9.4E : Exercices pour la section 9.4

Utilisez le test de comparaison pour déterminer si chaque série des exercices 1 à 13 converge ou diverge.

1)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) où\(a_n=\dfrac{2}{n(n+1)}\)

2)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n\) où\(a_n=\dfrac{1}{n(n+1/2)}\)

Réponse

Converge par rapport à\(\dfrac{1}{n^2}\).

3)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{2(n+1)}\)

4)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{2n−1}\)

Réponse

Diverge par rapport aux séries harmoniques, puisque\(2n−1≥n.\)

5)\(\displaystyle \sum^∞_{n=2}\frac{1}{(n\ln n)^2}\)

6)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n!}{(n+2)!}\)

Réponse

\(a_n=1/(n+1)(n+2)<1/n^2.\)Converge par rapport à la\(p\) série,\(p=2>1\).

7)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n!}\)

8)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\sin(1/n)}{n}\)

Réponse

\(\sin(1/n)≤1/n,\)converge donc par rapport à la\(p\) série,\(p=2>1\).

9)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{\sin^2n}{n^2}\)

10)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{\sin(1/n)}{\sqrt{n}}\)

Réponse

\(\sin(1/n)≤1,\)converge donc par rapport à\(p\) la série,\(p=3/2>1.\)

11)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^{1.2}−1}{n^{2.3}+1}\)

(12)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\sqrt{n+1}−\sqrt{n}}{n}\)

Réponse

Puisque\(\sqrt{n+1}−\sqrt{n}=1/(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})≤2/\sqrt{n},\) la série converge par rapport à\(p\) -series pour\(p=1.5>1\).

13)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\sqrt[4]{n}}{\sqrt[3]{n^4+n^2}}\)

Utilisez le test de comparaison des limites pour déterminer si chaque série des exercices 14 à 28 converge ou diverge.

(14)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\frac{\ln n}{n}\right)^2\)

Réponse

Converge par comparaison des limites avec\(p\) -series pour\(p>1\).

(15)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\frac{\ln n}{n^{0.6}}\right)^2\)

16)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{n}\)

Réponse

Converge par comparaison des limites avec les\(p\) séries,\(p=2>1.\)

17)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\)

18)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{4^n−3^n}\)

Réponse

Converge par comparaison des limites avec\(4^{−n}\).

19)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^2−n\sin n}\)

(20)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{e^{(1.1)n}−3^n}\)

Réponse

Converge par comparaison des limites avec\(1/e^{1.1n}\).

(21)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{e^{(1.01)n}−3^n}\)

(22)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n^{1+1/n}}\)

Réponse

Diverge par comparaison des limites avec les séries harmoniques.

23)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{2^{1+1/n}}{n^{1+1/n}}\)

(24)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\frac{1}{n}−\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)\)

Réponse

Converge par comparaison des limites avec les\(p\) séries,\(p=3>1\).

25)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(1−\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\)

(26)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n}\left(\tan^{−1}n−\frac{π}{2}\right)\)

Réponse

Converge par comparaison des limites avec les\(p\) séries,\(p=3>1\).

27)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(1−\frac{1}{n}\right)^{n.n}\) (Astuce :\(\left(1−\dfrac{1}{n}\right)^n→1/e.\))

28)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(1−e^{−1/n}\right)\) (Indice :\(1/e≈(1−1/n)^n,\) donc\(1−e^{−1/n}≈1/n.\))

Réponse

Diverge par rapport aux limites avec\(1/n\).

29) Est-ce que\(\displaystyle \sum^∞_{n=2}\frac{1}{(\ln n)^p}\) converge si\(p\) c'est assez grand ? Si c'est le cas, pour lequel\(p?\)

30) Est-ce que\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\frac{\ln n}{n}\right)^p\) converge si\(p\) c'est assez grand ? Si c'est le cas, pour lequel\(p?\)

Réponse

Converge pour\(p>1\) en comparaison avec une\(p\) série pour un peu plus petit\(p\).

31) Vers\(p\) quoi\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}2^{pn}/3^n\) convergent les séries ?

32) Vers\(p>0\) quoi\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^p}{2^n}\) convergent les séries ?

Réponse

Des convergences pour tous\(p>0\).

33) Vers\(r>0\) quoi\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{r^{n^2}}{2^n}\) convergent les séries ?

34) Vers\(r>0\) quoi\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{2^n}{r^{n^2}}\) convergent les séries ?

Réponse

Des convergences pour tous\(r>1\). Si\(r>1\) alors\(r^n>4\), disons, une fois\(n>\ln(2)/\ln(r)\), la série converge par comparaison de limites avec une série géométrique avec ratio\(1/2\).

35) Trouvez toutes les valeurs de\(p\) et\(q\) celles qui\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{n^p}{(n!)^q}\) convergent.

36)\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{\sin^2(nr/2)}{n}\) Converge-t-il ou diverge-t-il ? Expliquez.

Réponse

Le numérateur est égal à\(1\) quand\(n\) est impair et\(0\) quand\(n\) est pair, de sorte que la série peut être réécrite en\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{2n+1},\) divergeant par comparaison des limites avec la série harmonique.

37) Expliquez pourquoi, pour chacune d'elles\(n\), au moins l'une d'entre elles\({|\sin n|,|\sin(n+1)|,...,|\sin(n+6)|}\) est plus grande que\(1/2\). Utilisez cette relation pour tester la convergence de\(\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{|\sin n|}{\sqrt{n}}\).

38) Supposons que\(a_n≥0\)\(b_n≥0\)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a^2_n\) et cela\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞b^2_n\) convergent. Prouvez que cela\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nb_n\) converge et\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nb_n≤\frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^∞a^2_n+\sum_{n=1}^∞b^2_n\right)\).

Réponse

\((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)ou\(a^2+b^2≥2ab\), donc, la convergence résulte de la comparaison\(2a_nb_n\) avec\(a^2_n+b^2_n.\) Puisque les sommes partielles de gauche sont délimitées par celles de droite, l'inégalité est valable pour les séries infinies.

39) Est-ce que cela\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞2^{−\ln\ln n}\) converge ? (Conseil : écrivez\(2^{\ln\ln n}\) en tant que pouvoir de\(\ln n\).)

40) Est-ce que cela\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞(\ln n)^{−\ln n}\) converge ? (Conseil :\(t=e^{\ln(t)}\) à utiliser pour effectuer une comparaison avec une\(p\) −series.)

Réponse

\((\ln n)^{−\ln n}=e^{−\ln(n)\ln\ln(n)}.\)C'\(n\)est suffisamment grand,\(\ln\ln n>2,\) alors ainsi\((\ln n)^{−\ln n}<1/n^2\), et la série converge par rapport à une\(p\) série −.

41) Est-ce que cela\(\displaystyle \sum_{n=2}^∞(\ln n)^{−\ln\ln n}\) converge ? (Conseil : comparez\(a_n\) à\(1/n\).)

42) Montrez que si\(a_n≥0\) et\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge, alors\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a^2_n\) converge. Si\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a^2_n\) converge,\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge-t-il nécessairement ?

Réponse

\(a_n→0,\)donc\(a^2_n≤|a_n|\) pour les grands\(n\). La convergence découle de la comparaison des limites. \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}\)converge, mais\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}\) ne le fait pas, de sorte que le fait de\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a^2_n\) converger ne signifie pas que cela\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge.

43) Supposons que cela soit valable\(a_n>0\) pour tous\(n\) et que cela\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge. Supposons qu'\(b_n\)il s'agisse d'une séquence arbitraire de zéros et de uns. \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nb_n\)Converge-t-il nécessairement ?

44) Supposons que cela s'applique\(a_n>0\) à tous\(n\) et que cela\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) diverge. Supposons qu'\(b_n\)il s'agisse d'une séquence arbitraire de zéros et de uns avec un nombre infini de termes égaux à un. Est-ce que\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_nb_n\) cela diverge nécessairement ?

Réponse

Non \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞1/n\)diverge. À\(b_k=0\) moins que\(k=n^2\) pour certains\(n\). Puis\(\displaystyle \sum_kb_k/k=\sum1/k^2\) converge.

45) Complétez les détails de l'argument suivant : Si cela\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}\) converge vers une somme finie\(s\), alors\(\dfrac{1}{2}s=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+⋯\) et\(s−\dfrac{1}{2}s=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+⋯.\) pourquoi cela conduit-il à une contradiction ?

46) Montrez que si\(a_n≥0\) et\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a^2_n\) converge, alors\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\sin^2(a_n)\) converge.

Réponse

\(|\sin t|≤|t|,\)le résultat découle donc du test de comparaison.

47) Supposons que\(a_n/b_n→0\) dans le test de comparaison, où\(a_n≥0\) et\(b_n≥0\). Prouvez que si elle\(\displaystyle \sum b_n\) converge, puis\(\displaystyle \sum a_n\) converge.

48)\(b_n\) Soyons une séquence infinie de zéros et de uns. Quelle est la valeur la plus élevée possible de\(\displaystyle x=\sum_{n=1}^∞b_n/2^n\) ?

Réponse

Selon le test de comparaison,\(\displaystyle x=\sum_{n=1}^∞b_n/2^n≤\sum_{n=1}^∞1/2^n=1.\)

49)\(d_n\) Soit une séquence infinie de chiffres, ce qui signifie qu'\(d_n\)elle prend des valeurs\(\{0,1,…,9\}\). Quelle est la plus grande valeur possible de\(\displaystyle x=\sum_{n=1}^∞d_n/10^n\) ces convergences ?

50) Expliquez pourquoi, si\(x>1/2,\) cela\(x\) ne peut pas être écrit\(\displaystyle x=\sum_{n=2}^∞\frac{b_n}{2^n}\quad (b_n=0\;\text{or}\;1,\;b_1=0).\)

Réponse

Si\(b_1=0,\) alors, à titre de comparaison,\(\displaystyle x≤\sum_{n=2}^∞1/2^n=1/2.\)

51) [T] Evelyn possède une balance d'équilibre parfaite, un nombre illimité de poids de\(1\) -kg, et un de\(1/2\) chaque poids de\(1/4\) -kg,\(1/8\) -kg, -kg, etc. Elle souhaite peser une météorite d'origine non précisée avec une précision arbitraire. En supposant que la balance soit assez grande, peut-elle le faire ? Qu'est-ce que cela a à voir avec les séries infinies ?

52) [T] Robert veut connaître sa masse corporelle avec une précision arbitraire. Il possède une grande balance qui fonctionne parfaitement, une collection illimitée de poids de\(1\) -kg et neuf de poids de\(0.1\) chaque poids de\(0.01\) -kg,\(0.001\) -kg, -kg, etc. En supposant que la balance soit suffisamment grande, peut-il le faire ? Qu'est-ce que cela a à voir avec les séries infinies ?

Réponse

Oui. Continuez à ajouter des poids de\(1\) -kg jusqu'à ce que la balance pointe sur le côté des poids. Si tout s'équilibre parfaitement, avec Robert debout de l'autre côté, arrête. Sinon, supprimez l'un des poids\(1\) -kg et ajoutez les poids\(0.1\) -kg un par un. S'il est équilibré après avoir ajouté certains d'entre eux, arrêtez. Sinon, s'il bascule vers les poids, retirez le dernier\(0.1\) kg de poids. Commencez à ajouter des poids de\(0.01\) -kg. S'il est équilibré, arrêtez. S'il bascule sur le côté avec les poids, retirez le dernier\(0.01\) kg de poids ajouté. Continuez ainsi pour les poids de\(0.001\) -kg, et ainsi de suite. Après un nombre fini d'étapes, on obtient une série finie de la forme\(\displaystyle A+\sum_{n=1}^Ns_n/10^n\) où\(A\) est le nombre de poids en kg complets et\(d_n\) le nombre de poids en\(1/10^n\) kg qui ont été ajoutés. Si, à un moment ou à un autre, cette série correspond exactement au poids de Robert, le processus s'arrêtera. Sinon, elle représente la somme\(N^{\text{th}}\) partielle d'une série infinie qui donne le poids exact de Robert, et l'erreur de cette somme est tout au plus\(1/10^N\).

53) La série\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{2n}\) est la moitié de la série harmonique et diverge donc. Il est obtenu à partir de la série harmonique en supprimant tous les termes impairs.\(n\) \(m>1\)Soyons réparés. Montrez, plus généralement, que la suppression de tous les termes\(1/n\) où\(n=mk\) pour un entier donné donne\(k\) également lieu à une série divergente.

54) Compte tenu de l'exercice précédent, il peut être surprenant qu'une sous-série de la série harmonique dans laquelle environ un terme sur cinq est supprimé puisse converger. Une série harmonique épuisée est une série obtenue à partir de la suppression d'un terme\(1/n\) si un chiffre donné,\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}\) par exemple\(9\), apparaît dans l'expansion décimale de\(n\). Soutenez que cette série harmonique épuisée converge en répondant aux questions suivantes.

a. Combien de nombres entiers\(d\) comportent\(n\) des chiffres ?

b. Combien de nombres\(h(d)\) entiers\(d\) à chiffres ne contiennent pas\(9\) comme un ou plusieurs de leurs chiffres ?

c. Quel est le plus petit nombre\(d\) à chiffres\(m(d)\) ?

d. Expliquez pourquoi la série harmonique supprimée est délimitée par\(\displaystyle \sum_{d=1}^∞\frac{h(d)}{m(d)}\).

e. Montre qui\(\displaystyle \sum_{d=1}^∞\frac{h(d)}{m(d)}\) converge.

Réponse

a.\(10^d−10^{d−1}<10^d\)
b.\(h(d)<9^d\)
c.\(m(d)=10^{d−1}+1\)
d. Regroupez les termes de la série harmonique supprimée par nombre de chiffres. \(h(d)\)limite le nombre de termes, et chaque terme est au plus égal à\(\frac{1}{m(d)}.\)
Then\(\displaystyle \sum_{d=1}^∞h(d)/m(d)≤\sum_{d=1}^∞9^d/(10)^{d−1}≤90\). On peut en fait utiliser la comparaison pour estimer la valeur à une valeur inférieure à\(80\). La valeur réelle est inférieure à\(23\).

55) Supposons qu'une séquence de nombres\(a_n>0\) possède la propriété « that »\(a_1=1\) et\(a_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}S_n\) « where »\(S_n=a_1+⋯+a_n\). Pouvez-vous déterminer si elle\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge ? (Indice :\(S_n\) est monotone.)

56) Supposons qu'une séquence de nombres\(a_n>0\) possède la propriété « that »\(a_1=1\) et\(a_{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)^2}S_n\) « where »\(S_n=a_1+⋯+a_n\). Pouvez-vous déterminer si elle\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) converge ? (Conseil :\(S_2=a_2+a_1=a_2+S_1=a_2+1=1+1/4=(1+1/4)S_1, S_3=\dfrac{1}{3^2}S_2+S_2=(1+1/9)S_2=(1+1/9)(1+1/4)S_1\), etc. Regardez\(\ln(S_n)\) et utilisez\(\ln(1+t)≤t, t>0.\))

Réponse

En continuant l'indice\(S_N=(1+1/N^2)(1+1/(N−1)^2…(1+1/4)).\),\(\ln(S_N)=\ln(1+1/N^2)+\ln(1+1/(N−1)^2)+⋯+\ln(1+1/4).\) Then Since\(\ln(1+t)\) est limité par un temps constant\(t\), quand\(0<t<1\) on a\(\displaystyle \ln(S_N)≤C\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}\), qui converge par rapport à la\(p\) série -pour\(p=2\).