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9.0 : Prélude à la séquence et à la série

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
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    Le flocon de neige de Koch est construit à partir d'un nombre infini de triangles équilatéraux qui ne se chevauchent pas. Par conséquent, nous pouvons exprimer sa superficie comme la somme d'une infinité de termes. Comment ajouter une infinité de termes ? La somme d'un nombre infini de termes peut-elle être finie ? Pour répondre à ces questions, nous devons introduire le concept d'une série infinie, une somme composée d'une infinité de termes. Après avoir défini les outils nécessaires, nous pourrons calculer la surface du flocon de neige de Koch.

    Il s'agit d'un diagramme de plusieurs itérations du flocon de neige de Koch, créé grâce à un processus interactif. Le premier cas est un triangle équilatéral. Cinq fois, le tiers médian de chaque segment de ligne est remplacé par un triangle équilatéral pointant vers l'extérieur.
    Figure\(\PageIndex{1}\) : Le flocon de neige de Koch est construit à l'aide d'un processus itératif. En commençant par un triangle équilatéral, à chaque étape du processus, le tiers médian de chaque segment de ligne est retiré et remplacé par un triangle équilatéral pointant vers l'extérieur.

    Le sujet des séries infinies peut sembler sans rapport avec le calcul différentiel et intégral. En fait, une série infinie dont les termes impliquent les puissances d'une variable est un outil puissant que nous pouvons utiliser pour exprimer des fonctions sous forme de « polynômes infinis ». Nous pouvons utiliser des séries infinies pour évaluer des fonctions complexes, approximer des intégrales définies et créer de nouvelles fonctions. De plus, des séries infinies sont utilisées pour résoudre des équations différentielles qui modélisent le comportement physique, des minuscules circuits électroniques aux satellites en orbite autour de la Terre.