Skip to main content
Global

16: Vector Calculus

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    178904

    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Katika sura hii, tunajifunza kutengeneza aina mpya za integrals juu ya mashamba kama vile mashamba magnetic, mashamba ya mvuto, au mashamba ya kasi. Pia tunajifunza jinsi ya kuhesabu kazi iliyofanywa kwenye chembe iliyoshtakiwa inayosafiri kupitia shamba la magnetic, kazi iliyofanywa kwenye chembe na wingi wa kusafiri kupitia uwanja wa mvuto, na kiasi kwa kila kitengo wakati wa maji inapita kupitia wavu imeshuka katika mto. Maombi haya yote yanategemea dhana ya shamba la vector.

    • 16.0: Utangulizi wa Vector Calculus
      Mashamba ya vector yana maombi mengi kwa sababu yanaweza kutumika kutengeneza mashamba halisi kama vile mashamba ya sumakuumeme au mvuto. Uelewa wa kina wa fizikia au uhandisi hauwezekani bila ufahamu wa mashamba ya vector. Zaidi ya hayo, mashamba ya vector yana mali ya hisabati ambayo yanastahili kujifunza kwa haki yao wenyewe. Hasa, mashamba ya vector yanaweza kutumika kuendeleza matoleo kadhaa ya juu-dimensional ya Theorem ya Msingi ya Calculus.
    • 16.1: Mashamba ya vector
      Mashamba ya vector ni chombo muhimu cha kuelezea dhana nyingi za kimwili, kama vile gravitation na electromagnetism, ambayo huathiri tabia ya vitu juu ya eneo kubwa la ndege au ya nafasi. Pia ni muhimu kwa kushughulika na tabia kubwa kama vile dhoruba za anga au mikondo ya bahari ya kina-bahari. Katika sehemu hii, sisi kuchunguza ufafanuzi wa msingi na grafu ya mashamba vector ili tuweze kujifunza yao kwa undani zaidi katika mapumziko ya sura hii.
    • 16.2: Mstari wa Mstari
      Line integrals na maombi mengi ya uhandisi na fizikia. Pia hutuwezesha kufanya generalizations kadhaa muhimu ya Theorem ya Msingi ya Calculus. na, wao ni karibu kushikamana na mali ya mashamba vector, kama tutaona.
    • 16.3: Kihafidhina Vector Mashamba
      Katika sehemu hii, tunaendelea utafiti wa mashamba ya vector ya kihafidhina. Sisi kuchunguza Theorem Msingi kwa Line Integrals, ambayo ni generalization muhimu ya Theorem Msingi ya Calculus kwa line integrals ya mashamba kihafidhina vector. Sisi pia kugundua kuonyesha jinsi ya kupima kama kupewa vector shamba ni kihafidhina, na kuamua jinsi ya kujenga kazi uwezo kwa ajili ya uwanja vector inayojulikana kuwa kihafidhina.
    • 16.4: Theorem ya Green
      Theorem ya Green ni ugani wa Theorem ya Msingi ya Calculus kwa vipimo viwili. Ina aina mbili: fomu ya mzunguko na fomu ya flux, ambayo yote yanahitaji kanda\(D\) katika muhimu mara mbili kuwa tu kushikamana. Hata hivyo, tutaongeza theorem ya Green kwa mikoa ambayo haijaunganishwa tu. Theorem Green inahusiana line muhimu karibu tu imefungwa ndege Curve\(C\) na muhimu mara mbili juu ya kanda iliyoambatanishwa na\(C\).
    • 16.5: Tofauti na Curl
      Tofauti na curl ni shughuli mbili muhimu kwenye uwanja wa vector. Wao ni muhimu kwa uwanja wa calculus kwa sababu kadhaa, ikiwa ni pamoja na matumizi ya curl na tofauti ili kuendeleza matoleo ya juu-dimensional ya Theorem ya Msingi ya Calculus. Aidha, curl na tofauti huonekana katika maelezo ya hisabati ya mechanics ya maji, electromagnetism, na nadharia ya elasticity, ambayo ni dhana muhimu katika fizikia na uhandisi.
    • 16.6: Uso Integrals
      Ikiwa tunataka kuunganisha juu ya uso (kitu mbili-dimensional) badala ya njia (kitu kimoja) katika nafasi, basi tunahitaji aina mpya ya muhimu. Tunaweza kupanua dhana ya mstari muhimu kwa uso muhimu ili kuruhusu sisi kufanya ushirikiano huu. Uso integrals ni muhimu kwa sababu sawa kwamba line integrals ni muhimu. Wana maombi mengi ya fizikia na uhandisi, na hutuwezesha kupanua Theorem ya Msingi ya Calculus kwa vipimo vya juu.
    • 16.7: Theorem ya Stokes
      Katika sehemu hii, tunasoma theorem ya Stokes, generalization ya juu-dimensional ya theorem ya Green. Theorem hii, kama Theorem ya Msingi ya Integrals ya Line na Theorem ya Green, ni generalization ya Theorem ya Msingi ya Calculus kwa vipimo vya juu. Theorem Stokes 'inahusiana vector uso muhimu juu ya uso S katika nafasi ya mstari muhimu kuzunguka mpaka wa S.
    • 16.8: Theorem ya Tofauti
      Tumechunguza matoleo kadhaa ya Theorem ya Msingi ya Calculus katika vipimo vya juu vinavyohusiana muhimu karibu na mipaka iliyoelekezwa ya uwanja kwa “derivative” ya chombo hicho kwenye uwanja unaoelekezwa. Katika sehemu hii, tunasema theorem ya tofauti, ambayo ni theorem ya mwisho ya aina hii ambayo tutajifunza.
    • 16.9: Mazoezi ya Mapitio ya Sura ya 16

    Thumbnail: Uso\(Σ\) na mipaka imefungwa\(∂Σ\). \(\vec{F}\)inaweza kuwa\(\vec{E}\) au\(\vec{B}\) mashamba. \(n\)ni kitengo cha kawaida. (Umma Domain; Maschen).