8.6: Sura ya 8 Mazoezi ya Mapitio

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178720

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Kweli au Uongo? Thibitisha jibu lako kwa ushahidi au mfano wa kukabiliana.

1) equation tofauti$y'=3x^2y−\cos(x)y''$ ni linear.

2) equation tofauti$y'=x−y$ ni kutenganishwa.

Jibu: $F$

3) Unaweza wazi kutatua equations zote za kwanza tofauti kwa kujitenga au kwa njia ya kuunganisha mambo.

4) Unaweza kuamua tabia ya equations zote za kwanza tofauti kwa kutumia mashamba ya uongozi au njia ya Euler.

Jibu: $T$

Kwa matatizo yafuatayo, pata suluhisho la jumla kwa usawa tofauti.

5)$y′=x^2+3e^x−2x$

6)$y'=2^x+\cos^{−1}x$

Jibu: $y(x)=\frac{2^x}{ln(2)}+xcos^{−1}x−\sqrt{1−x^2}+C$

7)$y'=y(x^2+1)$

8)$y'=e^{−y}\sin x$

Jibu: $y(x)=\ln(C−\cos x)$

9)$y'=3x−2y$

10)$y'=y\ln y$

Jibu: $y(x)=e^{e^{C+x}}$

Kwa matatizo yafuatayo, pata suluhisho la tatizo la thamani ya awali.

11)$y'=8x−\ln x−3x^4, \quad y(1)=5$

12)$y'=3x−\cos x+2, \quad y(0)=4$

Jibu: $y(x)=4+\frac{3}{2}x^2+2x−\sin x$

13)$xy'=y(x−2), \quad y(1)=3$

14)$y'=3y^2(x+\cos x), \quad y(0)=−2$

Jibu: $y(x)=−\dfrac{2}{1+3(x^2+2\sin x)}$

15)$(x−1)y'=y−2, \quad y(0)=0$

16)$y'=3y−x+6x^2, \quad y(0)=−1$

Jibu: $y(x)=−2x^2−2x−\frac{1}{3}−\frac{2}{3}e^{3x}$

Kwa matatizo yafuatayo, futa uwanja wa uongozi unaohusishwa na equation tofauti, kisha kutatua equation tofauti. Chora suluhisho la sampuli kwenye uwanja wa uongozi.

17)$y'=2y−y^2$

18)$y'=\dfrac{1}{x}+\ln x−y,$ kwa$x>0$

Jibu

$y(x)=Ce^{−x}+\ln x$

$uwanja mwelekeo na mishale akizungumzia juu na kulia pamoja Curve logarithmic kwamba mbinu infinity hasi kama x inakwenda sifuri na kuongezeka kama x inakwenda infinity.$

Kwa matatizo yafuatayo, tumia Method ya Euler na$n=5$ hatua zaidi ya muda$t=[0,1].$ Kisha tatua tatizo la thamani ya awali hasa. Je, ni karibu na makadirio yako ya Njia ya Euler?

19)$y'=−4yx, \quad y(0)=1$

20)$y'=3^x−2y, \quad y(0)=0$

Jibu: Euler:$0.6939$, Ufumbuzi
halisi:$y(x)=\dfrac{3^x−e^{−2x}}{2+\ln(3)}$

Kwa matatizo yafuatayo, kuanzisha na kutatua equations tofauti.

21) gari anatoa kando ya barabara kuu, kuharakisha kulingana na$a=5\sin(πt),$ wapi$t$ inawakilisha muda kwa dakika. Kupata kasi wakati wowote$t$, kuchukua gari huanza na kasi ya awali ya$60$ mph.

22) Wewe kutupa mpira wa$2$ kilo wingi katika hewa na kasi ya juu ya$8$ m/s Kupata hasa wakati mpira utabaki katika hewa, kudhani kwamba mvuto hutolewa na$g=9.8\,\text{m/s}^2$.

Jibu: $\frac{40}{49}$pili

23) Unaacha mpira na kilo cha$5$ kilo nje ya dirisha la ndege kwa urefu wa$5000$ m.Inachukua muda gani kwa mpira kufikia chini?

24) Wewe kuacha mpira huo wa$5$ kilo wingi nje ya moja dirisha ndege katika urefu sawa, ila wakati huu kudhani Drag nguvu sawia na kasi ya mpira wa, kutumia uwiano mara kwa mara ya$3$ na mpira fika terminal kasi. Tatua kwa umbali ulioanguka kama kazi ya wakati. Inachukua muda gani mpira kufikia ardhi?

Jibu: $x(t)=5000+\frac{245}{9}−\frac{49}{3}t−\frac{245}{9}e^{−5/3t}, \quad t=307.8$sekunde

25) Dawa ya kulevya inasimamiwa kwa mgonjwa kila$24$ masaa na inafutwa kwa kiwango cha sawia na kiasi cha madawa ya kulevya kilichoachwa katika mwili, na uwiano wa mara kwa mara$0.2$. Ikiwa mgonjwa anahitaji kiwango cha msingi cha$5$ mg kuwa katika damu wakati wote, ni kiasi gani kinapaswa kuwa kikubwa?

26) Tangi$1000$ ya lita moja ina maji safi na suluhisho la$0.2$ chumvi la kilo/L hupigwa ndani ya tangi kwa kiwango cha$1$ L/min na hutolewa kwa kiwango sawa. Tatua kwa jumla ya chumvi katika tangi kwa wakati$t$.

Jibu: $T(t)=200\left(1−e^{−t/1000}\right)$

27) Unachemsha maji ili kufanya chai. Unapomwaga maji ndani ya teapot yako, joto ni$100°C.$ Baada ya$5$ dakika katika$15°C$ chumba chako, joto la chai ni$85°C$. Tatua equation kuamua joto la chai kwa wakati$t$. Je! Unapaswa kusubiri muda gani mpaka chai iko kwenye joto la kunywa ($72°C$)?

28) idadi ya watu (katika maelfu) ya Nevada katika$1950$ mara takribani$160$. Kama uwezo wa kubeba inakadiriwa kuwa watu$10$ milioni, na kuchukua kiwango cha ukuaji wa$2\%$ kwa mwaka, kuendeleza vifaa ukuaji mfano na kutatua kwa idadi ya watu katika Nevada wakati wowote (kutumia$1950$ kama wakati = 0). Ni idadi gani ya watu gani mfano wako unatabiri$2000$? Jinsi ya karibu ni utabiri wako kwa thamani ya kweli ya$1,998,257$?

Jibu: $P(t)=\dfrac{1600000e^{0.02t}}{9840+160e^{0.02t}}$

29) Rudia tatizo la awali lakini tumia mtindo wa ukuaji wa Gompertz. Ambayo ni sahihi zaidi?