.
2. Déterminez la valeur la\( N\) plus faible qui\( S_N\) soit estimée\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^3}\) à l'intérieur\( 0.001\).

Solution

a. À l'aide d'un utilitaire de calcul, nous avons

\[ S_{10}=1+\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{4^3}+⋯+\dfrac{1}{10^3}≈1.19753. \nonumber \]

Selon l'estimation du reste, nous savons

\[ R_N<∫^∞_N\dfrac{1}{x^3}\,dx. \nonumber \]

Nous avons

\[ ∫^∞_{10}\dfrac{1}{x^3}\,dx=\lim_{b→∞}∫^b_{10}\dfrac{1}{x^3}\,dx=\lim_{b→∞}\left[−\dfrac{1}{2x^2}\right]^b_N=\lim_{b→∞}\left[−\dfrac{1}{2b^2}+\dfrac{1}{2N^2}\right]=\dfrac{1}{2N^2}. \nonumber \]

Par conséquent, l'erreur est\( R_{10}<1/2(10)^2=0.005.\)

b. Trouvez une solution\( N\) telle que\( R_N<0.001\). Dans la partie a. nous l'avons montré\( R_N<1/2N^2\). Donc, le reste\( R_N<0.001\) aussi longtemps que\( 1/2N^2<0.001\). C'est-à-dire que nous en avons besoin\( 2N^2>1000\). Résoudre cette inégalité pour\( N\), nous voyons que nous en avons besoin\( N>22.36\). Pour nous assurer que le reste se situe dans les limites souhaitées, nous devons arrondir à l'entier supérieur le plus proche. Par conséquent, la valeur minimale nécessaire est\( N=23\).

Exercice\( \PageIndex{4}\)

Pour\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^4}\), calculez\( S_5\) et estimez l'erreur\( R_5\).

Allusion

Utilisez l'estimation du reste\(\displaystyle R_N<∫^∞_N\frac{1}{x^4}\,dx.\)

Réponse

\( S_5≈1.09035, R_5<0.00267\)

Concepts clés

• Si\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n≠0,\) alors la série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) diverge.
• Si\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0,\) la série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) peut converger ou diverger.
• Si\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) est une série avec des termes positifs\( a_n\) et\( f\) une fonction continue et décroissante telle que\( f(n)=a_n\) pour tous les entiers positifs\( n\), alors

\[\sum_{n=1}^∞a_n \nonumber \]et\[∫^∞_1f(x)\,dx \nonumber \]

soit les deux convergent, soit les deux divergent. De plus, si elle\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) converge, l'approximation de la somme\(N^{\text{th}}\) partielle\( S_N\) est précise jusqu'à une erreur\( R_N\) où\(\displaystyle ∫^∞_{N+1}f(x)\,dx<R_N<∫^∞_Nf(x)\,dx\).

• La\(p\) série -fait\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^p}\) converger if\( p>1\) et diverge if\( p≤1.\)

Équations clés

• Test de divergence

Si\( a_n↛0\) comme\(\displaystyle n→∞,\sum_{n=1}^∞a_n\) diverge.

• série P

\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^p}\quad \begin{cases}\text{converges}, \text{if}\;p>1\\\text{diverges}, \text{if}\; p≤1\end{cases}\)

• Estimation du reste à partir du test intégral

\(\displaystyle ∫^∞_{N+1}f(x)\,dx<R_N<∫^∞_Nf(x)\,dx\)

Lexique

test de divergence

si\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n≠0,\) alors la série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) diverge

test intégral

pour une série\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) comportant des termes positifs\( a_n\), s'il existe une fonction continue et décroissante\( f\) telle que\( f(n)=a_n\) pour tous les entiers positifs\( n\), alors

\[\sum_{n=1}^∞a_n \nonumber \]et\[∫^∞_1f(x)\,dx \nonumber \]

soit les deux convergent, soit les deux divergent

série P

une série du formulaire\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}1/n^p\)

estimation du reste

pour une série\(\displaystyle \sum^∞_{n=}1a_n\) comportant des termes positifs\( a_n\) et une fonction continue et décroissante\( f\) telle que\( f(n)=a_n\) pour tous les entiers positifs\( n\), le reste\(\displaystyle R_N=\sum^∞_{n=1}a_n−\sum^N_{n=1}a_n\) satisfait à l'estimation suivante :

\[∫^∞_{N+1}f(x)\,dx<R_N<∫^∞_Nf(x)\,dx \nonumber \]