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6 : Fonctions exponentielles et logarithmiques

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    Dans ce chapitre, nous explorerons les fonctions exponentielles, qui peuvent être utilisées, entre autres, pour modéliser des modèles de croissance tels que ceux trouvés chez les bactéries. Nous étudierons également les fonctions logarithmiques, qui sont étroitement liées aux fonctions exponentielles. Les deux types de fonctions ont de nombreuses applications concrètes lorsqu'il s'agit de modéliser et d'interpréter des données.

    • 6.0 : Prélude aux fonctions exponentielles et logarithmiques
      Concentrez-vous sur un centimètre carré de votre peau. Regarde de plus près. Encore plus proche. Si vous pouviez y regarder de plus près, vous verrez des centaines de milliers d'organismes microscopiques. Ce sont des bactéries qui se trouvent non seulement sur la peau, mais aussi dans la bouche, le nez et même les intestins. En fait, les cellules bactériennes présentes dans votre corps à tout moment sont plus nombreuses que vos propres cellules. Mais ce n'est pas une raison pour se sentir mal dans sa peau. Certaines bactéries peuvent provoquer des maladies, mais bon nombre d'entre elles sont saines et même essentielles à l'organisme.
    • 6.1 : Fonctions exponentielles
      Lorsque la population croît rapidement, nous disons souvent que la croissance est « exponentielle », ce qui signifie que quelque chose croît très rapidement. Pour un mathématicien, toutefois, le terme croissance exponentielle a une signification très spécifique. Dans cette section, nous examinerons les fonctions exponentielles qui modélisent ce type de croissance rapide.
    • 6.2 : Graphiques de fonctions exponentielles
      Comme nous l'avons vu dans la section précédente, les fonctions exponentielles sont utilisées pour de nombreuses applications du monde réel telles que la finance, la criminalistique, l'informatique et la plupart des sciences de la vie. Le fait de travailler avec une équation qui décrit une situation réelle nous donne une méthode pour faire des prédictions. Toutefois, la plupart du temps, l'équation elle-même ne suffit pas. Nous apprenons beaucoup de choses sur les choses en regardant leurs représentations picturales, et c'est exactement pourquoi la représentation graphique d'équations exponentielles est un outil puissant.
    • 6.3 : Fonctions logarithmiques
      L'inverse d'une fonction exponentielle est une fonction logarithmique, et l'inverse d'une fonction logarithmique est une fonction exponentielle.
    • 6.4 : Graphiques des fonctions logarithmiques
      Dans cette section, nous allons discuter des valeurs pour lesquelles une fonction logarithmique est définie, puis nous allons nous concentrer sur la représentation graphique de la famille de fonctions logarithmiques.
    • 6.5 : Propriétés logarithmiques
      Rappelons que les fonctions logarithmique et exponentielle « s'annulent » mutuellement. Cela signifie que les logarithmes ont des propriétés similaires à celles des exposants. Certaines propriétés importantes des logarithmes sont données ici.
    • 6.6 : Équations exponentielles et logarithmiques
      La croissance démographique non contrôlée peut être modélisée à l'aide de fonctions exponentielles. Les équations résultant de ces fonctions exponentielles peuvent être résolues pour analyser et faire des prédictions concernant la croissance exponentielle. Dans cette section, nous allons apprendre des techniques pour résoudre des fonctions exponentielles.
    • 6.7 : Modèles exponentiels et logarithmiques
      Nous avons déjà exploré certaines applications de base des fonctions exponentielles et logarithmiques. Dans cette section, nous explorons plus en profondeur certaines applications importantes, notamment les isotopes radioactifs et la loi du refroidissement de Newton.
    • 6.8 : Ajustement de modèles exponentiels aux données
      Nous allons nous concentrer sur trois types de modèles de régression dans cette section : exponentiel, logarithmique et logistique. Le fait d'avoir déjà travaillé avec chacune de ces fonctions nous donne un avantage. Connaître leurs définitions formelles, le comportement de leurs graphes et certaines de leurs applications réelles nous donne l'occasion d'approfondir notre compréhension. Au fur et à mesure que chaque modèle de régression est présenté, les principales caractéristiques et définitions de sa fonction associée sont incluses à des fins d'examen.

    Miniature : les fonctions\(y=e^x\) et\(y=\ln(x)\) sont inversées l'une de l'autre, de sorte que leurs graphes sont symétriques par rapport à la ligne\(y=x\). (CC BY-SA ; OpenStax).