6.5 : Propriétés logarithmiques
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- Utilisez la règle du produit pour les logarithmes.
- Utilisez la règle du quotient pour les logarithmes.
- Utilisez la règle de puissance pour les logarithmes.
- Développez les expressions logarithmiques.
- Condensez les expressions logarithmiques.
- Utilisez la formule de changement de base pour les logarithmes.
En chimie, l'échelle de pH est utilisée pour mesurer l'acidité ou l'alcalinité d'une substance. Les substances dont le pH est inférieur à ce\(7\) qui est considéré comme acide, et les substances dont le pH est supérieur à celui-ci\(7\) sont dites alcalines. Notre corps, par exemple, doit maintenir un pH proche pour\(7.35\) que les enzymes fonctionnent correctement. Pour avoir une idée de ce qui est acide et alcalin, considérez les niveaux de pH suivants pour certaines substances courantes :
- Acide de batterie :\(0.8\)
- Acide gastrique :\(2.7\)
- Jus d'orange :\(3.3\)
- Eau pure :\(7\) à\(25^\circ C\)
- Sang humain :\(7.35\)
- Noix de coco fraîche\(7.8\)
- Hydroxyde de sodium (lessive) :\(14\)
Pour déterminer si une solution est acide ou alcaline, on trouve son pH, qui est une mesure du nombre d'ions hydrogène positifs actifs dans la solution. Le pH est défini par la formule suivante, où\([\ce{H^{+}}]\) est la concentration d'ions hydrogène dans la solution
\[\begin{align} {pH}&=−{\log}([\ce{H^{+}}]) \label{eq1} \\[4pt] &={\log}\left(\dfrac{1}{[\ce{H^{+}}]}\right) \label{eq2} \end{align}\]
L'équivalence des équations \ ref {eq1} et \ ref {eq2} est l'une des propriétés logarithmiques que nous allons examiner dans cette section.
Utilisation de la règle du produit pour les logarithmes
Rappelons que les fonctions logarithmique et exponentielle « s'annulent » mutuellement. Cela signifie que les logarithmes ont des propriétés similaires à celles des exposants. Certaines propriétés importantes des logarithmes sont données ici. Tout d'abord, les propriétés suivantes sont faciles à prouver.
\[ \begin{align*} \log_b1 &=0 \\[4pt] \log_bb &=1 \end{align*}\]
Par exemple,\({\log}_51=0\) depuis\(5^0=1\). Et\({\log}_55=1\) depuis\(5^1=5\).
Ensuite, nous avons la propriété inverse.
\[ \begin{align*} \log_b(b^x) &=x \\[4pt] b^{\log_b x} &=x, \,x>0 \end{align*}\]
Par exemple, pour évaluer\({\log(100)}\), nous pouvons réécrire le logarithme en tant que\({\log}_{10}({10}^2)\), puis appliquer la propriété inverse\({\log}_b(b^x)=x\) pour obtenir\({\log}_{10}({10}^2)=2\).
Pour évaluer\(e^{\ln(7)}\), nous pouvons réécrire le logarithme sous la forme\(e^{{\log}_e7}\), puis appliquer la propriété inverse\(b^{{\log}_bx}=x\) pour obtenir\(e^{{\log}_e 7}=7\).
Enfin, nous avons la propriété individuelle.
\[ \log_bM = \log_bN \text{ if and only if } M=N\]
Nous pouvons utiliser la propriété biunivoque pour résoudre l'équation\({\log}_3(3x)={\log}_3(2x+5)\) pour\(x\). Comme les bases sont les mêmes, nous pouvons appliquer la propriété un-à-un en définissant les arguments de manière égale et en résolvant pour\(x\) :
\(3x=2x+5\)Définissez les arguments de manière égale.
\(x=5\)Soustraire\(2x\).
Mais qu'en est-il de l'équation\({\log}_3(3x)+{\log}_3(2x+5)=2\) ? La propriété individuelle ne nous aide pas dans ce cas. Avant de pouvoir résoudre une équation comme celle-ci, nous avons besoin d'une méthode permettant de combiner les termes sur le côté gauche de l'équation.
Rappelons que nous utilisons la règle du produit des exposants pour combiner le produit des exposants en ajoutant :\(x^ax^b=x^{a+b}\). Nous avons une propriété similaire pour les logarithmes, appelée règle du produit pour les logarithmes, selon laquelle le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes. Comme les logs sont des exposants et que nous les multiplions comme des bases, nous pouvons ajouter les exposants. Nous utiliserons la propriété inverse pour dériver la règle du produit ci-dessous.
Étant donné n'importe quel nombre réel\(x\) et nombre réel positif\(M\)\(N\), et\(b\), où\(b≠1\), nous montrerons
\({\log}_b(MN)={\log}_b(M)+{\log}_b(N)\).
Laissez\(m={\log}_bM\) et\(n={\log}_bN\). Sous forme exponentielle, ces équations sont\(b^m=M\) et\(b^n=N\). Il s'ensuit que
\[\begin{align*} {\log}_b(MN)&= {\log}_b(b^mb^n) \qquad \text{Substitute for M and N}\\[4pt] &= {\log}_b(b^{m+n}) \qquad \text{Apply the product rule for exponents}\\[4pt] &= m+n \qquad \text{Apply the inverse property of logs}\\[4pt] &= {\log}_b(M)+{\log}_b(N) \qquad \text{Substitute for m and n} \end{align*}\]
Notez que l'application répétée de la règle du produit pour les logarithmes nous permet de simplifier le logarithme du produit d'un certain nombre de facteurs. Par exemple, considérez\({\log}_b(wxyz)\). En utilisant la règle du produit pour les logarithmes, nous pouvons réécrire ce logarithme d'un produit comme la somme des logarithmes de ses facteurs :
\({\log}_b(wxyz)={\log}_bw+{\log}_bx+{\log}_by+{\log}_bz\)
La règle de produit pour les logarithmes peut être utilisée pour simplifier le logarithme d'un produit en le réécrivant sous la forme d'une somme de logarithmes individuels.
\[\begin{align} {\log}_b(MN)={\log}_b(M)+{\log}_b(N)\text{ for } b> 0 \end{align}\]
- Facturez complètement l'argument en exprimant chaque facteur numérique entier sous la forme d'un produit de nombres premiers.
- Écrivez l'expression équivalente en additionnant les logarithmes de chaque facteur.
Élargir\({\log}_3(30x(3x+4))\).
Solution
Nous commençons par factoriser complètement l'argument, en l'exprimant\(30\) sous la forme d'un produit de nombres premiers.
\({\log}_3(30x(3x+4))={\log}_3(2⋅3⋅5⋅x⋅(3x+4))\)
Ensuite, nous écrivons l'équation équivalente en additionnant les logarithmes de chaque facteur.
\({\log}_3(30x(3x+4))={\log}_3(2)+{\log}_3(3)+{\log}_3(5)+{\log}_3(x)+{\log}_3(3x+4)\)
Élargir\({\log}_b(8k)\).
- Réponse
-
\({\log}_b2+{\log}_b2+{\log}_b2+{\log}_bk=3{\log}_b2+{\log}_bk\)
Utilisation de la règle du quotient pour les logarithmes
Pour les quotients, nous avons une règle similaire pour les logarithmes. Rappelons que nous utilisons la règle du quotient des exposants pour combiner le quotient des exposants en soustrayant :\(x^{\frac{a}{b}}=x^{a−b}\). La règle du quotient pour les logarithmes indique que le logarithme d'un quotient est égal à une différence de logarithmes.
La règle du quotient pour les logarithmes peut être utilisée pour simplifier un logarithme ou un quotient en le réécrivant sous forme de différence entre des logarithmes individuels.
\[{\log}_b\left(\dfrac{M}{N}\right)={\log}_bM−{\log}_bN\]
Tout comme pour la règle du produit, nous pouvons utiliser la propriété inverse pour dériver la règle du quotient.
Étant donné n'importe quel nombre réel\(x\) et nombre réel positif\(M\)\(N\), et b, b, où\(b≠1\), nous montrerons
\({\log}_b\left(\dfrac{M}{N}\right)={\log}_b(M)−{\log}_b(N)\).
Laissez\(m={\log}_bM\) et\(n={\log}_bN\). Sous forme exponentielle, ces équations sont\(b^m=M\) et\(b^n=N\). Il s'ensuit que
\[\begin{align*} {\log}_b\left (\dfrac{M}{N} \right )&= {\log}_b\left(\dfrac{b^m}{b^n}\right) \qquad \text{Substitute for M and N}\\[4pt] &= {\log}_b(b^{m-n}) \qquad \text{Apply the quotient rule for exponents}\\[4pt] &= m-n \qquad \text{Apply the inverse property of logs}\\[4pt] &= {\log}_b(M)-{\log}_b(N) \qquad \text{Substitute for m and n} \end{align*}\]
Par exemple, pour développer\({\log}\left (\dfrac{2x^2+6x}{3x+9} \right )\), nous devons d'abord exprimer le quotient en termes les plus bas. Nous obtenons l'affacturage et l'annulation,
\[\begin{align*} {\log}\left (\dfrac{2x^2+6x}{3x+9} \right )&= {\log}\left (\dfrac{2x(x+3)}{3(x+3)} \right ) \qquad \text{Factor the numerator and denominator}\\[4pt] &= {\log}\left (\dfrac{2x}{3} \right ) \qquad \text{Cancel the common factors} \end{align*}\]
Ensuite, nous appliquons la règle du quotient en soustrayant le logarithme du dénominateur du logarithme du numérateur. Ensuite, nous appliquons la règle du produit.
\[ \begin{align*} {\log}\left(\dfrac{2x}{3}\right) &={\log}(2x)−{\log}(3) \\[4pt] &={\log}(2)+{\log}(x)−{\log}(3) \end{align*}\]
- Exprimez l'argument en termes les plus bas en factorisant le numérateur et le dénominateur et en annulant les termes courants.
- Écrivez l'expression équivalente en soustrayant le logarithme du dénominateur du logarithme du numérateur.
- Vérifiez que chaque terme est complètement développé. Si ce n'est pas le cas, appliquez la règle du produit pour que les logarithmes se développent complètement.
Élargir\({log}_2\left(\dfrac{15x(x−1)}{(3x+4)(2−x)}\right)\).
Solution
Tout d'abord, nous remarquons que le quotient est factorisé et exprimé dans les termes les plus bas, nous appliquons donc la règle du quotient.
\({\log}_2(\dfrac{15x(x−1)}{(3x+4)(2−x)})={\log}_2(15x(x−1))−{\log}_2((3x+4)(2−x))\)
Notez que les termes qui en résultent sont des logarithmes de produits. Pour l'étendre complètement, nous appliquons la règle du produit, en notant que les facteurs premiers du facteur 15 sont 3 et 5.
\[\begin{align*} {\log}_2(15x(x-1))-{\log}_2((3x+4)(2-x))&= [{\log}_2(3)+{\log}_2(5)+{\log}_2(x)+{\log}_2(x-1)]-[{\log}_2(3x+4)+{\log}_2(2-x)]\\[4pt] &= {\log}_2(3)+{\log}_2(5)+{\log}_2(x)+{\log}_2(x-1)-{\log}_2(3x+4)-{\log}_2(2-x) \end{align*}\]
Analyse
Il existe des exceptions à prendre en compte dans cet exemple et dans les exemples suivants. Tout d'abord, étant donné que les dénominateurs ne doivent jamais être nuls, cette expression n'est pas définie pour\(x=−\dfrac{4}{3}\) et\(x=2\). De plus, comme l'argument d'un logarithme doit être positif, nous notons en observant le logarithme étendu que\(x>0\)\(x>1\),\(x>−\dfrac{4}{3}\), et\(x<2\). La combinaison de ces conditions dépasse le cadre de cette section et nous ne les examinerons pas ici ni dans les exercices suivants.
Élargir\({\log}_3\left(\dfrac{7x^2+21x}{7x(x−1)(x−2)}\right)\).
- Réponse
-
\({\log}_3(x+3)−{\log}_3(x−1)−{\log}_3(x−2)\)
Utilisation de la règle de puissance pour les logarithmes
Nous avons exploré la règle du produit et la règle du quotient, mais comment pouvons-nous prendre le logarithme d'une puissance, telle que\(x^2\) ? L'une des méthodes est la suivante :
\[\begin{align*} {\log}_b(x^2)&= {\log}_b(x\cdot x)\\[4pt] &= {\log}_bx+{\log}_bx\\[4pt] &= 2{\log}_bx \end{align*}\]
Notez que nous avons utilisé la règle du produit pour les logarithmes afin de trouver une solution pour l'exemple ci-dessus. Ce faisant, nous avons dérivé la règle de puissance pour les logarithmes, selon laquelle le logarithme d'une puissance est égal à l'exposant multiplié par le logarithme de la base. Gardez à l'esprit que, bien que l'entrée d'un logarithme ne soit pas écrite sous forme de puissance, nous pouvons la remplacer par une puissance. Par exemple,
\(100={10}^2\)\(\sqrt{3}=3^{\dfrac{1}{2}}\)\(\dfrac{1}{e}=e^{−1}\)
La règle de puissance pour les logarithmes peut être utilisée pour simplifier le logarithme d'une puissance en le réécrivant comme le produit de l'exposant par le logarithme de la base.
\[{\log}_b(M^n)=n{\log}_bM\]
- Exprimez l'argument sous forme de pouvoir, si nécessaire.
- Écrivez l'expression équivalente en multipliant l'exposant par le logarithme de la base.
Élargir\({\log}_2x^5\).
Solution
L'argument est déjà écrit sous forme de puissance. Nous identifions donc l'exposant, 5, et la base\(x\), et réécrivons l'expression équivalente en multipliant l'exposant par le logarithme de la base.
\({\log}_2(x^5)=5{\log}_2x\)
Élargir\(\ln x^2\).
- Réponse
-
\(2\ln x\)
Développez\({\log}_3(25)\) en utilisant la règle d'alimentation pour les journaux.
Solution
En exprimant l'argument en tant que pouvoir, nous obtenons\({\log}_3(25)={\log}_3(5^2)\).
Ensuite, nous identifions l'exposant\(2\), et la base\(5\), et réécrivons l'expression équivalente en multipliant l'exposant par le logarithme de la base.
\({\log}_3(52)=2{\log}_3(5)\)
Élargir\(\ln\left (\dfrac{1}{x^2} \right )\).
- Réponse
-
\(−2\ln(x)\)
Réécrivez\(4\ln(x)\) à l'aide de la règle de puissance pour les logs en un seul logarithme avec un coefficient de début de\(1\).
Solution
Comme le logarithme d'une puissance est le produit de l'exposant par le logarithme de la base, il s'ensuit que le produit d'un nombre et d'un logarithme peut être écrit sous forme de puissance. Pour l'expression\(4\ln(x)\), nous identifions le facteur\(4\), en tant qu'exposant et argument\(x\), en tant que base, et nous réécrivons le produit en tant que logarithme d'une puissance :\(4\ln(x)=\ln(x^4)\).
Réécrivez\(2{\log}_34\) à l'aide de la règle de puissance pour les logs en un seul logarithme avec un coefficient de début de\(1\).
- Réponse
-
\({\log}_316\)
Développement d'expressions logarithmiques
Pris ensemble, la règle du produit, la règle du quotient et la règle du pouvoir sont souvent appelées « lois des journaux ». Parfois, nous appliquons plusieurs règles afin de simplifier une expression. Par exemple :
\[\begin{align*} {\log}_b \left (\dfrac{6x}{y} \right )&= {\log}_b(6x)-{\log}_by\\[4pt] &= {\log}_b6+{\log}_bx-{\log}_by \end{align*}\]
Nous pouvons utiliser la règle de puissance pour développer des expressions logarithmiques impliquant des exposants négatifs et fractionnaires. Voici une autre preuve de la règle du quotient pour les logarithmes en utilisant le fait qu'une réciproque est une puissance négative :
\[\begin{align*} {\log}_b\left (\dfrac{A}{C} \right )&= {\log}_b(AC^{-1})\\[4pt] &= {\log}_b(A)+{\log}_b(C^{-1})\\[4pt] &= {\log}_bA+(-1){\log}_bC\\[4pt] &= {\log}_bA−{\log}_bC \end{align*}\]
Nous pouvons également appliquer la règle du produit pour exprimer une somme ou une différence de logarithmes sous la forme du logarithme d'un produit.
Avec de la pratique, nous pouvons examiner une expression logarithmique et l'étendre mentalement, en écrivant la réponse finale. Souvenez-vous toutefois que nous ne pouvons le faire qu'avec des produits, des quotients, des puissances et des racines, jamais par addition ou soustraction dans l'argument du logarithme.
Réécrivez\(ln \left (\dfrac{x^4y}{7} \right )\) sous forme de somme ou de différence de logs.
Solution
Tout d'abord, comme nous avons un quotient de deux expressions, nous pouvons utiliser la règle du quotient :
\(\ln \left (\dfrac{x^4y}{7} \right )=\ln(x^4y)−\ln(7)\)
Ensuite, en voyant le produit au premier trimestre, nous utilisons la règle du produit :
\(\ln(x^4y)−\ln(7)=\ln(x^4)+\ln(y)−\ln(7)\)
Enfin, nous utilisons la règle du pouvoir pour le premier terme :
\(\ln(x^4)+\ln(y)−\ln(7)=4\ln(x)+\ln(y)−\ln(7)\)
Élargir\(\log \left (\dfrac{x^2y^3}{z^4} \right )\).
- Réponse
-
\(2\log x+3\log y−4\log z\)
Élargir\(\log(x)\).
Solution
\[\begin{align*} \log(\sqrt{x})&= \log x^{\left (\tfrac{1}{2} \right )}\\[4pt] &= \dfrac{1}{2}\log x \end{align*}\]
Élargir\(\ln(\sqrt[3]{x^2})\).
- Réponse
-
\(\dfrac{2}{3}\ln x\)
Non Il n'est pas possible d'étendre le logarithme d'une somme ou d'une différence à l'intérieur de l'argument du logarithme.
Élargir\({\log}_6 \left (\dfrac{64x^3(4x+1)}{(2x−1)} \right )\).
Solution
Nous pouvons nous développer en appliquant les règles relatives aux produits et aux quotients.
\[\begin{align*} {\log}_6\left (\dfrac{64x^3(4x+1)}{(2x-1)} \right )&= {\log}_664+{\log}_6x^3+{\log}_6(4x+1)-{\log}_6(2x-1)\qquad \text{Apply the Quotient Rule}\\[4pt] &= {\log}_626+{\log}_6x^3+{\log}_6(4x+1)-{\log}_6(2x-1) \qquad \text{Simplify by writing 64 as } 2^6\\[4pt] &= 6{\log}_62+3{\log}_6x+{\log}_6(4x+1)-{\log}_6(2x-1) \qquad \text{Apply the Power Rule} \end{align*}\]
Élargir\(\ln \left (\dfrac{\sqrt{(x−1){(2x+1)}^2}}{(x^2−9)}\right )\).
- Réponse
-
\(\dfrac{1}{2}\ln(x−1)+\ln(2x+1)−\ln(x+3)−\ln(x−3)\)
Condensation d'expressions logarithmiques
Nous pouvons utiliser les règles des logarithmes que nous venons d'apprendre pour condenser les sommes, les différences et les produits avec la même base en un seul logarithme. Il est important de se rappeler que les logarithmes doivent avoir la même base pour être combinés. Nous apprendrons plus tard comment modifier la base de n'importe quel logarithme avant de le condenser.
- Appliquez d'abord la propriété de puissance. Identifiez les termes qui sont le produit de facteurs et d'un logarithme, et réécrivez chacun comme le logarithme d'une puissance.
- Appliquez ensuite la propriété du produit. Réécrivez les sommes des logarithmes en tant que logarithme d'un produit.
- Appliquez la propriété du quotient en dernier. Réécrivez les différences de logarithmes sous la forme du logarithme d'un quotient.
Écrivez\({\log}_3(5)+{\log}_3(8)−{\log}_3(2)\) sous la forme d'un logarithme unique.
Solution
Utilisation des règles de produit et de quotient
\({\log}_3(5)+{\log}_3(8)={\log}_3(5⋅8)={\log}_3(40)\)
Cela réduit notre expression originale à
\({\log}_3(40)−{\log}_3(2)\)
Ensuite, en utilisant la règle du quotient
\({\log}_3(40)−{\log}_3(2)={\log}_3 \left (\dfrac{40}{2} \right )={\log}_3(20)\)
Condenser\({\log}_3−{\log}_4+{\log}_5−{\log}_6\).
- Réponse
-
\(\log \left (\dfrac{3⋅5}{4⋅6} \right)\); peut également être écrit\(\log \left (\dfrac{5}{8} \right )\) en réduisant la fraction aux termes les plus bas.
Condenser\({\log}_2(x^2)+\dfrac{1}{2}{\log}_2(x−1)−3{\log}_2({(x+3)}^2)\).
Solution
Nous appliquons d'abord la règle du pouvoir :
\({\log}_2(x^2)+\dfrac{1}{2}{\log}_2(x−1)−3{\log}_2({(x+3)}^2)={\log}_2(x^2)+{\log}_2(\sqrt{x−1})−{\log}_2({(x+3)}^6)\)
Ensuite, nous appliquons la règle du produit à la somme :
\({\log}_2(x^2)+{\log}_2(\sqrt{x−1})−{\log}_2({(x+3)}^6)={\log}_2(x^2\sqrt{x−1})−{\log}_2({(x+3)}^6)\)
Enfin, nous appliquons la règle du quotient à la différence :
\({\log}_2(x^2\sqrt{x−1})−{\log}_2({(x+3)}^6)={\log}_2\dfrac{x^2\sqrt{x−1}}{{(x+3)}^6}\)
Réécrivez\(2\log x−4\log(x+5)+\dfrac{1}{x}\log(3x+5)\) sous la forme d'un logarithme unique.
Solution
Nous appliquons d'abord la règle du pouvoir :
\(2\log x−4\log(x+5)+\dfrac{1}{x}\log(3x+5)=\log(x^2)−\log{(x+5)}^4+\log({(3x+5)}^{x^{−1}})\)
Ensuite, nous réorganisons et appliquons la règle du produit à la somme :
\[\begin{align*} \log(x^2)-\log{(x+5)}^4+\log({(3x+5)}^{x^{-1}})&= \log(x^2)+\log({(3x+5)}^{x^{-1}}-\log{(x+5)}^4\\[4pt] &= \log(x^2{(3x+5)}^{x^{-1}})-\log{(x+5)}^4\\[4pt] &= \log\dfrac{x^2{(3x+5)}^{x^{-1}}}{{(x+5)}^4} \qquad \text{Apply the quotient rule to the difference} \end{align*}\]
Réécrivez\(\log(5)+0.5\log(x)−\log(7x−1)+3\log(x−1)\) sous la forme d'un logarithme unique.
- Réponse
-
\(\log \dfrac{5{(x−1)}^3\sqrt{x}}{(7x−1)}\)
Condenser\(4(3\log(x)+\log(x+5)−\log(2x+3))\).
- Réponse
-
\(\log\dfrac{x^{12}{(x+5)}^4}{{(2x+3)}^4}\); cette réponse pourrait également être écrite\(\log{ \left (\dfrac{x^3(x+5)}{(2x+3)} \right )}^4\)
Rappelons qu'en chimie,\({pH}=−\log[H+]\). Si la concentration d'ions hydrogène dans un liquide est doublée, quel est l'effet sur le pH ?
Solution
Supposons que\(C\) c'est la concentration initiale en ions hydrogène et\(P\) le pH initial du liquide. Alors\(P=–\log(C)\). Si la concentration est doublée, c'est la nouvelle concentration qui l'est\(2C\). Ensuite, le pH du nouveau liquide est
\(pH=−\log(2C)\)
Utilisation de la règle des journaux du produit
\(pH=−\log(2C)=−(\log(2)+\log(C))=−\log(2)−\log(C)\)
Depuis\(P=–\log(C)\), le nouveau pH est
\(pH=P−\log(2)≈P−0.301\)
Lorsque la concentration en ions hydrogène est doublée, le pH diminue d'environ\(0.301\).
Comment le pH change-t-il lorsque la concentration d'ions hydrogène positifs est diminuée de moitié ?
- Réponse
-
Le pH augmente d'environ\(0.301\).
Utilisation de la formule de changement de base pour les logarithmes
La plupart des calculateurs ne peuvent évaluer que les journaux courants et naturels. Afin d'évaluer les logarithmes avec une base autre que le\(10\) minerai, e, nous utilisons la formule de changement de base pour réécrire le logarithme sous la forme du quotient des logarithmes de toute autre base ; lors de l'utilisation d'une calculatrice, nous les remplacerions par des logarithmes communs ou naturels.
Pour dériver la formule de changement de base, nous utilisons la règle de propriété et de puissance biunivoque pour les logarithmes.
Compte tenu de tous les nombres réels positifs\(M\)\(b\), et\(n\), où\(n≠1\) et\(b≠1\), nous montrons
\({\log}_bM=\dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb}\)
Laissez\(y={\log}_bM\). En prenant la base\(n\) logarithmique des deux côtés de l'équation, nous arrivons à une forme exponentielle, à savoir\(b^y=M\). Il s'ensuit que
\[\begin{align*} {\log}_n(b^y)&= {\log}_nM \qquad \text{Apply the one-to-one property}\\[4pt] y{\log}_nb&= {\log}_nM \qquad \text{Apply the power rule for logarithms}\\[4pt] y&= \dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb} \qquad \text{Isolate y}\\[4pt] {\log}_bM&= \dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb} \qquad \text{Substitute for y} \end{align*}\]
Par exemple, pour effectuer une évaluation à\({\log}_536\) l'aide d'une calculatrice, nous devons d'abord réécrire l'expression sous la forme d'un quotient de logarithme commun ou naturel. Nous utiliserons le journal commun.
\[\begin{align*} {\log}_536&= \dfrac{\log(36)}{\log(5)} \qquad \text{Apply the change of base formula using base 10}\\[4pt] &\approx 2.2266 \qquad \text{Use a calculator to evaluate to 4 decimal places} \end{align*}\]
La formule de changement de base peut être utilisée pour évaluer un logarithme avec n'importe quelle base.
Pour tout nombre réel positif\(M\)\(b\), et\(n\), où\(n≠1\) et\(b≠1\),
\[{\log}_bM=\dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb}\]
Il s'ensuit que la formule de changement de base peut être utilisée pour réécrire un logarithme avec n'importe quelle base comme quotient de logarithme commun ou naturel.
\[{\log}_bM=\dfrac{\ln M}{\ln b}\]
et
\[{\log}_bM=\dfrac{\log M}{\log b}\]
- Déterminez la nouvelle base\(n\) en vous rappelant que la bûche commune a une base 10 et que la bûche naturelle a une base\(e\).\(\log(x)\)\(\ln(x)\)
- Réécrivez le log sous forme de quotient en utilisant la formule de changement de base
- Le numérateur du quotient sera un logarithme avec base\(n\) et argument\(M\).
- Le dénominateur du quotient sera un logarithme avec base\(n\) et argument\(b\).
\({\log}_53\)Passage à un quotient de logarithmes naturels.
Solution
Parce que nous allons exprimer\({\log}_53\) sous forme de quotient des logarithmes naturels, la nouvelle base,\(n=e\).
Nous réécrivons le log sous forme de quotient en utilisant la formule de changement de base. Le numérateur du quotient sera le logarithme naturel avec argument\(3\). Le dénominateur du quotient sera le logarithme naturel avec l'argument 5.
\({\log}_bM=\dfrac{\ln M}{\ln b}\)
\({\log}_53=\dfrac{\ln3}{\ln5}\)
\(\log0.58\)Passage à un quotient de logarithmes naturels.
- Réponse
-
\(\dfrac{\ln8}{\ln 0.5}\)
Oui. Souvenez-vous que cela\(\log9\) signifie\({\log}_{10}9\). Donc,\(\log9=\dfrac{\ln9}{\ln10}\).
Évaluez\({\log}_2(10)\) en utilisant la formule de changement de base à l'aide d'une calculatrice.
Solution
Selon la formule de changement de base, nous pouvons réécrire la base logarithmique\(2\) en tant que logarithme de n'importe quelle autre base. Comme nos calculateurs peuvent évaluer le logarithme naturel, nous pouvons choisir d'utiliser le logarithme naturel, qui est la base du logarithme\(e\).
\[\begin{align*} {\log}_210&= \dfrac{\ln10}{\ln2} \qquad \text{Apply the change of base formula using base } e\\[4pt] &\approx 3.3219 \qquad \text{Use a calculator to evaluate to 4 decimal places} \end{align*}\]
Évaluez\({\log}_5(100)\) à l'aide de la formule de changement de base.
- Réponse
-
\(\dfrac{\ln100}{\ln5}≈\dfrac{4.6051}{1.6094}=2.861\)
Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions et des exercices supplémentaires sur les lois des logarithmes.
- Les propriétés des logarithmes
- Développer les expressions logarithmiques
- Évaluer une expression logarithmique naturelle
Équations clés
| La règle du produit pour les logarithmes | \({\log}_b(MN)={\log}_b(M)+{\log}_b(N)\) |
| La règle du quotient pour les logarithmes | \({\log}_b(\dfrac{M}{N})={\log}_bM−{\log}_bN\) |
| La règle de puissance pour les logarithmes | \({\log}_b(M^n)=n{\log}_bM\) |
| La formule de changement de base | \({\log}_bM=\dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb}\)\(n>0\),\(n≠1\),\(b≠1\) |
Concepts clés
- Nous pouvons utiliser la règle du produit des logarithmes pour réécrire le journal d'un produit sous la forme d'une somme de logarithmes. Voir l'exemple\(\PageIndex{1}\).
- Nous pouvons utiliser la règle du quotient des logarithmes pour réécrire le logarithme d'un quotient sous forme de différence de logarithmes. Voir l'exemple\(\PageIndex{2}\).
- Nous pouvons utiliser la règle de puissance pour les logarithmes afin de réécrire le logarithme d'une puissance en tant que produit de l'exposant et du logarithme de sa base. Voir Exemple\(\PageIndex{3}\) \(\PageIndex{4}\), Exemple et Exemple\(\PageIndex{5}\).
- Nous pouvons utiliser la règle du produit, la règle du quotient et la règle de puissance ensemble pour combiner ou développer un logarithme avec une entrée complexe. Voir Exemple\(\PageIndex{6}\) \(\PageIndex{7}\), Exemple et Exemple\(\PageIndex{8}\).
- Les règles des logarithmes peuvent également être utilisées pour condenser des sommes, des différences et des produits avec la même base sous la forme d'un logarithme unique. Voir Exemple\(\PageIndex{9}\), Exemple\(\PageIndex{10}\)\(\PageIndex{11}\), Exemple et Exemple\(\PageIndex{12}\).
- Nous pouvons convertir un logarithme avec n'importe quelle base en un quotient de logarithmes avec n'importe quelle autre base en utilisant la formule de changement de base. Voir l'exemple\(\PageIndex{13}\).
- La formule de changement de base est souvent utilisée pour réécrire un logarithme avec une base autre que 10 et\(e\) comme quotient de logarithme naturel ou commun. De cette façon, une calculatrice peut être utilisée pour évaluer. Voir l'exemple\(\PageIndex{14}\).