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8.5E: Mazoezi ya Sehemu ya 8.5

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    Katika mazoezi ya 1 - 5, hali kama kila moja ya equations tofauti zifuatazo ni linear? Eleza hoja zako.

    1)\(\dfrac{dy}{dx}=x^2y+\sin x\)

    2)\(\dfrac{dy}{dt}=ty\)

    Jibu
    \(Yes\)

    3)\(\dfrac{dy}{dt}+y^2=x\)

    4)\(y'=x^3+e^x\)

    Jibu
    \(Yes\)

    5)\(y'=y+e^y\)

    Katika mazoezi ya 6 - 10, weka usawa wa kwanza wa utaratibu wa kwanza katika fomu ya kawaida.

    6)\(y'=x^3y+\sin x\)

    Jibu
    \(y'−x^3y=\sin x\)

    7)\(y'+3y−\ln x=0\)

    8)\(−xy'=(3x+2)y+xe^x\)

    Jibu
    \(y'+\frac{(3x+2)}{x}y=−e^x\)

    9)\(\dfrac{dy}{dt}=4y+ty+\tan t\)

    10)\(\dfrac{dy}{dt}=yx(x+1)\)

    Jibu
    \(\dfrac{dy}{dt}−yx(x+1)=0\)

    Katika mazoezi 11 - 15, sema mambo ya kuunganisha kwa kila moja ya equations tofauti zifuatazo.

    11)\(y'=xy+3\)

    12)\(y'+e^xy=\sin x\)

    Jibu
    \(e^x\)

    13)\(y'=x\ln(x)y+3x\)

    14)\(\dfrac{dy}{dx}=\tanh(x)y+1\)

    Jibu
    \(−\ln(\cosh x)\)

    15)\(\dfrac{dy}{dt}+3ty=e^ty\)

    Katika mazoezi 16 - 25, tatua kila equation tofauti kwa kutumia mambo ya kuunganisha.

    16)\(y'=3y+2\)

    Jibu
    \(y=Ce^{3x}−\frac{2}{3}\)

    17)\(y'=2y−x^2\)

    18)\(xy'=3y−6x^2\)

    Jibu
    \(y=Cx^3+6x^2\)

    19)\((x+2)y'=3x+y\)

    20)\(y'=3x+xy\)

    Jibu
    \(y=Ce^{x^2/2}−3\)

    21)\(xy'=x+y\)

    22)\(\sin(x)y'=y+2x\)

    Jibu
    \(y=C\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)−2x+4\tan\left(\dfrac{x}{2})\ln\left(\sin(\dfrac{x}{2}\right)\right)\)

    23)\(y'=y+e^x\)

    24)\(xy'=3y+x^2\)

    Jibu
    \(y=Cx^3−x^2\)

    25)\(y'+\ln x=\dfrac{y}{x}\)

    Katika mazoezi 26 - 33, tatua usawa tofauti uliotolewa. Tumia calculator yako kuteka familia ya ufumbuzi. Je, kuna hali fulani za awali zinazobadilisha tabia ya suluhisho?

    26) [T]\((x+2)y'=2y−1\)

    Jibu
    \(y=C(x+2)^2+\frac{1}{2}\)

    27) [T]\(y'=3e^{t/3}−2y\)

    28) [T]\(xy'+\dfrac{y}{2}=\sin(3t)\)

    Jibu
    \(y=\dfrac{C}{\sqrt{x}}+2\sin(3t)\)

    29) [T]\(xy'=2\dfrac{\cos x}{x}−3y\)

    30) [T]\((x+1)y'=3y+x^2+2x+1\)

    Jibu
    \(y=C(x+1)^3−x^2−2x−1\)

    31) [T]\(\sin(x)y'+\cos(x)y=2x\)

    32) [T]\(\sqrt{x^2+1}y'=y+2\)

    Jibu
    \(y=Ce^{\sinh^{−1}x}−2\)

    33) [T]\(x^3y'+2x^2y=x+1\)

    Katika mazoezi 34 - 43, tatua kila tatizo la thamani ya awali kwa kutumia mambo ya kuunganisha.

    34)\(y'+y=x,\quad y(0)=3\)

    Jibu
    \(y=x+4e^x−1\)

    35)\(y'=y+2x^2,\quad y(0)=0\)

    36)\(xy'=y−3x^3,\quad y(1)=0\)

    Jibu
    \(y=−\dfrac{3x}{2}(x^2−1)\)

    37)\(x^2y'=xy−\ln x,\quad y(1)=1\)

    38)\((1+x^2)y'=y−1,\quad y(0)=0\)

    Jibu
    \(y=1−e^{\tan^{−1}x}\)

    39)\(xy'=y+2x\ln x,\quad y(1)=5\)

    40)\((2+x)y'=y+2+x,\quad y(0)=0\)

    Jibu
    \(y=(x+2)\ln\left(\dfrac{x+2}{2}\right)\)

    41)\(y'=xy+2xe^x,\quad y(0)=2\)

    42)\(\sqrt{x}y'=y+2x,\quad y(0)=1\)

    Jibu
    \(y=2e^{2\sqrt{x}}−2x−2\sqrt{x}−1\)

    43)\(y'=2y+xe^x,\quad y(0)=−1\)

    44) kitu kuanguka ya wingi\(m\) inaweza kufikia terminal kasi wakati nguvu Drag ni sawia na kasi yake, na uwiano mara kwa mara\(k.\) Kuweka equation tofauti na kutatua kwa kasi kutokana kasi ya awali ya\(0.\)

    Jibu
    \(v(t) = \dfrac{gm}{k}\left( 1 - e^{-kt/m} \right)\)

    45) Kutumia maneno yako kutoka tatizo lililotangulia, ni kasi gani ya mwisho? (Kidokezo: Kuchunguza tabia ya kikwazo; Je, kasi inakaribia thamani?)

    46) [T] Kutumia equation yako kwa kasi terminal, kutatua kwa umbali kuanguka. Inachukua muda gani kuanguka\(5000\) mita ikiwa wingi ni\(100\) kilo, kasi kutokana na mvuto ni\(9.8\) m/s 2 na mara kwa mara uwiano ni\(4\)?

    Jibu
    \(40.451\)sekunde

    47) Njia sahihi zaidi ya kuelezea kasi ya terminal ni kwamba nguvu ya drag ni sawa na mraba wa kasi, na mara kwa mara ya uwiano\(k\). Weka equation tofauti na kutatua kwa kasi.

    48) Kutumia maneno yako kutoka tatizo lililotangulia, ni kasi gani ya mwisho? (Dokezo: Kuchunguza tabia kikwazo: Je kasi mbinu thamani?)

    Jibu
    \(\sqrt{\dfrac{gm}{k}}\)

    49) [T] Kutumia equation yako kwa kasi terminal, kutatua kwa umbali kuanguka. Inachukua muda gani kuanguka\(5000\) mita ikiwa wingi ni\(100\) kilo, kasi kutokana na mvuto ni\(9.8\) m/s 2 na mara kwa mara uwiano ni\(4\)? Je, inachukua muda zaidi au chini kuliko makadirio yako ya awali?

    Katika mazoezi 50 - 54, onyesha jinsi parameter\(a\) inathiri suluhisho.

    50) Tatua equation ya generic\(y'=ax+y\). Je, tofauti\(a\) hubadilishaje tabia?

    Jibu
    \(y=Ce^x−a(x+1)\)

    51) Kutatua equation generic\(y'=ax+y.\) Je, tofauti\(a\) hubadilishaje tabia?

    52) Tatua equation ya generic\(y'=ax+xy\). Je, tofauti\(a\) hubadilishaje tabia?

    Jibu
    \(y=Ce^{x^2/2}−a\)

    53) Kutatua equation generic\(y'=x+axy.\) Je, tofauti\(a\) hubadilishaje tabia?

    54) Tatua\(y'−y=e^{kt}\) na hali ya awali\(y(0)=0\). Kama\(k\) mbinu\(1\), kinachotokea kwa formula yako?

    Jibu
    \(y=\dfrac{e^{kt}−e^t}{k−1}\)