9: Utaratibu na Mfululizo
- Page ID
- 178873
Mada ya mfululizo usio na kipimo inaweza kuonekana isiyohusiana na calculus tofauti na muhimu. Kwa kweli, mfululizo usio na mwisho ambao maneno yanahusisha nguvu za kutofautiana ni chombo chenye nguvu ambacho tunaweza kutumia ili kueleza kazi kama “polynomials isiyo na kipimo.” Tunaweza kutumia mfululizo usio kutathmini kazi ngumu, takriban integrals uhakika, na kujenga kazi mpya. Aidha, mfululizo usio na mwisho hutumiwa kutatua equations tofauti ambazo zinaonyesha tabia ya kimwili, kutoka kwenye nyaya ndogo za elektroniki hadi satelaiti za Dunia.
- 9.0: Utangulizi wa Mlolongo na Mfululizo
- Snowflake ya Koch imejengwa kutoka kwa idadi isiyo na kipimo ya pembetatu zisizo za kuingiliana. Kwa hiyo, tunaweza kueleza eneo lake kama jumla ya maneno mengi sana. Tunaongezaje idadi isiyo na kipimo ya maneno? Je, jumla ya idadi isiyo na kipimo ya maneno inaweza kuwa ya mwisho? Ili kujibu maswali haya, tunahitaji kuanzisha dhana ya mfululizo usio na mwisho, jumla yenye maneno mengi sana. Baada ya kufafanua zana muhimu, tutaweza kuhesabu eneo la theluji la Koch.
- 9.1: Utaratibu
- Katika sehemu hii, tunaanzisha Utaratibu na kufafanua maana gani kwa mlolongo wa kugeuza au kupatanisha. Tunaonyesha jinsi ya kupata mipaka ya utaratibu ambao hujiunga, mara nyingi kwa kutumia mali ya mipaka ya kazi zilizojadiliwa mapema. Tunakaribia sehemu hii na Theorem ya Monotone Convergence, chombo ambacho tunaweza kutumia ili kuthibitisha kwamba aina fulani za Utaratibu hujiunga.
- 9.2: Mfululizo usio
- Katika sehemu hii sisi kufafanua mfululizo usio na kuonyesha jinsi mfululizo ni kuhusiana na Utaratibu. Pia tunafafanua maana gani kwa mfululizo wa kuungana au kuachana. Tunaanzisha moja ya aina muhimu zaidi za mfululizo: mfululizo wa kijiometri. Tutatumia mfululizo wa kijiometri katika sura inayofuata kuandika kazi fulani kama polynomials na idadi isiyo na kipimo cha maneno. Utaratibu huu ni muhimu kwa sababu unatuwezesha kutathmini, kutofautisha, na kuunganisha kazi ngumu kwa kutumia polynomials.
- 9.3: Tofauti na Uchunguzi wa Integral
- Kuunganishwa au tofauti ya mfululizo kadhaa imedhamiriwa na kuhesabu wazi kikomo cha mlolongo wa kiasi cha sehemu. Katika mazoezi, kuhesabu wazi kikomo hiki inaweza kuwa vigumu au haiwezekani. Vipimo kadhaa vinatuwezesha kuamua muunganiko au tofauti kwa aina nyingi za mfululizo.Hapa, tunajadili vipimo viwili hivi: mtihani wa kutofautiana na mtihani muhimu. Sisi kuchunguza vipimo vingine kadhaa katika mapumziko ya sura hii na kisha muhtasari jinsi na wakati wa kutumia yao.
- 9.4: Vipimo vya kulinganisha
- Tumeona kwamba mtihani muhimu inaruhusu sisi kuamua muunganiko au tofauti ya mfululizo kwa kulinganisha na muhimu kuhusiana yasiyofaa. Katika sehemu hii, tunaonyesha jinsi ya kutumia vipimo vya kulinganisha ili kuamua muunganiko au tofauti ya mfululizo kwa kulinganisha na mfululizo ambao muunganiko au tofauti yake hujulikana. Kwa kawaida vipimo hivi hutumiwa kuamua muunganiko wa mfululizo ambao ni sawa na mfululizo wa kijiometri au p-mfululizo.
- 9.5: Mfululizo Mbadala
- Katika sehemu hii sisi kuanzisha mfululizo alternating- wale mfululizo ambao maneno mbadala katika ishara. Tutaonyesha katika sura ya baadaye kwamba mfululizo huu mara nyingi hutokea wakati wa kusoma mfululizo wa nguvu. Baada ya kufafanua mfululizo wa kubadilisha, tunaanzisha mtihani wa mfululizo wa kubadilisha ili kuamua kama mfululizo huo unajiunga.
- 9.6: Uwiano na Mizizi ya Mizizi
- Katika sehemu hii, tunathibitisha vipimo vya mwisho vya mfululizo wa mfululizo: mtihani wa uwiano na mtihani wa mizizi. Vipimo hivi ni nzuri kwa sababu hazihitaji sisi kupata mfululizo kulinganishwa. Mtihani wa uwiano utakuwa muhimu hasa katika majadiliano ya mfululizo wa nguvu katika sura inayofuata. Katika sura hii, tumeona kwamba hakuna moja muunganiko mtihani kazi kwa mfululizo wote. Kwa hiyo, mwishoni mwa sehemu hii sisi kujadili mkakati wa kuchagua ambayo muunganiko mtihani wa kutumia kwa mfululizo fulani.
Thumbnail: Kwa alternating mfululizo harmonic, maneno isiyo ya kawaida\(S_{2k+1}\) katika mlolongo wa kiasi sehemu ni kupungua na imepakana chini. Masharti hata\(S_{2k}\) yanaongezeka na yamepakana hapo juu.